Wykaż, że jeżeli \(a\gt0\) i \(b\gt0\) oraz \(\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}\), to \(a=b\) lub \(a+b=1\).

Odpowiedź:      

Udowodniono przekształcając równanie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Uproszczenie równania i pozbycie się pierwiastka. Aby udowodnić powyższą tezę przekształćmy nasze równanie, zaczynając od pozbycia się z niego pierwiastka: $$\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2} \           ,\ a^2+b=a+b^2 \           ,\ a^2-b^2-a+b=0$$ Krok 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie równania w postaci iloczynowej. Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), zatem: $$(a+b)(a-b)-a+b=0$$ Teraz spróbujmy wziąć w nawias ostatnie dwa wyrazy po lewej stronie, uważając na to że musimy zmienić znak, bo przed nawiasem będzie stał minus: $$(a+b)(a-b)-(a-b)=0 \           ,\ (a+b)(a-b)-1(a-b)=0$$ Już jesteśmy bardzo blisko rozwiązania tego zadania. Musimy teraz zamienić to równanie na postać iloczynową, wyłączając przed nawias \((a-b)\), zatem: $$(a-b)(a+b-1)=0$$ Krok 3. Rozwiązanie równania. Mając postać iloczynową wiemy, że aby to równanie było równe zero, to: $$a-b=0 \quad\lor\quad a+b-1=0 \           ,\ a=b \quad\lor\quad a+b=1$$ Otrzymaliśmy wyniki dokładnie takie jak w treści zadania, co kończy nasz dowód.

Teoria:      
W trakcie opracowania