📄 Treść zadania
W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana kula z tej urny będzie biała, jest równe \(\frac{1}{3}\). Jeżeli do urny dołożymy jedną białą kulę, to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej zwiększy się o \(\frac{1}{51}\). Ustal liczbę kul w tej urnie przed dołożeniem dodatkowej kuli białej.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Liczba wszystkich kul: \(x\)
Liczba białych kul: \(\frac{1}{3}x\)
Liczba czarnych kul: \(\frac{2}{3}x\)
Po dołożeniu jednej kuli białej będziemy mieć:
Liczba wszystkich kul: \(x+1\)
Liczba białych kul: \(\frac{1}{3}x+1\)
Krok 2. Obliczenie liczby kul przed dołożeniem dodatkowej kuli.
Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli będzie zatem równe:
$$\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{51} \ ,\
\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{17}{51}+\frac{1}{51} \ ,\
\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{18}{51}$$
Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{3}x+1\right)\cdot51=(x+1)\cdot18 \ ,\
17x+51=18x+18 \ ,\
-x=-33 \ ,\
x=33$$
To oznacza, że liczba wszystkich kul przed dołożeniem dodatkowej białej kuli była równa \(33\).