Zadanie 30 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2015 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli dorysujemy przekątną kwadratu, to pamiętając że przekątna kwadratu dzieli nam kąt prosty na dwa kąty po \(45°\), otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Kwadrat o boku \(6\) ma długość przekątnej równą \(6\sqrt{2}\). Patrząc się na rysunek widzimy, że ta przekątna składa się z wysokości trójkąta \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\) oraz połowy boku trójkąta \(\frac{x}{2}\), zatem:
$$\frac{x\sqrt{3}}{2}+\frac{x}{2}=6\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot2$$ $$x\sqrt{3}+x=12\sqrt{2}$$ $$x(\sqrt{3}+1)=12\sqrt{2}$$ $$x=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}$$ $$x=\frac{12\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot(\sqrt{3}-1)}$$ $$x=\frac{12\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1)}{3-1}$$ $$x=\frac{12\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1)}{2}$$ $$x=6\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1)$$ $$x=6\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$