📄 Treść zadania
Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby \(7\).
$$7^1=7$$
$$
7^2=49$$
$$
7^3=343$$
$$
7^4=2401$$
$$
7^5=16\;807$$
$$
7^6=117\;649$$
$$
7^7=823\;543$$
$$
7^8=5\;764\;801$$
$$
7^9=40\;353\;607$$
$$
...$$
Cyfrą jedności liczby \(7^{190}\) jest:
A
\(1\)
B
\(3\)
C
\(7\)
D
\(9\)
Cyfra jedności to ostatnia cyfra w liczbie. Należy zauważyć, że cyfry jedności poszczególnych potęg układają się w bardzo charakterystycznym ciągu cyfr. Gdybyśmy wypisali po kolei ostatnie cyfry z powyższych liczb, to otrzymalibyśmy ciąg:
$$\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry},\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry}...$$
Co cztery liczby nasz ciąg cyfr jedności się powtarza, a skoro tak, to możemy sprawdzić ile takich powtórzeń się przytrafi:
$$190:4=47 r.2$$
Nasz ciąg powtórzy się zatem \(47\) razy. Reszta tego ciągu mówi nam o tym która cyfra jest przez nas poszukiwana. Skoro reszta wyszła równa \(2\), to interesuje nas druga cyfra tego ciągu. Drugą cyfrą jest \(9\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.