Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach \(A=(3,8)\), \(B=(1,2)\), \(C=(6,7)\) jest prostokątny.

Odpowiedź:      

Udowodniono obliczając długości boków i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.

Rozwiązanie:      
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych: $$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ W ten sposób obliczymy długości trzech odcinków: \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\), a następnie za pomocą Twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy rzeczywiście będzie to trójkąt prostokątny. Krok 1. Obliczenie długości boków \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\). $$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(1-3)^2+(2-8)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{4+36} \           ,\ |AB|=\sqrt{40}$$ $$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{(6-3)^2+(7-8)^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{3^2+(-1)^2} \           ,\ |AC|=\sqrt{9+1} \           ,\ |AC|=\sqrt{10}$$ $$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{(6-1)^2+(7-2)^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{5^2+5^2} \           ,\ |BC|=\sqrt{25+25} \           ,\ |BC|=\sqrt{50}$$ Krok 2. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Jeśli trójkąt jest prostokątny to długości jego boków spełniają równanie wynikające z Twierdzenia Pitagorasa, zatem: $$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \           ,\ (\sqrt{40})^2+(\sqrt{10})^2=(\sqrt{50})^2 \           ,\ 40+10=50 \           ,\ 50=50 \           ,\ L=P$$ Skoro lewa i prawa strona równania są sobie równe, to znaczy że długości boków spełniają Twierdzenie Pitagorasa, zatem trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

Teoria:      
W trakcie opracowania