Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dorysowując wskazaną w zadaniu przekątną BD otrzymamy tak naprawdę dwa trójkąty - prostokątny \(ABD\) oraz równoramienny \(BCD\).


Chcąc poznać pole całego czworokąta, musimy poznać pola tych dwóch trójkątów.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABD\).
Tutaj sprawa jest prosta - korzystamy ze standardowego wzoru na pole trójkąta:
$$P_{ABD}=\frac{1}{2}ah \           ,\
P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot13\cdot10 \           ,\
P_{ABD}=65$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCD\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość przecina podstawę trójkąta na dwie równe części. Skoro tak, to powstanie nam taka oto sytuacja:


Widzimy wyraźnie, że powstały nam tutaj dwa podobne trójkąty prostokątne, zatem wysokość trójkąta \(BCD\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+h^2=13^2 \           ,\
25+h^2=169 \           ,\
h^2=144 \           ,\
h=12 \quad\lor\quad h=-12$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia, zatem \(h=12\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(BCD\).
Znamy już wysokość tego trójkąta, czyli \(h=12\). Wiemy też, że podstawa ma długość \(a=10\), zatem:
$$P_{BCD}=\frac{1}{2}ah \           ,\
P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12 \           ,\
P_{BCD}=60$$

Krok 5. Obliczenie pola czworokąta.
Na koniec została już tylko formalność. Pole czworokąta \(ABCD\) jest sumą pól trójkątów \(ABD\) oraz \(BCD\), zatem:
$$P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD} \           ,\
P_{ABCD}=65+60 \           ,\
P_{ABCD}=125$$