📄 Treść zadania
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) jest
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą ujemną
2. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest równa zero
3. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą dodatnią
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\).
Widzimy, że musimy obliczyć wartość \(a_{n+1}\), zatem:
$$a_{n+1}=(n+1)^2-(n+1)$$
$$a_{n+1}=n^2+2n+1-n-1$$
$$a_{n+1}=n^2+n$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{n+1}-a_{n}\).
Znamy wartość \(a_{n+1}\), znamy też \(a_{n}\), zatem:
$$a_{n+1}-a_{n}=n^2+n-(n^2-n)$$
$$a_{n+1}-a_{n}=n^2+n-n^2+n$$
$$a_{n+1}-a_{n}=2n$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy, że \(n\) jest liczbą naturalną większą lub równą \(1\). To pozwala nam stwierdzić, że w takim razie otrzymane 2n jest dodatnią liczbą naturalną. To oznacza, że ciąg będzie rosnący, ponieważ różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą dodatnią.