W kwadracie \(ABCD\) punkty \(A=(-8;-2)\) oraz \(C=(0;4)\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

Odpowiedź:      

\(y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Co prawda nie jest to konieczne, ale dobrze jest sobie zobrazować całą sytuację za pomocą prostego rysunku. Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, otrzymamy mniej więcej taką oto sytuację: Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), więc bez problemu możemy wyznaczyć równanie prostej \(AC\). W tym celu możemy skorzystać z rozbudowanego wzoru z tablic lub po prostu z metody układu równań (w tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne najpierw punktu \(A\), potem \(C\)). Można też postąpić jeszcze nieco sprytniej. Skoro prosta przechodzi przez punkt \(C=(0;4)\) to znaczy, że przecina ona oś \(OY\) dla \(y=4\), co z kolei oznacza, że współczynnik \(b=4\). Wiemy już zatem, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=ax+4\). Chcąc poznać brakując współczynnik \(a\) wystarczy teraz podstawić do wyznaczonej postaci \(y=ax+4\) współrzędne punktu \(A\), zatem: $$-2=-8\cdot a+4 \           ,\ -6=-8a \           ,\ a=\frac{3}{4}$$ Krok 3. Wyznaczenie środka odcinka \(AC\). Musimy wyznaczyć środek odcinka \(AC\), ponieważ jest to punkt, przez który będzie przechodzić także poszukiwana prosta \(BD\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że: $$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \           ,\ S=\left(\frac{-8+0}{2};\frac{-2+4}{2}\right) \           ,\ S=\left(\frac{-8}{2};\frac{2}{2}\right) \           ,\ S=(-4;1)$$ Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BD\). Prosta \(BD\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(AC\), ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AC\) miała współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), to nasza prosta \(BD\) będzie miała ten współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\), bo \(\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{3}{4}=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że ta prosta będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{4}{3}x+b\). Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), musimy podstawić do wyznaczonego równania \(y=-\frac{4}{3}x+b\) współrzędne jakiegoś punktu, przez który ta prosta przechodzi - w tym przypadku możemy podstawić wyznaczone wcześniej współrzędne punktu \(S=(-4;1)\). Skoro tak, to: $$1=-\frac{4}{3}\cdot(-4)+b \           ,\ 1=\frac{16}{3}+b \           ,\ b=-\frac{13}{3}$$ To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest \(y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania