Zadanie 4 Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - Nowa Era 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sprowadzenie liczb do jednakowej podstawy potęgi.
Aby móc porównać te wszystkie liczby musimy sprowadzić je do jednakowej podstawy potęgi lub jednakowego wykładnika potęgi. W tym przypadku będziemy sprowadzać liczby do jednakowej podstawy potęgi, która będzie równa \(2\). Rozpiszmy sobie zatem każdą z liczb po kolei.

W przypadku liczby \(a\) musimy najpierw wykonać dodawanie potęg. Wiemy, że na dodawanie i odejmowanie potęg nie ma jakichś specjalnych wzorów (nie możemy dodawać wykładników potęg, bo wykładniki dodajemy przy mnożeniu potęg!). Trzeba się tutaj posłużyć pewnym sprytem i zauważyć, że czterokrotnie dodajemy tą samą potęgę, czyli \(4^3\). Całość rozpisać możemy więc w następujący sposób:
$$a=4^3+4^3+4^3+4^3=4\cdot4^3=4^1\cdot4^3=4^{1+3}=4^4$$

Chcemy jeszcze sprowadzić tę liczbę do podstawy potęgi równej \(2\), zatem zapisując \(4\) jako \(2^2\) i korzystając z działań na potęgach otrzymamy:
$$a=4^4=(2^2)^4=2^{2\cdot4}=2^8$$

Teraz przejdźmy do liczby \(b\). Tutaj sprawa jest prosta, bo mamy potęgę do potęgi, więc wykładniki musimy wymnożyć:
$$b=(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8$$

Na koniec liczba \(c\). Z nią nic nie musimy robić, bo jest ona już zapisana w pożądanej przez nas postaci, zatem \(c=2^4\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W poprzednim kroku udało nam się ustalić, że \(a=2^8\) oraz że \(b=2^8\). Te dwie liczby są więc sobie równe, czyli zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy, że \(b=2^8\) oraz że \(c=2^4\). Już w tym momencie powinniśmy dostrzec, że liczba \(b\) nie jest dwa razy większa niż liczba \(c\), ale jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy podzielić te dwie liczby przez siebie:
$$2^8:2^4=2^{8-4}=2^4=16$$

To oznacza, że liczba \(b\) jest \(16\) razy większa od liczby \(c\).