Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d=20cm\), wysokości \(H=25cm\) i tworzącej \(l\). Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską \(ABS\) o kształcie wycinka koła o promieniu \(l\) i środku \(S\) (zobacz rysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek \(SB\) z odcinkiem \(SA\) (zobacz rysunek 2.). Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.





Zadanie 1.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do \(1°\))

A. \(44°\)

B. \(136°\)

C. \(22°\)

D. \(68°\)



Zadanie 2.

Oblicz miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

Odpowiedź:      

1. A
2. \(\alpha\approx134°\)

Rozwiązanie:      
Zadanie 1. Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nanosząc na rysunek dane z treści zadania, otrzymamy następującą sytuację: Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej rzecz ujmując - z tangensa), możemy zapisać, że: $$tg\alpha=\frac{r}{H} \           ,\ tg\alpha=\frac{10}{25} \           ,\ tg\alpha=0,4$$ Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość \(0,4\) dla kąta o mierze około \(22°\). Krok 3. Obliczenie kąta rozwarcia stożka. Kąt rozwarcia stożka będzie dwa razy większy od kąta \(\alpha\), zatem będzie miał on miarę \(2\cdot22°=44°\). Zadanie 2. Krok 1. Obliczenie długości tworzącej stożka. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$10^2+25^2=l^2 \           ,\ 100+625=l^2 \           ,\ l^2=725 \           ,\ l=\sqrt{725} \quad\lor\quad l=-\sqrt{725}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(l=\sqrt{725}\), co w sumie możemy (choć nie musimy) jeszcze rozpisać jako \(l=\sqrt{25\cdot29}=5\sqrt{29}\). Krok 2. Obliczenie obwodu podstawy stożka. Obliczmy teraz obwód podstawy stożka, korzystając ze wzoru \(Obw=2\pi r.\) W podstawie mamy koło, którego średnica ma długość \(d=20\), a nam do obwodu potrzebny jest promień, zatem\( r=10\). Podstawiając te dane, otrzymamy: $$Obw=2\pi r \           ,\ Obw=2\pi \cdot10 \           ,\ Obw=20\pi$$ Krok 3. Obliczenie obwodu całego koła, z którego wzięto wycinek. Obliczmy teraz obwód koła, z którego wzięto wycinek do budowy stożka. Z rysunku widzimy, że to będzie koło, którego promień ma długość \(l\). W pierwszym kroku obliczyliśmy, że \(l=5\sqrt{29}\), zatem: $$Obw=2\pi r \           ,\ Obw=2\pi\cdot5\sqrt{29} \           ,\ Obw=10\sqrt{29}\pi$$ Krok 4. Obliczenie miary kąta \(BSA\). Wiemy, że całe koło to \(360°\). Miara naszego kąta \(BSA\) będzie stanowiła pewną część tych \(360°\). Ta część będzie dokładnie taka sama jak stosunek długości łuku względem obwodu całego koła. Skoro tak, to: $$\alpha=\frac{20\pi}{10\sqrt{29}\pi}\cdot360° \           ,\ \alpha=\frac{20}{10\sqrt{29}}\cdot360° \           ,\ \alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}\cdot360° \           ,\ \alpha\approx\frac{2}{5,3852}\cdot360° \           ,\ \alpha\approx133,7°\approx134°$$

Teoria:      
W trakcie opracowania