📄 Treść zadania
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\).
Udowodnij, że liczba 𝒂\(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczbę niepodzielną przez \(3\) możemy zapisać jako \(3k+1\). Przykładowo, gdy \(k=4\), to otrzymamy \(3\cdot4+1=13\) i faktycznie, jest to liczba niepodzielna przez \(3\). W takim razie oznaczmy sobie taką liczbę jako \(a\), czyli \(a=3k+1\). Liczba \(b\) musi być o \(1\) większa (bo z treści zadania wynika, że \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi), więc \(b=3k+2\).
Krok 2. Rozpisanie podanej liczby
Musimy teraz podstawić do zapisu \(a^3+b^3\) wartości \(a=3k+1\) oraz \(b=3k+2\) i skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(3k+1)^3+(3k+2)^3=$$
$$=27k^3+27k^2+9k+1+27k^3+54k^2+36k+8=$$
$$=54k^3+81k^2+45k+9$$
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Aby udowodnić, że otrzymane \(54k^3+81k^2+45k+9\) jest podzielne przez \(9\), wystarczy wyłączyć dziewiątkę przed nawias, otrzymując:
$$9\cdot(6k^3+9k^2+5k+1)$$
Wartość \(6k^3+9k^2+5k+1\) jest na pewno liczbą całkowitą, bo \(6k^3, 9k^2, 5k\) oraz \(1\) to liczby całkowite. Otrzymaliśmy więc wynik z którego wynika, że liczba \(a^3+b^3\) jest jak najbardziej podzielna przez \(9\), a wynikiem tego dzielenia byłoby właśnie \(6k^3+9k^2+5k+1\).