W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) o dodatnich wyrazach trzeci wyraz jest równy \(6\), a piąty jest równy \(24\). Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(a_{1}=1,5\) oraz \(q=2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. W treści zadania mamy podaną wartość trzeciego i piątego wyrazu. Na tej podstawie możemy obliczyć iloraz ciągu geometrycznego: $$a_{5}=a_{3}\cdot q^2 \           ,\ 24=6\cdot q^2 \           ,\ q^2=4 \           ,\ q=2 \quad\lor\quad q=-2$$ Ujemny iloraz musimy odrzucić, a to dlatego że nasz ciąg geometryczny zawiera same dodatnie wyrazy. Przy \(q=-2\) ciąg byłby niemonotoniczny, czyli raz mielibyśmy wyrazy dodatnie, a raz ujemne. Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając iloraz \(q\) i znając wartość np. trzeciego wyrazu, możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób: $$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \           ,\ 6=a_{1}\cdot2^2 \           ,\ 6=a_{1}\cdot4 \           ,\ a_{1}=1,5$$

Teoria:      
W trakcie opracowania