📄 Treść zadania
Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma jeden punkt wspólny z parabolą \(y=(x-1)^2+1\). Znajdź równanie tej prostej.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Każdą prostą w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Z własności postaci kierunkowej wiemy, że współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. W naszym przypadku prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem \(b=0\). To oznacza, że naszą prostą możemy opisać wzorem \(y=ax\).
Szukamy miejsca przecięcia się prostej z parabolą. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązując układ równań składający się ze wzorów dwóch funkcji otrzymamy właśnie miejsce/miejsca przecięcia się wykresów. W związku z tym musimy ułożyć i rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=ax \\ y=(x-1)^2+1 \end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Stosując metodę podstawiania otrzymamy:
$$ax=(x-1)^2+1$$
$$ax=x^2-2x+1+1$$
$$ax=x^2-2x+2$$
$$ax-x^2+2x-2=0$$
$$-x^2+ax+2x-2=0$$
$$-x^2+(a+2)x-2=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie kwadratowe rozwiążemy dokładnie tak jak każde inne. Musimy tylko uważać na symbole, bo współczynnik \(a\) będzie nam się trochę "dublował" z niewiadomą \(a\):
Współczynniki: \(a=-1,\;b=a+2,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(a+2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=a^2+4a+4-8=a^2+4a-4$$
Teraz musimy skorzystać z bardzo ważnej informacji zaszytej w treści zadania, a mianowicie faktu, iż prosta z parabolą przecinają się tylko w jednym miejscu. Ta informacja mówi nam, że istnieje w takim razie tylko jedno rozwiązanie tego równania kwadratowego, a to z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie delta musi być równa \(0\) (bo tylko wtedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie). W związku z tym otrzymujemy równanie:
$$a^2+4a-4=0$$
Krok 4. Obliczenie wartości współczynnika \(a\)
Powstało nam więc tak naprawdę drugie równanie kwadratowe \(a^2+4a-4=0\), które tym razem da nam odpowiedź na pytanie - dla jakiego \(a\) delta jest równa \(0\), czyli dla jakiego \(a\) funkcja \(y=ax\) ma jedno miejsce przecięcia się z parabolą \(y=(x-1)^2+1\). Zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-4)=16-(-16)=32$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
$$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2}=-2-2\sqrt{2}$$
$$a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2}=-2+2\sqrt{2}$$
Krok 5. Zapisanie równania prostej.
Żadnego z rozwiązań z poprzedniego kroku wykluczyć nie możemy, a to oznacza że warunki tego zadania będą spełniać dwie proste:
$$y=(-2-2\sqrt{2})x \quad\lor\quad y=(-2+2\sqrt{2})x$$