📄 Treść zadania
W urnie jest o \(10\) kul białych więcej niż czarnych. Z urny losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{3}{4}\). Ile wszystkich kul jest w urnie?
A
\(15\)
B
\(20\)
C
\(30\)
D
\(40\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba kul czarnych
\(x+10\) - liczba kul białych
To z kolei oznacza, że wszystkich kul będziemy mieć:
$$x+x+10=2x+10$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby czarnych kul.
Wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{3}{4}\). Jeżeli więc potraktujemy wylosowanie białej kuli jako zdarzenie sprzyjające \(|A|=x+10\), a liczbę wszystkich kul jako liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=2x+10\), to powstanie nam równanie:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$
$$\frac{3}{4}=\frac{x+10}{2x+10}$$
Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3\cdot(2x+10)=4\cdot(x+10)$$
$$6x+30=4x+40$$
$$2x=10$$
$$x=5$$
To oznacza, że mamy \(5\) kul czarnych.
Krok 3. Obliczenie ilości wszystkich kul.
Skoro kul białych jest \(10\) więcej, to białych kul będziemy mieć \(5+10=15\). Naszym zadaniem jest powiedzenie ile jest wszystkich kul w urnie, a tych będzie łącznie:
$$5+15=20$$
Ewentualnie skoro \(x=5\), a wszystkich kul jest \(2x+10\), to:
$$2\cdot5+10=10+10=20$$