📄 Treść zadania
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem rekurencyjnym: \(\begin{cases}a_{1}=-2 \\ a_{n+1}=n\cdot a_{n}+4 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu.
Wartość pierwszego wyrazu już znamy, widzimy że \(a_{1}=-2\). Korzystając z drugiej części wzoru rekurencyjnego, musimy obliczyć wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu, zatem:
$$a_{2}=a_{1+1}=1\cdot a_{1}+4=1\cdot(-2)+4=-2+4=2 \ ,\
a_{3}=a_{2+1}=2\cdot a_{2}+4=2\cdot2+4=4+4=8 \ ,\
a_{4}=a_{3+1}=3\cdot a_{3}+4=3\cdot8+4=24+4=28$$
Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając z obliczeń z poprzedniego kroku, możemy zapisać, że suma czterech początkowych wyrazów będzie równa:
$$S_{4}=-2+2+8+28=36$$