📄 Treść zadania
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym kąt \(BCA\) ma miarę \(35°\). Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(AD\) ma taką samą długość jak odcinek \(BD\). Kąt \(ADC\) ma miarę \(130°\) (zobacz rysunek poniżej).
Kąt \(CAB\) ma miarę:
A
\(95°\)
B
\(75°\)
C
\(90°\)
D
\(80°\)
Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CAD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ADC\). Znamy dwie miary kątów w tym trójkącie, a skoro suma miar kątów w trójkątach jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle CAD|=180°-130°-35°=15°$$
Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADB\) jest kątem przyległym do kąta \(ADC\), a skoro suma miar kątów przyległych wynosi \(180°\), to:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-130°=50°$$
Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DAB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Z treści zadania wynika, że jest to trójkąt równoramienny i wiemy już, że kąt między ramionami ma miarę \(50°\). Skoro tak, to na dwa kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-50°=130°\). W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$|\sphericalangle DAB|=130°:2=65°$$
Krok 4. Obliczenie miary kąta \(CAB\).
Kąt \(CAB\) jest sumą kątów \(CAD\) oraz \(DAB\), zatem:
$$|\sphericalangle CAB|=15°+65°=80°$$