Punkty \(A=(2,11)\), \(B=(8,23)\), \(C=(6,14)\) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).

Odpowiedź:      

\(D=(4;15)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania. Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu \(D\) będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej \(AB\), później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\), no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych. Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\). Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy posłużyć się prostym wzorem: $$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$ Podstawiając współrzędne punktów \(A=(2,11)\) oraz \(B=(8,23)\) otrzymamy: $$(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0 \           ,\ (y-11)\cdot6-12\cdot(x-2)=0 \           ,\ 6y-66-12x+24=0 \           ,\ 6y-12x-42=0 \           ,\ 6y=12x+42 \quad\bigg/:6 \           ,\ y=2x+7$$ Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\), przechodzącej przez punkt \(C\). Szukamy prostej prostopadłej w postaci \(y=ax+b\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro więc pierwsza prosta ma \(a=2\), to druga musi mieć: $$a\cdot2=-1 \           ,\ a=-\frac{1}{2}$$ Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(C=(6;14)\), który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy: $$y=-\frac{1}{2}x+b \           ,\ 14=-\frac{1}{2}\cdot6+b \           ,\ 14=-3+b \           ,\ b=17$$ To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór \(y=-\frac{1}{2}x+17\). Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\). Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu \(D\), zatem: \begin{cases} y=2x+7 \           ,\ y=-\frac{1}{2}x+17 \end{cases} Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość \(y=2x+7\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując: $$2x+7=-\frac{1}{2}x+17 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ 4x+14=-x+34 \           ,\ 5x=20 \           ,\ x=4$$ Podstawiając wartość \(x=4\) do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną: $$y=2\cdot4+7 \           ,\ y=8+7 \           ,\ y=15$$ Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie \(D=(4;15)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania