📄 Treść zadania
Na trójkącie \(ABC\) opisano okrąg o środku \(S\) i promieniu równym \(6\). Kąt wpisany \(ACB\) ma miarę \(15°\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe:
A
\(9\)
B
\(9\sqrt{2}\)
C
\(9\sqrt{3}\)
D
\(18\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuację z treści zadania możemy przedstawić na rysunku w następujący sposób:
--rysunek 408--
Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
Kąt \(ASB\) jest kątem środkowym, opisanym na tym samym łuku co kąt \(ACB\). Zgodnie z własnościami takich kątów wiemy, że w takim razie miara kąta \(ASB\) będzie dwukrotnie większa od miary kąta \(ACB\), zatem:
$$|\sphericalangle ASB|=2\cdot15°$$
$$|\sphericalangle ASB|=30°$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABS\).
W trójkącie \(ABS\) mamy dwa ramiona o długości \(6\) (są to promienie okręgu) i wiemy, że kąt między tymi ramionami ma długość \(30°\). Korzystając więc ze "wzoru na pole trójkąta z sinusem" możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot sin30°$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\frac{1}{2}$$
$$P=3\cdot6\cdot\frac{1}{2}$$
$$P=18\cdot\frac{1}{2}$$
$$P=9$$