📄 Treść zadania
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym \(432\), a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy, że w podstawie ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek boków jest równy \(3:4\). Możemy więc powiedzieć, że krótszy bok tego prostokąta ma długość \(3x\), natomiast dłuższy ma długość \(4x\). Wiemy też, że pole tego prostokąta jest równe \(432\), a skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$3x\cdot4x=432$$
$$12x^2=432$$
$$x^2=36$$
$$x=6$$
Wyszło nam, że \(x=6\), a skoro nasze krawędzie podstawy mają długość odpowiednio \(3x\) oraz \(4x\) to otrzymamy:
Krótsza krawędź podstawy: \(3x=3\cdot6=18\)
Dłuższa krawędź podstawy: \(4x=4\cdot6=24\)
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Przekątna \(AC\) naszego prostokąta znajdującego się w podstawie tworzy wraz z krawędziami podstawy trójkąt prostokątny. Przed chwilą obliczyliśmy długości krawędzi tej podstawy, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
$$18^2+24^2=|AC|^2$$
$$324+576=|AC|^2$$
$$|AC|^2=900$$
$$|AC|=30 \quad\lor\quad |AC|=-30$$
Długość przekątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AC|=30\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AO\).
Znamy już długość przekątnej podstawy, ale nam do dalszych obliczeń przyda się tak naprawdę znajomość długości odcinka \(AO\), bo to będzie dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego \(AOS\). Odcinek \(AO\) jest dwa razy krótszy od całej przekątnej \(AC\), zatem:
$$|AO|=30:2$$
$$|AO|=15$$
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz trójkąt \(AOS\). Znamy miarę kąta \(SAO\), znamy długość dolnej przyprostokątnej, a szukamy wysokości ostrosłupa (czyli przyprostokątnej \(|SO|\) tego trójkąta), bo jest ona nam potrzebna do wyliczenia objętości. W związku z tym do wyliczenia długości odcinka \(SO\) możemy wykorzystać tangensa:
$$tg60°=\frac{|SO|}{|AO|}$$
$$tg60°=\frac{|SO|}{15}$$
$$\sqrt{3}=\frac{|SO|}{15}$$
$$|SO|=15\sqrt{3}$$
To oznacza, że wysokość naszego ostrosłupa to \(H=15\sqrt{3}\).
Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni \(P_{p}=432\), znamy też wysokość ostrosłupa \(H=15\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot432\cdot15\sqrt{3}$$
$$V=2160\sqrt{3}$$