Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:
Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli \(x\) oraz \(y\) do obliczenia pola podstawy oraz wysokość \(H\) całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek \(DW\)).
Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka \(BD\). Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$x^2+y^2=|BD|^2$$
I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.
Krok 3. Wypisanie równań na podstawie Twierdzenia Pitagorasa.
Z trójkąta \(ADW\) wynika, że: \(y^2+H^2=36\)
Z trójkąta \(DCW\) wynika, że: \(x^2+H^2=49\)
Z trójkąta \(DBW\) wynika, że: \(|BD|^2+H^2=81\), czyli \(x^2+y^2+H^2=81\)
Krok 4. Wyznaczenie poszczególnych długości.
Podstawiając z pierwszego równania \(y^2+H^2=36\) do trzeciego równania otrzymamy:
$$x^2+36=81 \ ,\
x^2=45 \ ,\
x=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$
Podstawiając \(x=\sqrt{45}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$(\sqrt{45})^2+H^2=49 \ ,\
45+H^2=49 \ ,\
H^2=4 \ ,\
H=2$$
Podstawiając \(H=2\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$y^2+2^2=36 \ ,\
y^2+4=36 \ ,\
y^2=32 \ ,\
y=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się prostokąt o bokach \(x\) oraz \(y\), zatem:
$$P_{p}=x\cdot y \ ,\
P_{p}=3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2} \ ,\
P_{p}=12\sqrt{10}$$
Krok 6. Obliczenie objętości bryły.
Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \ ,\
V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{10}\cdot2 \ ,\
V=4\sqrt{10}\cdot2 \ ,\
V=8\sqrt{10}$$
