📄 Treść zadania
Ilość miejsc zerowych funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} 2x+4\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-1 \rangle\\ x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-1 ,3)\\ x+5\quad \text{ dla } x\in \langle 3,+\infty) \end{cases}\) wynosi:
A
\(4\)
B
\(3\)
C
\(2\)
D
\(1\)
Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.
Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0$$
$$2x=-4$$
$$x=-2$$
Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.
Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.
Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0$$
$$x=-5$$
Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.
Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.