📄 Treść zadania
Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny oraz kwadrat mają równe pola.
Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnych trójkąta.
Trójkąt jest prostokątny równoramienny, czyli to tak naprawdę trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). Z własności takich trójkątów wynika, że gdy przyprostokątne mają długość \(a\), to przeciwprostokątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Możemy więc zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$
$$a=6$$
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest podstawą trójkąta, a druga jest jego wysokością. Możemy więc bez problemu obliczyć pole tej figury, korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6$$
$$P=3\cdot6$$
$$P=18$$
Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z treści zadania wynika, że trójkąt i kwadrat mają jednakowe pole powierzchni. Pole kwadratu zapisalibyśmy jako \(P=x^2\), a skoro tak, to:
$$x^2=18$$
$$x=\sqrt{18} \quad\lor\quad x=-\sqrt{18}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(x=\sqrt{18}\), co moglibyśmy jeszcze rozpisać jako \(x=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\).
Krok 4. Obliczenie obwodu kwadratu.
Celem naszego zadania jest obliczenie obwodu kwadratu, zatem:
$$Obw=4\cdot3\sqrt{2}$$
$$Obw=12\sqrt{2}$$