📄 Treść zadania
Dany jest prostokąt \(ABCD\) o wymiarach \(12 cm\) i \(16 cm\). Odcinek \(AC\) jest przekątną tego prostokąta. Odcinek \(DS\) jest wysokością trójkąta \(ACD\) (patrz rysunek).
Oblicz długość odcinka \(DS\).
Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Skoro boki prostokąta mają długość \(12 cm\) i \(16 cm\), to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przekątna będzie mieć długość:
$$12^2+16^2=|AC|^2$$
$$144+256=|AC|^2$$
$$|AC|^2=400$$
$$|AC|=20 \quad\lor\quad |AC|=-20$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AC|=20\).
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ACD\).
Trójkąt \(ACD\) jest połową prostokąta \(ABCD\). Policzmy zatem najpierw pole tego prostokąta:
$$P=12cm\cdot16cm$$
$$P=192cm^2$$
Skoro trójkąt \(ACD\) jest połową tej figury, to jego pole będzie równe:
$$P_{ACD}=192cm^2:2$$
$$P_{ACD}=96cm^2$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).
Odcinek \(DS\) jest wysokością trójkąta \(ACD\), którego podstawa ma długość \(a=20\) i którego pole jest równe \(96cm^2\). Skoro tak, to korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah$$
$$96cm^2=\frac{1}{2}\cdot20cm\cdot h$$
$$96cm^2=10cm\cdot h$$
$$h=9,6cm$$
To oznacza, że odcinek \(DS\) ma długość \(9,6cm\).