Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-2\) i \(x_{2}=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Odpowiedź:      

\(-\frac{16}{3}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej. Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej: $$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \           ,\ f(x)=a(x-(-2))(x-6) \           ,\ f(x)=a(x+2)(x-6)$$ Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\). W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy: $$-5=a(1+2)(1-6) \           ,\ -5=a\cdot3\cdot(-5) \           ,\ -5=-15a \           ,\ a=\frac{1}{3}$$ To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\). Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)). Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem: $$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \           ,\ p=\frac{-2+6}{2} \           ,\ p=\frac{4}{2} \           ,\ p=2$$ Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji. Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji: $$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6) \           ,\ f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6) \           ,\ f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4) \           ,\ f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16) \           ,\ f(2)=-\frac{16}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania