Zbiór wartości funkcji \(f(x)=(2a+b)x^2+(a+b-4)x-7\) określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) jest jednoelementowy. Wyznacz \(a\) i \(b\).

Odpowiedź:      

\(a=-4\) oraz \(b=8\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Analiza podanej funkcji. Z treści zadania wynika, że zbiór wartości naszej funkcji jest jednoelementowy. To oznacza, że dla każdego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje jednakową wartość. Takie funkcje nazywamy stałymi, a ich przykładowymi wzorami mogą być np. \(y=3\) albo \(y=-5\). Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a\) oraz \(b\). Nasza funkcja jest zapisana w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\). Skoro nasza funkcja jest stała, to wartość współczynnika \(a\) oraz \(b\) musi być równa \(0\). I tu uwaga, bo dane z treści zadania są na tyle niefortunne, że bardzo łatwo jest o pomyłkę. To nie liczba \(a\) oraz \(b\) ma być równa \(0\), tylko współczynniki \(a\) oraz \(b\) muszą być równe \(0\). Mówiąc wprost - to co znajduje się przed iksem kwadrat oraz przed iksem musi być równe \(0\). Skoro tak, to powstaną nam dwa równania z których da się zbudować układ równań: \begin{cases} 2a+b=0 \           ,\ a+b-4=0 \end{cases} \begin{cases} b=-2a\           ,\ a+b-4=0 \end{cases} Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: $$a+(-2a)-4=0 \           ,\ a-2a-4=0 \           ,\ -a-4=0 \           ,\ a=-4$$ Podstawiając teraz \(a=-4\) do wybranego równania obliczymy wartość \(b\): $$b=-2a \           ,\ b=-2\cdot(-4) \           ,\ b=8$$

Teoria:      
W trakcie opracowania