📄 Treść zadania
Funkcja \(f(x)=3x(x^2+5)(2-x)(x+1)\) ma dokładnie:
A
dwa miejsca zerowe
B
trzy miejsca zerowe
C
cztery miejsca zerowe
D
pięć miejsc zerowych
Aby wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji wystarczy przyrównać wielomian \(3x(x^2+5)(2-x)(x+1)\) do zera. Jest to postać iloczynowa, więc aby wartość takiego wyrażenia była równa zero, to któryś z czynników musi być równy zero, zatem:
$$3x(x^2+5)(2-x)(x+1)=0$$
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2+5=0 \quad\lor\quad 2-x=0 \quad\lor\quad x+1=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=-5 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-1$$
Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wartość ujemną, to z równania \(x^2=-5\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że funkcja ta ma trzy miejsca zerowe: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-1\).