Zadanie 30 Informator maturalny CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Środkowa trójkąta to prosta łącząca wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości środkowej tego trójkąta.
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Znamy długości dwóch boków tego trójkąta i miarę kąta między tymi bokami. Chcąc więc poznać długość boku \(AD\) (czyli boku naprzeciwko kąta o znanej mierze), możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2\cdot|AB|\cdot|BD|\cdot cos60°$$ $$|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac{1}{2}$$ $$|AD|^2=112$$ $$|AD|=\sqrt{112} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{112}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku nie może być ujemna), zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{112}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AD|=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}\).