📄 Treść zadania
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).
Krok 1. Przekształcenie wyrazów z pierwszej sumy.
Każdy z wyrazów ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
W związku z tym:
$$a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100 \ ,\
(a_{1}+20r)+(a_{1}+23r)+(a_{1}+26r)+(a_{1}+29r)=100 \ ,\
4a_{1}+98r=100 \ ,\
2a_{1}+49r=50$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{25}+a_{26}\).
Mamy obliczyć ile to jest \(a_{25}+a_{26}\), czyli zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy policzyć sumę:
$$a_{25}+a_{26}=(a_{1}+24r)+(a_{1}+25r) \ ,\
a_{25}+a_{26}=2a_{1}+49r$$
Wiemy już jaka jest wartość wyrażenia \(2a_{1}+49r\), zatem możemy zapisać, że:
$$a_{25}+a_{26}=50$$