Wysokość prostopadłościanu \(ABCDEFGH\) jest równa \(1\), a długość przekątnej \(BH\) jest równa sumie długości krawędzi \(AB\) i \(BC\). Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Odpowiedź:      

\(V=\frac{1}{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy nanieść na rysunek informacje z treści zadania, które ułatwią nam obliczenia. Krok 2. Zapisanie długości przekątnej podstawy. Widzimy, że kluczowym z punktu widzenia zadania będzie trójkąt \(BDH\). W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się przekątna podstawy prostopadłościanu, oznaczona symbolem \(d\). Spróbujmy zapisać jej długość za pomocą wyrażeń algebraicznych, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: $$a^2+b^2=d^2 \           ,\ d=\sqrt{a^2+b^2}$$ Krok 3. Wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BDH\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$d^2+1^2=(a+b)^2 \           ,\ \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+1^2=(a+b)^2 \           ,\ a^2+b^2+1=a^2+2ab+b^2 \           ,\ 2ab=1 \           ,\ ab=\frac{1}{2}$$ Krok 4. Obliczenie objętości prostopadłościanu. Spójrzmy na wzór na objętość prostopadłościanu: $$V=P_{p}\cdot H \           ,\ V=ab\cdot H$$ Znamy wysokość prostopadłościanu, bo \(H=1\). Nie wiemy jaką konkretnie miarę mają odcinki \(a\) oraz \(b\), ale wiemy że ich iloczyn jest równy \(\frac{1}{2}\). I ta wiedza nam w zupełności wystarczy do obliczenia objętości. Podstawiając te dane otrzymamy: $$V=\frac{1}{2}\cdot1 \           ,\ V=\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania