📄 Treść zadania
Prosta przechodząca przez punkty \((-4,-1)\) oraz \((5,5)\) ma równanie:
A
\(y=x+3\)
B
\(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\)
C
\(y=x-3\)
D
\(y=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}\)
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, musimy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic, albo po prostu z układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, bo wbrew pozorom jest ona znacznie prostsza. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy najpierw podstawić współrzędne pierwszego punktu, a potem drugiego. Dzięki temu otrzymamy:
\begin{cases} -1=-4a+b \\ 5=5a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-9a$$
$$a=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
Skoro współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), to możemy stwierdzić, że nasza prosta przyjmuje postać \(y=\frac{2}{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać brakujący współczynnik \(b\). W tym celu wystarczy do wybranego równania z układu (np. drugiego) podstawić obliczone przed chwilą \(a=\frac{2}{3}\), zatem:
$$5=5\cdot\frac{2}{3}+b$$
$$5=\frac{10}{3}+b$$
$$\frac{15}{3}=\frac{10}{3}+b$$
$$b=\frac{5}{3}$$
To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\).