📄 Treść zadania
Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) i \(C\) (zobacz rysunek). Kąt \(ABC\) ma miarę \(121°\), a kąt \(BOC\) ma miarę \(40°\).
Kąt \(AOB\) ma miarę:
A
\(59°\)
B
\(50°\)
C
\(81°\)
D
\(78°\)
Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CBO\).
Na wstępie musimy dostrzec, że trójkąty \(BCO\) oraz \(ABO\) są równoramienne, bo ich ramiona mają długość równą promieniowi okręgu. Spójrzmy zatem na trojkąt \(BCO\). Wiemy, że kąt \(BOC\) ma miarę \(40°\), a to oznacza, że kąt \(CBO\) znajdujący się przy podstawie ma miarę:
$$|\sphericalangle CBO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABO\).
Wiemy, że kąt \(ABC\) ma miarę \(121°\) i widzimy na rysunku, że składa się on z kątów \(CBO\) oraz \(ABO\). Miarę kąta \(CBO\) wyliczyliśmy przed chwilą, zatem:
$$|\sphericalangle ABO|=121°-70°=51°$$
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(ABO\). Wiemy że kąty przy podstawie mają tutaj \(51°\), bo jest to trójkąt równoramienny, zatem kąt \(AOB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AOB|=180°-2\cdot51°=180°-102°=78°$$