📄 Treść zadania
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(4\), a suma kwadratów wyrazu drugiego, czwartego i siódmego jest równa \(702\). Wyznacz ogólny wyraz tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{1}=4 \\ {a_{2}}^2+{a_{4}}^2+{a_{7}}^2=702 \end{cases}$$
Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać wyrazy \(a_{2}\), \(a_{4}\) oraz \(a_{7}\) zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym otrzymamy:
$$\begin{cases} a_{1}=4 \\ (a_{1}+r)^2+(a_{1}+3r)^2+(a_{1}+6r)^2=702 \end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Podstawiając \(a_{1}=4\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(4+r)^2+(4+3r)^2+(4+6r)^2=702$$
$$16+8r+r^2+16+24r+9r^2+16+48r+36r^2=702$$
$$46r^2+80r+48=702$$
$$46r^2+80r-654=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=46,\;b=80,\;c=-654\)
$$Δ=b^2-4ac=80^2-4\cdot46\cdot(-654)=6400-(-120336)=126736$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{126736}=356$$
$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-80-356}{2\cdot46}=\frac{-436}{92}=-\frac{109}{23}$$
$$r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-80+356}{2\cdot46}=\frac{276}{92}=3$$
Żadnej z tych wartości odrzucić nie możemy (moglibyśmy odrzucić, gdyby np. podana była informacja o tym że ciąg jest rosnący). W związku z tym zostaje nam \(r_{1}=-\frac{109}{23}\) oraz \(r_{2}=3\).
Krok 4. Wyznaczenie wzoru ogólnego tego ciągu.
Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu wystarczy podstawić \(a_{1}\) oraz \(r\) do wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Z racji tego iż mamy dwie możliwości podstawienia różnicy to otrzymamy dwa rozwiązania tego zadania:
Gdy \(r=-\frac{109}{23}\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot\left(-\frac{109}{23}\right)$$
$$a_{n}=4+(-\frac{109}{23}n)+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=4-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=\frac{92}{23}-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=-\frac{109}{23}n+\frac{201}{23}$$
Gdy \(r=3\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot3$$
$$a_{n}=4+3n-3$$
$$a_{n}=3n+1$$