Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność

$$\dfrac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$$

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Przekształcenie równania. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że: $$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \           ,\ \frac{a^2+b^2}{2}\gt\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\bigg/\cdot4 \           ,\ 2\cdot(a^2+b^2)\gt a^2+2ab+b^2 \           ,\ 2a^2+2b^2\gt a^2+2ab+b^2 \           ,\ a^2+b^2\gt 2ab \           ,\ a^2-2ab+b^2\gt0 \           ,\ (a-b)^2\gt0$$ Krok 2. Zakończenie dowodzenia. Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.

Teoria:      
W trakcie opracowania