Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2,1km\). Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinę i \(4\) minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \(1km/h\) mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Odpowiedź:      

Prędkość wchodzenia na wzgórze jest równa \(v=3,5\frac{km}{h}\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania. \(t\) - czas wchodzenia na wzgórze \(1\) godzina i \(4\) minuty, czyli \(1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}\) godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza \(\frac{16}{15}-t\) - czas schodzenia ze wzgórza \(v\) - prędkość wchodzenia na wzgórze \(v+1\) - prędkość schodzenia ze wzgórza \(s=2,1\) - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku) Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań. Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań: \begin{cases} vt=2,1 \           ,\ (v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1 \end{cases}\begin{cases} t=\frac{2,1}{v} \           ,\ \frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1 \end{cases} Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(t=\frac{2,1}{v}\) do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez \(30\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem: $$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30 \           ,\ 32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v \           ,\ 32v^2-63v+32v-63=63v \           ,\ 32v^2-94v-63=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=32,\;b=-94,\;c=-63\) $$Δ=b^2-4ac=(-94)^2-4\cdot32\cdot(-63)=8836-(-8064)=16900 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{16900}=130$$ $$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)-130}{2\cdot32}=\frac{94-130}{64}=\frac{-36}{64}=-\frac{9}{16} \           ,\ v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)+130}{2\cdot32}=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3,5$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem \(v=3,5\frac{km}{h}\) i to jest nasza końcowa odpowiedź.

Teoria:      
W trakcie opracowania