Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(AC,BC\) takich, że \(AC=6\) i \(BC=8\). Okrąg o środku \(C\) i promieniu \(r=AC\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(P\). Wyznacz długość odcinka \(BP\).

Odpowiedź:      

\(|BP|=2,8\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Zadanie jest dość nietypowe, więc spróbujmy zwizualizować sobie tą całą sytuację. Musimy przy okazji dobrać takie oznaczenia, żeby faktycznie odcinki \(AC\) oraz \(BC\) były przyprostokątnymi: Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej. Z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej naszego trójkąta \(ABC\): $$6^2+8^2=|AB|^2 \           ,\ 36+64=|AB|^2 \           ,\ 100=|AB|^2 \           ,\ |AB|=10 \quad\lor\quad |AB|=-10$$ Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AB|=10\). Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\). Obliczenie pola trójkąta przyda nam się za chwilę do wyznaczenia drugiej wysokości tego trójkąta. W trójkącie prostokątnym obliczenie pola powierzchni jest proste, bo przyprostokątne są podstawią i wysokością takiego trójkąta, zatem: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8 \           ,\ P=3\cdot8 \           ,\ P=24$$ Krok 4. Obliczenie drugiej wysokości trójkąta. Spójrzmy ponownie na rysunek: Połączyliśmy sobie punkt \(C\) z punktem \(P\), tworząc odcinek \(CP\). Długość tego odcinka jest równa promieniowi okręgu, czyli wynosi \(6\). To oznacza, że trójkąt \(ACP\) jest równoramienny. Teraz plan działania jest następujący: obliczymy wysokość trójkąta \(ABC\) (czyli odcinek \(CD\)), który jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACP\). Znając długości ramion oraz wysokość \(CD\) obliczymy długość podstawy \(AP\), a interesujący nas odcinek \(BP\) będzie różnicą między odcinkiem \(AB\) oraz \(AP\). Przystąpmy zatem do obliczenia długości \(CD\), czyli wysokości trójkąta \(ABC\), która idzie z wierzchołka \(C\). Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(24\), wiemy że przeciwprostokątna ma długość \(10\), zatem wysokość \(CD\) ma długość: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ 24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot|CD| \           ,\ 24=5\cdot|CD| \           ,\ |CD|=4,8$$ Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(DP\). Długość odcinka \(DP\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa: $$|DP|^2+|CD|^2=|CP|^2 \           ,\ |DP|^2+4,8^2=6^2 \           ,\ |DP|^2+23,04=36 \           ,\ |DP|^2=12,96 \           ,\ |DP|=3,6 \quad\lor\quad |DP|=-3,6$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|DP|=3,6\). Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AP\). Odcinek \(DP\) jest połową długości odcinka \(AP\) (bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). To oznacza, że odcinek \(AP\) jest dwukrotnie większy od odcinka \(DP\), zatem: $$|AP|=2\cdot3,6 \           ,\ |AP|=7,2$$ Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(BP\). Odcinek BP obliczymy odejmując od odcinka \(AB\) długość odcinka \(AP\), zatem: $$|BP|=|AB|-|AP| \           ,\ |BP|=10-7,2 \           ,\ |BP|=2,8$$

Teoria:      
W trakcie opracowania