Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90°\) i \(|\sphericalangle ABC|=60°\). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

Odpowiedź:      

Wykazano korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy narysować sobie tę sytuację nanosząc na rysunek dane z treści zadania: Przy okazji możemy od razu zapisać, że skoro jest to trójkąt prostokątny i \(|\sphericalangle ABC|=60°\) to \(|\sphericalangle CAB|=30°\), co ułatwi nam późniejsze obliczenia. Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|AD|\) (czyli \(x\)). Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ADC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że: $$tg30°=\frac{h}{x} \           ,\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x} \           ,\ \frac{\sqrt{3}}{3}x=h \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \           ,\ x=\frac{3h}{\sqrt{3}}$$ Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DB\) (czyli \(y\)). Tym razem spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że: $$tg60°=\frac{h}{y} \           ,\ \sqrt{3}=\frac{h}{y} \           ,\ \sqrt{3}y=h \           ,\ y=\frac{h}{\sqrt{3}}$$ Krok 4. Zakończenie dowodzenia. Już po otrzymanych wynikach widzimy wyraźnie, że odcinek \(AD\) oznaczony jako \(x\) jest trzykrotnie większy od odcinka \(DB\) oznaczonego jako \(y\). Formalnie możemy jeszcze to zapisać w taki sposób: $$|AD|:|DB|=x:y=\frac{3h}{\sqrt{3}}:\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{3h}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{h}=3$$

Teoria:      
W trakcie opracowania