📄 Treść zadania
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej \(n\) największy wspólny dzielnik liczb \(n\) oraz \(n+10\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa:
A
\(2\)
B
\(5\)
C
\(10\)
D
\(20\)
W tym zadaniu zbyt wiele nie policzymy, musimy tylko przeanalizować całą sytuację. Zobaczmy jak ta funkcja zachowuje się dla kilku przykładowych \(n\):
Gdy \(n=4\), to musimy obliczyć NWD liczb \(4\) oraz \(14\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(2\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=2\).
Gdy \(n=10\), to musimy obliczyć NWD liczb \(10\) oraz \(20\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=20\), to musimy obliczyć NWD liczb \(20\) oraz \(30\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=30\), to musimy obliczyć NWD liczb \(30\) oraz \(40\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Jakbyśmy do tego zadania nie podchodzili, to nie uda nam się otrzymać NWD większego od \(10\).
Gdyby jednak to zadanie było zadaniem dowodowym, to jak matematycznie udowodnić, że na pewno nie otrzymamy nigdzie \(NWD=20\)? Załóżmy, że nasza pierwsza liczba dzieli się przez \(20\) (tylko wtedy byłaby szansa, że NWD jest równe \(20\)), czyli że \(n=20\cdot k\), gdzie \(k\) jest dodatnią liczbą całkowitą. W takiej sytuacji druga liczba będzie równa \(20k+10\). Jeżeli teraz w drugiej liczbie wyłączymy przed nawias wartość \(20\), to otrzymamy \(20\cdot(k+\frac{1}{2})\). Skoro \(k\) było dodatnią liczbą całkowitą, to przez ułamek \(\frac{1}{2}\) wartość w nawiasie wyszła nam niecałkowita. To oznacza, że jeżeli pierwsza liczba jest podzielna przez \(20\), to druga (ta większa od \(10\)) nie będzie podzielna przez \(20\), bo zawsze dzieląc ją przez \(20\) otrzymamy wynik z "połówką". Np.:
Jeżeli \(n=20\), to mamy liczby \(20\) oraz \(30\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(20:20=1\) oraz \(30:20=1,5\).
Jeżeli \(n=200\), to mamy liczby \(200\) oraz \(210\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(200:20=10\) oraz \(210:20=10,5\).