📄 Treść zadania
Jeżeli \(a\), \(b\) i \(c\) są długościami boków trójkąta oraz \(c\) jest najdłuższym bokiem, to ten trójkąt jest:
prostokątny, gdy \(a^2+b^2=c^2\)
rozwartokątny, gdy \(a^2+b^2\lt c^2\)
ostrokątny, gdy \(a^2+b^2\gt c^2\)
Z odcinków o długościach: \(2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, \sqrt{3}\):
A
nie można zbudować trójkąta.
B
można zbudować trójkąt prostokątny.
C
można zbudować trójkąt rozwartokątny.
D
można zbudować trójkąt ostrokątny.
Krok 1. Wyznaczenie najdłuższego boku.
Musimy ustalić która z podanych długości jest największa:
$$2\sqrt{3}\approx2\cdot1,73\approx3,46$$
$$3\sqrt{2}\approx3\cdot1,41\approx4,23$$
$$\sqrt{3}\approx1,73$$
Najdłuższa jest więc miara \(3\sqrt{2}\) i to będzie odcinek \(c\). Dwie pozostałe miary to odcinki \(a\) oraz \(b\) (w dowolnej już kolejności).
Krok 2. Obliczenie wartości \(a^2+b^2\).
Sprawdźmy zatem jaki wynik da nam suma kwadratów odcinków \(a\) oraz \(b\):
$$(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2=4\cdot3+3=12+3=15$$
Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku.
Sumę kwadratów obliczoną w drugim kroku musimy przyrównać do kwadratu odcinka \(c\). Długość odcinka \(c\) podniesiona do kwadratu da nam wartość:
$$(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$
Z naszych obliczeń wynika \(a^2+b^2\lt c^2\), bo \(15\lt18\) zatem ten trójkąt jest rozwartokątny.