📄 Treść zadania
Równość \((a+2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8\) zachodzi dla:
A
\(a=14\)
B
\(a=7\sqrt{2}\)
C
\(a=7\)
D
\(a=2\sqrt{2}\)
To zadanie można rozwiązać dość szybko korzystając z następującego wzoru skróconego mnożenia:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Patrząc na ten wzór i na prawą część naszego równania z treści zadania możemy zauważyć, że środkowy wyraz, czyli \(28\sqrt{2}\) to wartość \(2ab\) z naszego wzoru skróconego mnożenia, gdzie \(b=2\sqrt{2}\), bo \(b^2=8\). To z kolei bardzo szybko pozwoli nam odnaleźć prawidłową odpowiedź:
$$2ab=28\sqrt{2}$$
$$ab=14\sqrt{2}$$
$$a\cdot2\sqrt{2}=14\sqrt{2}$$
$$a=7$$
Jeśli jednak tego nie dostrzegliśmy (a nie było to zbyt łatwe do dostrzeżenia), to albo musimy podstawiać do równania po kolei każdą z odpowiedzi, albo po prostu rozwiązać równanie w takiej postaci jaka jest przedstawiona w zadaniu. Jest to rozwiązanie nieco bardziej czasochłonne, ale także doprowadzi nas do poprawnego wyniku:
$$\require{cancel}
(a+2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8$$
$$a^2+2\cdot a\cdot2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8$$
$$\cancel{a^2}+4\sqrt{2}a+\cancel{8}=\cancel{a^2}+28\sqrt{2}+\cancel{8}$$
$$4\sqrt{2}a=28\sqrt{2} \quad\bigg/:4\sqrt{2}$$
$$a=\frac{28\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$$
$$a=7$$