📄 Treść zadania
W pojemniku jest sześć kul, w tym trzy kule czerwone i trzy kule białe. Każda kula czerwona jest oznaczona inną liczbą ze zbioru \(\{1, 2, 3\}\). Analogicznie ponumerowano kule białe. Doświadczenie polega na losowaniu z tego pojemnika dwóch kul bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane kule mają taki sam kolor lub taki sam numer.
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pojemniku mamy \(3\) kule czerwone i \(3\) białe, czyli łącznie jest to \(6\) kul. Losujemy dwie kule (bez zwracania), zatem w pierwszym losowaniu mamy możliwość wylosowania jednej z sześciu kul, a w drugim losowaniu jednej z pięciu kul. To z kolei oznacza, że wszystkich możliwości wylosowania kul mamy zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=6\cdot5=30\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zadanie jest dość podchwytliwe. To nie jest typowa sytuacja, dlatego musimy sobie to wszystko bardzo dokładnie rozpisać. Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie kul, które mają taki sam kolor lub numer. Wypiszmy sobie zatem te zdarzenia, dzieląc je na dwie grupy - te, które pasują nam ze względu na kolor oraz te, które pasują ze względu na numer
Ze względu na kolor:
$$(1c,2c); (1c,3c); (2c,1c); (2c,3c); (3c,1c); (3c,2c)$$
$$(1b,2b); (1b,3b); (2b,1b); (2b,3b); (3b,1b); (3b,2b)$$
Ze względu na numer:
$$(1c;1b), (2c;2b), (3c;3b)$$
$$(1b;1c), (2b;2c), (3b;3c)$$
Łącznie mamy \(12\) zdarzeń sprzyjających ze względu na kolor i \(6\) zdarzeń sprzyjających ze względu na numer. Łącznie tych zdarzeń jest więc \(|A|=12+6=18\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$