Zadanie 12 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Grudzień 2014 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Musimy obliczyć pole powierzchni trójkąta \(ABD\), który jest podstawą tego ostrosłupa. Jest to połowa kwadratu o boku \(a\), zatem:
$$P_{p}=\frac{1}{2}a^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Pole podstawy ostrosłupa obliczyliśmy przed chwilą. Wysokość ostrosłupa \(H=a\), bo jest to sześcian, zatem:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V_{o}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a^2\cdot a$$ $$V_{o}=\frac{1}{6}a^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości pozostałej części sześcianu.
Cały sześcian ma objętość równą \(V=a^3\). Aby więc obliczyć objętość pozostałej części (bo to do niej musimy się odnieść) to musimy od objętości sześcianu odjąć obliczoną przed chwilą objętość ostrosłupa:
$$V_{p}=a^3-\frac{1}{6}a^3$$ $$V_{p}=\frac{5}{6}a^3$$

To oznacza, że objętość ostrosłupa jest pięciokrotnie mniejsza od pozostałej części sześcianu.