Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych, np. $3x^2y$. Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2-5x+1$. Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem nazywamy podobnymi — można je redukować: $3x+5x=8x$.
Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Przykład: $(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn — o nim najczęściej się zapomina.
$(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Łatwo to sprawdzić na liczbach: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się na czynniki.
Ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami (w graniastosłupie prostym).
$$V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Ma jedną podstawę, a ściany boczne są trójkątami zbiegającymi się w jednym wierzchołku.
$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H,\qquad P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma trzykrotnie mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Określenie prawidłowy oznacza, że podstawą jest wielokąt foremny: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, w trójkątnym — trójkąt równoboczny.
Nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością ściany bocznej $h$. Do objętości wchodzi $H$, do pola bocznego $h$. Wiąże je twierdzenie Pitagorasa. Pamiętaj też o jednostkach: $1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Okrąg to linia — zbiór punktów odległych od środka o promień $r$. Koło to okrąg wraz z całym wnętrzem.
$$l=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $d=2r$ to średnica, a $\pi\approx3{,}14$ jest stosunkiem obwodu do średnicy — identycznym dla każdego okręgu.
Dla kąta środkowego $\alpha$ bierzemy odpowiednią część pełnego okręgu:
$$l_{\text{łuku}}=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ},\qquad P_{\text{wycinka}}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii (każda prosta przez środek) oraz środek symetrii. Symetralna odcinka to prosta prostopadła przechodząca przez jego środek — jej punkty są równo oddalone od końców odcinka. Dwusieczna kąta dzieli kąt na połowy, a jej punkty są równo oddalone od ramion.
W polu do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Mając $d=10$, najpierw policz $r=5$, dopiero potem $P=\pi r^2$ — inaczej wynik będzie czterokrotnie za duży. Nie myl też łuku (długość, cm) z wycinkiem (pole, cm²).
To doświadczenie, którego wyniku nie da się przewidzieć, np. rzut kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy $\Omega$, a interesujące nas wyniki tworzą zdarzenie $A$.
Gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$$
Wynik zawsze mieści się w przedziale od $0$ (zdarzenie niemożliwe) do $1$ (zdarzenie pewne).
Przykład: rzut kostką, zdarzenie „liczba parzysta”: $P=\frac{3}{6}=\frac12$.
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy:
$$n=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Przykład: $3$ koszulki i $4$ spodnie dają $12$ zestawów.
Liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Ustawienie $4$ osób w rzędzie to $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ sposoby, a nie $4^4$.
Wzór klasyczny wymaga, by wyniki były równie prawdopodobne. Przy sumie oczek z dwóch kostek $|\Omega|=36$ (wszystkie pary), a nie $11$ (możliwe sumy) — bo suma $7$ wypada częściej niż $2$.
Przyległe — mają wspólne ramię i dopełniają się do $180^\circ$.
Wierzchołkowe — leżą naprzeciw siebie i są równe.
Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe, a kąty jednostronne dopełniają się do $180^\circ$.
$$|b-c|\lt a\lt b+c$$
Trójkąt istnieje, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić warunek dla najdłuższego boku.
Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar. Cechy przystawania:
Uwaga: trzy równe kąty (kkk) dają jedynie podobieństwo, nie przystawanie.
$$\text{suma kątów}=(n-2)\cdot180^\circ$$
W wielokącie foremnym (wszystkie boki i kąty równe) jeden kąt wynosi:
$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$$
Przykład: sześciokąt foremny ma kąt $\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$.
Dzielenie sumy kątów przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. Równość kątów odpowiadających wymaga, by proste rzeczywiście były równoległe — musi to wynikać z treści zadania, a nie z wyglądu rysunku.
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$
Sumujemy wszystkie dane i dzielimy przez ich liczbę. Każde wystąpienie liczy się osobno — dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$.
$$\text{suma}=\bar{x}\cdot n$$
Jeśli średnia trzech liczb wynosi $10$, ich suma to $30$. To bardzo częsty krok w zadaniach.
Słupkowy — porównywanie wielkości. Kołowy — udział części w całości; pełne koło to $360^\circ$, więc:
$$\text{procent}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%$$
Wycinek o kącie $90^\circ$ odpowiada $25\%$ całości.
Dołożenie liczby większej od dotychczasowej średniej podnosi ją, mniejszej — obniża. Liczba równa średniej nic nie zmienia.
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le 1$$
Zdarzenie niemożliwe ma $P=0$ (np. wyrzucenie $7$ na kostce), pewne $P=1$.
Średnia bywa myląca przy wartościach skrajnych — jedna bardzo duża liczba potrafi ją znacząco zawyżyć. Przy odczycie z diagramu zawsze sprawdź, czy oś zaczyna się od zera; przesunięta skala wyolbrzymia różnice.
Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają zdanie prawdziwe.
Równanie można zmieniać, o ile to samo robimy z obiema stronami:
$$5x-3=2x+9$$
$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: lewa strona $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$. Zgadza się.
Przy przenoszeniu przez znak równości zmieniamy znak składnika. Minus przed nawiasem dotyczy całego nawiasu: $7y-2(y+3)=7y-2y-6$, a nie $7y-2y+6$. Sprawdzenie wyniku kosztuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.
Kolejność: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^0=1$$
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$
Liczbę zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$. Wykładnik dodatni oznacza liczbę dużą, ujemny — mniejszą od $1$: $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$.
Wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$, spadek — przez $1-\frac{p}{100}$. Cenę sprzed obniżki znajdujemy dzieleniem, nigdy doliczaniem tego samego procentu.
Opuszczając nawias po minusie, zmieniamy znak każdego składnika: $3(2x-1)-2(x-4)=6x-3-2x+8=4x+5$.
Równanie rozwiązujemy, grupując niewiadome po jednej stronie, a liczby po drugiej. Wynik zawsze warto sprawdzić przez podstawienie.
$$c^2=a^2+b^2,\qquad S_{\text{kątów } n\text{-kąta}}=(n-2)\cdot180^\circ$$
$$P_{\triangle}=\frac{a\cdot h}{2},\qquad P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2},\qquad P_{\text{koła}}=\pi r^2,\qquad L=2\pi r$$
Trójki pitagorejskie warte zapamiętania: $3$–$4$–$5$, $6$–$8$–$10$, $9$–$12$–$15$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$.
$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p H,\qquad V_{\text{ostrosłupa}}=\tfrac13 P_p H$$
$$1\ \text{m}^3=1000\ \text{litrów},\qquad 1\ \text{dm}^3=1\ \text{litr}$$
Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów. Znając średnią i liczbę elementów, odzyskujemy sumę — to klucz do zadań o brakującej ocenie.
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
$$v=\frac{s}{t},\qquad s=v\cdot t,\qquad t=\frac{s}{v}$$
Czas podajemy w godzinach zapisanych ułamkiem: $2$ h $15$ min $=2{,}25$ h.
Czytaj, o co pytano — obwód czy pole, ile zostało czy ile zużyto. Sprawdzaj jednostki w odpowiedzi. W zadaniach otwartych zapisuj obliczenia: punkty przyznaje się także za metodę, nawet gdy wynik końcowy jest błędny.
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.
Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).
Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.
Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.
Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.
Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:
$$9\cdot9\cdot8=648$$
Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.
Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:
$$5\cdot8\cdot8=320$$
Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$
Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.
Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.
Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.
Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
$\frac{1}{2}$, $-3$, $0{,}25$ oraz $\frac{7}{3}$ — wszystkie są wymierne.
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.
Działania wykonujemy jak na ułamkach, pamiętając o regule znaków.
To prosta z punktem $0$, jednostką i zwrotem. Liczby dodatnie leżą na prawo, a ujemne na lewo od zera.
Liczba położona bardziej na prawo jest większa: $-2\lt 1$ oraz $-5\lt -3$.
$|a|$ to odległość liczby $a$ od zera, np. $|-4|=4$.
Liczby przeciwne, np. $3$ i $-3$, leżą symetrycznie względem zera.
Trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty — są identyczne co do kształtu i wielkości.
bok-bok-bok (bbb), bok-kąt-bok (bkb), kąt-bok-kąt (kbk).
Wystarczy sprawdzić jeden z trzech zestawów danych, aby wykazać przystawanie w dowodzie.
Przystawanie zapisujemy symbolem $\cong$.
W każdym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od trzeciego boku.
Dla boków $a,b,c$ zachodzi $a+b>c$, $a+c>b$ oraz $b+c>a$.
Trójkąt o danych bokach istnieje tylko wtedy, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.
Z odcinków $2,3,10$ nie zbudujemy trójkąta, bo $2+3\lt 10$.
Figury przystające mają ten sam kształt i te same wymiary — można je nałożyć na siebie tak, by się pokryły.
Odpowiednie boki i kąty figur przystających są równe.
Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa — w skali $1$.
Dwa kwadraty o boku $5$ są przystające.
Wyróżniamy graniastosłupy, ostrosłupy oraz bryły obrotowe (walec, stożek, kula).
Bryły mają ściany, krawędzie i wierzchołki. Sześcian ma $6$ ścian, $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków.
Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych (np. $cm^3$), a pole powierzchni w kwadratowych (np. $cm^2$).
Siatka to płaska figura, z której po zagięciu powstaje bryła.
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy połączone ścianami bocznymi. W graniastosłupie prostym ściany boczne to prostokąty.
Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; prostopadłościan i sześcian to szczególne przypadki.
$V=P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ wysokość.
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek. Ściany boczne to trójkąty.
Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; czworościan to ostrosłup trójkątny.
$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$ — trzy razy mniejsza niż graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
$P_c=P_p+P_b$.
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
Sześcian: $V=a^3$. Prostopadłościan: $V=a\cdot b\cdot c$.
Prostopadłościan $2\times3\times4$ ma objętość $24$.
Objętość podajemy w $cm^3$, $dm^3$, $m^3$; $1\,dm^3=1$ litr.
$P=\pi r^2$, gdzie $r$ to promień koła.
Jeśli dana jest średnica $d$, to $r=\frac{d}{2}$.
Dla $r=5$ pole wynosi $25\pi$.
$\pi$ to liczba niewymierna, w przybliżeniu $\pi\approx3{,}14$.
$\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ dla $a\ge0$ oraz $b\ge0$.
$\sqrt[3]{a}=b$ oznacza $b^3=a$; istnieje także dla liczb ujemnych.
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.
$\sqrt{49}=7$, $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{-8}=-2$.
Trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne to figury ograniczone odcinkami.
Okrąg to linia, a koło to okrąg wraz z wnętrzem.
Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, a $n$-kąt $(n-2)\cdot180^\circ$.
Prostokąt $a\cdot b$, trójkąt $\frac{1}{2}ah$, koło $\pi r^2$.
To prosta, względem której figura odbija się na siebie. Kwadrat ma $4$ osie symetrii, a prostokąt $2$.
To punkt, względem którego figura jest symetryczna — obrót o $180^\circ$ nakłada ją na siebie.
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii oraz środek symetrii w środku.
Litera A ma oś symetrii, a litera S ma środek symetrii.
Diagramy słupkowe, kołowe i wykresy liniowe służą do przedstawiania danych.
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wycinek odpowiada udziałowi danej części.
Z diagramów odczytujemy wartości i porównujemy kategorie.
Zwracaj uwagę na skalę osi — może nie zaczynać się od zera.
Długość okręgu $L=2\pi r$, a pole koła $P=\pi r^2$.
$L=\pi d$, ponieważ $d=2r$.
Dla $r=4$: $L=8\pi$ oraz $P=16\pi$.
Znając obwód, wyznaczymy promień: z $L=2\pi r$ mamy $r=\frac{L}{2\pi}$.
$P_c=2P_p+P_b$.
$P_p$ to pole podstawy (są dwie), $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Dla graniastosłupa prostego $P_b=Ob_p\cdot H$.
Sześcian o krawędzi $a$: $P_c=6a^2$.
$P_c=P_p+P_b$.
$P_p$ pole podstawy (jedno), $P_b$ pole powierzchni bocznej złożonej ze ścian trójkątnych.
Pole trójkąta bocznego liczymy z wysokości ściany bocznej.
Ostrosłup ma jedną podstawę i trójkątne ściany schodzące się w wierzchołku.
$a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$.
$a^0=1$ dla $a\neq0$.
Duże liczby zapisujemy jako $c\cdot10^k$.
$P(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$.
$0\le P(A)\le1$; zdarzenie pewne ma $1$, niemożliwe $0$.
Rzut kostką: $P(\text{szóstka})=\frac16$.
Liczbę wyników w etapach mnożymy.
Prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek; jej punkty są równo oddalone od końców odcinka.
Półprosta dzieląca kąt na dwa równe; jej punkty są równo oddalone od ramion kąta.
Konstrukcje geometryczne, wyznaczanie środka okręgu opisanego i wpisanego.
Te same dane można przedstawić tak, by sugerowały różne wnioski.
Ucięta oś, nierówne skale lub dobór okresu mogą wprowadzać w błąd.
Warto sprawdzać źródło danych, wielkość próby i sposób prezentacji.
Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $y=ax$.
$a$ to współczynnik proporcjonalności.
Prosta przechodząca przez początek układu.
Droga przy stałej prędkości jest wprost proporcjonalna do czasu.
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.
$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
Trójkąt równoboczny ($60^\circ$), kwadrat ($90^\circ$), sześciokąt foremny ($120^\circ$).
Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg i opisać na okręgu.
Dane gromadzimy przez obserwacje, pomiary lub ankiety.
Zestawiamy je w tabelach częstości i przedstawiamy na diagramach.
Słupkowy, kołowy, liniowy — dobierany do rodzaju danych.
Z danych wyznaczamy średnią, medianę i dominantę.
Obliczamy podwyżki, obniżki, podatki i odsetki.
Zamieniamy jednostki długości, masy, czasu i pola.
Skala wiąże odległość na mapie z odległością rzeczywistą.
$v=\frac{s}{t}$ w zadaniach o ruchu.
Twierdzenie ma założenie („jeżeli") i tezę („to").
To rozumowanie wyprowadzające tezę z założeń.
Powstaje przez zamianę założenia z tezą — nie zawsze prawdziwe.
Jeden przykład wystarczy, aby obalić zdanie ogólne.
Przeczytaj treść, wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.
Dobierz metodę: równanie, wzór, proporcję.
Prowadź rachunki starannie, pilnuj jednostek.
Oceń, czy wynik ma sens i odpowiedz pełnym zdaniem.
bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB), kąt-bok-kąt (KBK).
Z przystawania wynika równość odpowiednich boków i kątów.
Dowodzimy równości odcinków lub kątów, wskazując przystające trójkąty.
Graniastosłup $V=P_p H$; ostrosłup $V=\frac{1}{3}P_p H$.
Pole powierzchni to suma pól z siatki bryły.
Wypisz dane, rozpoznaj bryłę, dobierz wzór, pilnuj jednostek.
Sześcian o krawędzi $a$: $V=a^3$, $P_c=6a^2$.
Dwie równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami; $V=P_p H$.
Jedna podstawa i ściany boczne trójkątne schodzące się w wierzchołku; $V=\frac{1}{3}P_p H$.
$P_c=2P_p+P_b$ (graniastosłup), $P_c=P_p+P_b$ (ostrosłup).
Przyległe sumują się do $180^\circ$, wierzchołkowe są równe.
Kąty naprzemianległe i odpowiadające są równe.
Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.
Zaznacz znane kąty i korzystaj z zależności między nimi.
Kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, podwojony iloczyn i kwadrat drugiego wyrazu.
Przykład: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.
Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.
Jedna trzecia objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Przykład: Podstawa kwadrat $6\times6$, $H=5$: $V=\frac13\cdot36\cdot5=60$.
Odwrotność ułamka otrzymujemy, zamieniając licznik z mianownikiem. Iloczyn liczby i jej odwrotności jest równy 1.
Przykład: Odwrotnością $\frac{3}{8}$ jest $\frac{8}{3}$, bo $\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}=1$.
Pole koła o promieniu $r$.
Przykład: $r=3$: $P=9\pi\approx28{,}3$.
Obwód podstawy razy wysokość (ściany boczne to prostokąty).
Przykład: Podstawa kwadrat o boku 3 ($Ob=12$), $H=5$: $P_b=60$.
Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.
Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.
Pole podstawy plus suma pól ścian bocznych (trójkątów).
Przykład: Kwadrat $6\times6$, cztery ściany po 15: $P_c=36+60=96$.
Połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok.
Przykład: Bok 10 cm, wysokość 6 cm: $P=30$ cm².
Kapitał po $n$ okresach kapitalizacji przy oprocentowaniu $p\%$ w okresie.
Przykład: 1000 zł na 5% rocznie przez 3 lata: $1000\cdot1{,}05^3=1157{,}63$ zł.
Iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych.
Przykład: $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}\Rightarrow 3x=30\Rightarrow x=10$.
Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.
Gdy $a=0$: brak rozwiązań ($b\neq0$) albo nieskończenie wiele ($b=0$).
Przykład: $3x-12=0\Rightarrow x=4$.
Suma wartości podzielona przez ich liczbę.
Przykład: Oceny 4, 5, 3, 4: $\bar{x}=\frac{16}{4}=4$.
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
Przykład: $a=6$, $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=10$.
Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania jednocześnie.
Przykład: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=3,\ y=2$.
Pozwala szybko rozwiązywać równania i nierówności z modułem.
Przykład: $|x-3|=2$: punkty odległe od 3 o 2, czyli $x=1$ lub $x=5$.
Decyduje o liczbie miejsc zerowych: 2 ($\Delta>0$), 1 ($\Delta=0$), 0 ($\Delta<0$).
Przykład: $x^2-6x+9$: $\Delta=36-36=0$ — jedno miejsce zerowe.
Związki między pierwiastkami a współczynnikami (dla $\Delta\ge0$).
Przykład: $x^2-7x+10=0$: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$, czyli $2$ i $5$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Objętość graniastosłupa o polu podstawy $24$ cm$^2$ i wysokości $7$ cm wynosi:
Oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy $27$ cm$^2$ i wysokości $8$ cm.
Oblicz przekątną kwadratu o boku $6$ cm.
Sześcian ma objętość $64$ cm$^3$. Ile wynosi jego pole powierzchni?
Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu o boku $5$ cm i wysokości $8$ cm.
Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ wynosi:
Graniastosłup prosty ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ cm i $8$ cm oraz wysokość $12$ cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $8$ cm i wysokość ściany bocznej $5$ cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
Ostrosłup i graniastosłup mają tę samą podstawę i tę samą wysokość. Objętość ostrosłupa jest:
Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $12$ cm i wysokości ściany bocznej $10$ cm.
Ile litrów mieści prostopadłościenny zbiornik o wymiarach $50$ cm, $40$ cm i $30$ cm?
Oblicz przekątną prostopadłościanu o wymiarach $3$ cm, $4$ cm i $12$ cm.
Objętość ostrosłupa wynosi $100$ cm$^3$, a jego wysokość $12$ cm. Oblicz pole podstawy.
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma ile ścian bocznych?
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $4$ cm i wysokość $10$ cm. Oblicz jego objętość.
Jeśli wszystkie krawędzie sześcianu wydłużymy dwukrotnie, to jego objętość:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ cm i wysokość $4$ cm. Oblicz jego objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $20$ m na $8$ m i głębokości $1{,}5$ m. Ile metrów kwadratowych płytek trzeba na wyłożenie dna i czterech ścian bocznych?
Namiot ma kształt graniastosłupa trójkątnego leżącego na boku: podstawą jest trójkąt równoramienny o podstawie $2$ m i wysokości $1{,}5$ m, a długość namiotu to $3$ m. Oblicz objętość namiotu i pole materiału potrzebne na dwie ściany trójkątne.
Z sześcianu o krawędzi $6$ cm wycięto ostrosłup, którego podstawą jest ściana sześcianu, a wierzchołkiem — środek przeciwległej ściany. Jaka jest objętość pozostałej części i jaki procent sześcianu ona stanowi?
Objętość sześcianu o krawędzi $3$ wynosi:
Oblicz objętość prostopadłościanu $2\times3\times4$.
Objętość graniastosłupa o polu podstawy $8$ i wysokości $5$ to:
Oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy $6$ i wysokości $5$.
Oblicz pole powierzchni sześcianu o krawędzi $2$.
Sześcian ma objętość $64$. Podaj długość krawędzi.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$.
Objętość prostopadłościanu $2\times5\times6$?
Objętość graniastosłupa: $V=$
Objętość ostrosłupa o polu podstawy $12$ i wysokości $5$?
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi $5$?
Sześcian ma objętość $125$. Podaj krawędź.
Objętość ostrosłupa: $V=$
Objętość graniastosłupa: pole podstawy $10$, wysokość $7$?
Prostopadłościan o wymiarach $3\times3\times H$ ma objętość $45$. Podaj $H$.
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi $1$?
Pole powierzchni graniastosłupa: $P_c=$
Ostrosłup ma objętość $30$, pole podstawy $18$. Podaj wysokość.
Objętość sześcianu o krawędzi $2{,}5$? (zaokrąglij do $0{,}1$)
Akwarium $40\times30\times25$ cm. Ile litrów wody się zmieści?
Pole koła o promieniu $r$ to:
Oblicz obwód prostokąta o bokach $3$ i $5$.
Pole trójkąta o podstawie $8$ i wysokości $5$ to:
Oblicz długość okręgu o promieniu $3$.
Przekątna kwadratu ma długość $a\sqrt2$. Oblicz ją dla $a=5$.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $6$ i $8$. Oblicz przeciwprostokątną.
Obwód kwadratu o boku $5$?
Pole koła o promieniu $2$?
Przeciwprostokątna trójkąta $3,4$:
Pole trójkąta $b=12$, $h=5$?
Długość okręgu o promieniu $4$?
Przekątna prostokąta $6\times8$?
Obwód prostokąta $4\times9$?
Pole równoległoboku $a=7$, $h=4$:
Przekątna kwadratu o boku $4$?
Pole trapezu $a=3$, $b=5$, $h=4$?
Trójkąt równoboczny o boku $2$ ma wysokość?
Pole koła o średnicy $8$?
Trójka pitagorejska to:
Kwadrat o polu $36$ — oblicz jego przekątną.
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $12\ \text{cm}^2$ i wysokości $5$ cm.
Oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy $12\ \text{cm}^2$ i wysokości $5$ cm.
Objętość sześcianu wynosi $64\ \text{cm}^3$. Jaka jest długość jego krawędzi?
Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $3$ cm.
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $3$ cm, $4$ cm i $5$ cm.
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach $3$ cm, $4$ cm i $5$ cm.
Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm. Wysokość graniastosłupa wynosi $10$ cm. Oblicz jego objętość.
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $6$ cm i wysokości $4$ cm.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma $6$ cm, a wysokość ściany bocznej (apotema) $5$ cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
Ile wierzchołków ma ostrosłup o podstawie sześciokąta?
Ile centymetrów sześciennych ma $1$ litr?
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych $6$ cm i $8$ cm. Wysokość graniastosłupa wynosi $12$ cm. Oblicz objętość bryły.
Oblicz długość przekątnej ściany sześcianu o krawędzi $5$ cm.
Oblicz pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy ma $6$ cm.
Pole podstawy graniastosłupa wynosi $18\ \text{cm}^2$, a jego objętość $126\ \text{cm}^3$. Oblicz wysokość tej bryły.
Jeśli krawędź sześcianu podwoimy, to jego objętość wzrośnie:
Objętość ostrosłupa wynosi $40\ \text{cm}^3$, a pole jego podstawy $24\ \text{cm}^2$. Oblicz wysokość ostrosłupa.
Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu o boku $4$ cm i wysokości $10$ cm.
Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $50$ cm $\times$ $30$ cm $\times$ $40$ cm. Ile litrów wody zmieści się w nim, jeśli napełnimy je do $\frac{3}{4}$ wysokości?
Graniastosłup i ostrosłup mają jednakowe podstawy o polu $30\ \text{cm}^2$ oraz tę samą wysokość $9$ cm. O ile centymetrów sześciennych objętość graniastosłupa jest większa od objętości ostrosłupa?
Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $3\times4\times5$.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$ to:
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $2\times3\times4$.
Graniastosłup ma pole podstawy $15$ cm² i wysokość $8$ cm. Oblicz objętość.
Ile ścian ma graniastosłup trójkątny?
Graniastosłup prosty ma podstawę — trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$. Wysokość graniastosłupa to $10$. Oblicz objętość.
$1$ litr to:
Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $50\times30\times40$ cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?
Objętość sześcianu wynosi $27$ cm³. Jaka jest jego krawędź?
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to obwód podstawy razy wysokość. Oblicz $P_b$ dla graniastosłupa o podstawie kwadratu o boku $5$ i wysokości $12$.
Graniastosłup ma objętość $200$ cm³ i pole podstawy $25$ cm². Oblicz jego wysokość.
Jeśli krawędź sześcianu podwoimy, to jego objętość wzrośnie:
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma pole podstawy $6\sqrt3$ i wysokość $10$. Oblicz objętość.
Ile wierzchołków ma graniastosłup czworokątny (prostopadłościan)?
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma podstawę kwadratu o boku $8$ cm i objętość $960$ cm³. Oblicz jego wysokość i pole powierzchni bocznej.
Basen w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $25$ m × $10$ m i głębokość $2$ m. Ile m³ wody potrzeba, by napełnić go do $\frac34$ wysokości?
Sześcian ma pole powierzchni całkowitej $150$ cm². Oblicz jego objętość.
Wykaż, że objętość graniastosłupa o podstawie kwadratu o boku $a$ i wysokości równej $a$ jest równa objętości sześcianu o krawędzi $a$.
Dwa kąty przyległe. Jeden ma $72^\circ$. Ile ma drugi?
Kąty wierzchołkowe mają miary:
Oblicz sumę kątów wewnętrznych pięciokąta.
Ile stopni ma każdy kąt w sześciokącie foremnym?
Czy z odcinków o długościach $3$, $4$ i $8$ można zbudować trójkąt?
Które boki mogą tworzyć trójkąt?
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $50^\circ$. Oblicz kąty przy podstawie.
Cecha przystawania trójkątów „bok–bok–bok” oznacza, że trójkąty są przystające, gdy:
Kąt zewnętrzny trójkąta ma $115^\circ$. Oblicz sąsiedni kąt wewnętrzny.
Ile osi symetrii ma kwadrat?
Oblicz sumę kątów wewnętrznych ośmiokąta i miarę jednego kąta w ośmiokącie foremnym.
Dwa kąty trójkąta mają $40^\circ$ i $75^\circ$. Oblicz trzeci kąt i określ rodzaj trójkąta ze względu na kąty.
Kąty naprzemianległe przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą są:
W wielokącie foremnym każdy kąt wewnętrzny ma $150^\circ$. Ile boków ma ten wielokąt?
Trójkąty $ABC$ i $DEF$ mają: $AB=DE=5$, $BC=EF=7$ oraz kąt między tymi bokami po $60^\circ$. Czy są przystające? Podaj cechę.
Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi:
W trójkącie kąty mają miary $x$, $2x$ i $3x$. Oblicz je i określ rodzaj trójkąta.
Boki trójkąta to $x$, $x+2$ i $x+4$. Obwód wynosi $18$. Oblicz boki i sprawdź, czy spełniają nierówność trójkąta.
Kąt $\alpha$ i kąt $\beta$ są przyległe. Kąt $\alpha$ jest trzy razy większy od $\beta$. Oblicz oba kąty.
Ile przekątnych ma ośmiokąt? Skorzystaj ze wzoru $\frac{n(n-3)}{2}$.
Oblicz długość okręgu o promieniu $5$ cm.
Oblicz pole koła o promieniu $6$ cm.
Długość okręgu wynosi $18\pi$ cm. Oblicz jego promień i średnicę.
Pole koła wynosi $49\pi$ cm$^2$. Ile wynosi jego promień?
Koło ma średnicę $10$ cm. Oblicz jego obwód i pole.
Promień koła zwiększono dwukrotnie. Jak zmieniło się jego pole?
Oblicz długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy $90^\circ$ w okręgu o promieniu $8$ cm.
Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy $60^\circ$ w kole o promieniu $6$ cm.
Ile osi symetrii ma okrąg?
Koło rowerowe ma średnicę $70$ cm. Ile metrów przejedzie rower po $100$ pełnych obrotach koła? Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
Z kwadratu o boku $10$ cm wycięto koło o największym możliwym promieniu. Oblicz pole pozostałej części. Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
Jaka jest różnica między kołem a okręgiem?
Obwód koła wynosi $12\pi$ cm. Oblicz jego pole.
Oblicz pole pierścienia kołowego zawartego między okręgami o promieniach $5$ cm i $3$ cm o wspólnym środku.
Jaki kąt środkowy wyznacza łuk o długości równej $\frac13$ długości okręgu?
Ogrodnik chce ogrodzić okrągły klomb o promieniu $4$ m. Ile metrów siatki potrzebuje i ile metrów kwadratowych ziemi zajmie klomb? Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
Na kwadracie o boku $8$ cm opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu oraz pole koła ograniczonego tym okręgiem.
Która z figur ma środek symetrii, ale nie ma osi symetrii?
Bieżnia stadionu składa się z dwóch prostych odcinków o długości $100$ m każdy oraz dwóch półkoli o promieniu $35$ m. Oblicz długość jednego okrążenia. Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
W kole o promieniu $10$ cm wycinek o kącie środkowym $72^\circ$ pomalowano na czerwono. Oblicz pole pomalowanej części oraz jaki procent całego koła ona stanowi. Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
Samochód jedzie $90$ km/h. Ile kilometrów przejedzie w $40$ minut?
Oblicz $-3{,}5+7{,}2$.
Za $6$ kg ziemniaków zapłacono $15$ zł. Ile kosztuje $10$ kg?
Ile wynosi $(-4)\cdot(-6)$?
Temperatura rano wynosiła $-7^\circ$C, a w południe $5^\circ$C. O ile stopni wzrosła?
Bluza kosztowała $180$ zł. Po obniżce kosztuje $126$ zł. O ile procent staniała?
Pociąg wyjechał o $9{:}20$ i jechał $3$ godziny $50$ minut. O której godzinie dotarł na miejsce?
Rachunek za prąd wynosi $186$ zł, a zużycie to $310$ kWh. Ile kosztuje jedna kilowatogodzina?
Ile wynosi $-12:(-3)$?
Kredyt na $2400$ zł spłacamy w $16$ równych ratach. Ile wynosi jedna rata? Ile zostanie do spłaty po $6$ ratach?
Który zapis przedstawia liczbę wymierną?
Farba wystarcza na $12$ m$^2$ ściany. Ile puszek trzeba kupić, aby pomalować ścianę o wymiarach $8$ m na $2{,}5$ m?
Oblicz $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}$.
Przepis na $4$ porcje wymaga $300$ g mąki. Ile mąki na $6$ porcji?
Zbiornik o pojemności $450$ litrów napełnia się w tempie $25$ litrów na minutę. Po ilu minutach będzie pełny? Ile wody będzie w nim po $8$ minutach?
Ile wynosi $-5-(-8)$?
Rodzina zużywa miesięcznie $14$ m$^3$ wody. Cena to $9{,}50$ zł za m$^3$ plus stała opłata abonamentowa $12$ zł. Ile zapłaci za pół roku?
Rower kosztuje $1200$ zł. Sklep oferuje dwie opcje: $15\%$ rabatu od razu albo płatność w $12$ ratach po $105$ zł. Która opcja jest tańsza i o ile?
Kierowca przejechał $180$ km ze średnią prędkością $60$ km/h, a następnie $120$ km z prędkością $80$ km/h. Ile trwała cała podróż i jaka była średnia prędkość na całej trasie?
Sklep kupuje towar po $60$ zł i sprzedaje po $84$ zł. Po miesiącu obniża cenę sprzedaży o $10\%$. Czy nadal zarabia? Ile wynosi zysk po obniżce?
Wynikiem mnożenia $(x+2)(x+3)$ jest:
Wykonaj mnożenie $(a+4)(a-4)$.
Punkt $A=(3,\,5)$ odbito symetrycznie względem osi $OY$. Podaj współrzędne obrazu.
Ile osi symetrii ma prostokąt, który nie jest kwadratem?
Wykonaj mnożenie $(x-1)(x+5)$.
Która figura ma środek symetrii?
Wykonaj mnożenie $(2x+3)(x-4)$.
Punkt $B=(-4,\,7)$ odbito symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Podaj współrzędne obrazu i sprawdź wynik.
Wyrażenie $(x+3)^2$ jest równe:
Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny, a ile trójkąt równoramienny (niebędący równobocznym)?
Wynikiem mnożenia $(a-3)(a-5)$ jest:
Zaznacz na osi liczbowej i porównaj: $-3$, $1{,}5$, $-\frac{1}{2}$, $0$.
Wykonaj mnożenie $(x+2)(x^2-3)$.
Ile osi symetrii ma koło?
Wykorzystaj wzór na różnicę kwadratów, aby obliczyć $98\cdot102$.
Punkt $(5,-2)$ po odbiciu względem osi $OX$ przechodzi na:
Wykonaj mnożenie i uprość: $(x+3)(x-2)-(x+1)(x-1)$.
Zapisz wyrażeniem pole prostokąta o bokach $(x+3)$ i $(x+1)$, a następnie oblicz, o ile jest ono większe od pola kwadratu o boku $x$.
Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,\,2)$, $B=(4,\,2)$, $C=(4,\,6)$. Odbij go symetrycznie względem osi $OX$ i podaj współrzędne obrazu. Czy pole się zmieniło?
Wykaż, że wyrażenie $(x+1)(x+3)-(x+2)^2$ ma tę samą wartość dla każdego $x$. Podaj tę wartość.
Rzucamy monetą. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi:
Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej?
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi:
W worku jest $5$ kul czerwonych i $3$ zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej?
Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej niż $4$ to:
Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia wynosi $0{,}3$. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
W klasie jest $12$ dziewcząt i $18$ chłopców. Losowo wybieramy jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to dziewczyna?
Losujemy jedną kartę z talii $52$ kart. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa?
Rzucamy dwiema monetami. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
Rzucamy dwiema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów?
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi:
W urnie jest $10$ losów, z czego $2$ wygrywające. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania losu przegrywającego?
Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez $3$?
Które prawdopodobieństwo jest niemożliwe?
Losujemy liczbę od $1$ do $20$. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby pierwszej?
W pudełku jest $6$ kul: $1$ biała, $2$ czarne, $3$ czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania białej to:
Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $7$?
W urnie są kule ponumerowane od $1$ do $12$. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli z numerem podzielnym przez $3$ lub przez $4$?
W klasie $25$ uczniów $15$ uczy się angielskiego, $12$ niemieckiego, a $5$ obu języków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń uczy się co najmniej jednego z tych języków?
Wykaż, że dla dowolnego zdarzenia $A$ zachodzi $P(A)+P(A')=1$, gdzie $A'$ to zdarzenie przeciwne.
Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru:
Oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy $12$ i wysokości $5$.
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku $6$. Oblicz pole podstawy.
Ile ścian bocznych ma ostrosłup czworokątny?
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku $6$ i wysokość $10$. Oblicz objętość.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pola podstawy i pola bocznego. Oblicz $P_c$, gdy $P_p=25$ i $P_b=60$.
Ile wierzchołków ma ostrosłup trójkątny (czworościan)?
Ostrosłup ma objętość $48$ i pole podstawy $12$. Oblicz jego wysokość.
Ściany boczne ostrosłupa są zawsze:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku $8$ i wysokość ściany bocznej (apotemę) $5$. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Ostrosłup i graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości. Objętość ostrosłupa to:
Oblicz objętość czworościanu, którego podstawą jest trójkąt o polu $9$, a wysokość ostrosłupa wynosi $7$.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma pole podstawy $49$ i objętość $196$. Oblicz wysokość.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku $10$ i apotemę ściany bocznej $13$. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
Ile krawędzi ma ostrosłup czworokątny?
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku $12$ i wysokość ostrosłupa $8$. Oblicz apotemę ściany bocznej (wysokość trójkąta bocznego).
Namiot ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o podstawie $3$ m × $3$ m i wysokości $2$ m. Ile m³ powietrza mieści?
Dwa ostrosłupy mają tę samą wysokość. Pierwszy ma podstawę o polu $10$, drugi o polu $30$. Ile razy większa jest objętość drugiego?
Wykaż, że objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o boku podstawy $a$ i wysokości $h$ wyraża się wzorem $V=\frac13 a^2 h$.
Ile wynosi $\sqrt{49}$?
Oblicz $\sqrt[3]{64}$.
Oblicz $\sqrt{25}+\sqrt{16}$.
Uprość $\sqrt{50}$.
Oblicz $\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}$ dwoma sposobami.
Która z liczb jest niewymierna?
Oblicz $\left(\sqrt{7}\right)^2$.
Oblicz $\sqrt{144}:\sqrt{4}$.
Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{20}$?
Oblicz $2\sqrt3+5\sqrt3-\sqrt3$.
Oblicz $2^3\cdot2^2$.
Zapisz w notacji wykładniczej liczbę $45\,000$.
Oblicz $\sqrt{0{,}09}$.
Oblicz $5^0+3^1$.
Bok kwadratu o polu $81$ cm$^2$ wyznacz, korzystając z pierwiastka.
Oblicz $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$.
Oblicz $\frac{6^5}{6^3}$.
Przekątna kwadratu o boku $5$ ma długość $5\sqrt2$. Oblicz przybliżoną długość tej przekątnej (przyjmij $\sqrt2\approx1{,}41$).
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{16}+2^3-\sqrt[3]{27}$.
Kwadrat ma pole $2$ cm$^2$. Oblicz długość jego boku i przekątnej, podając wyniki w postaci pierwiastków.
Wzór na pole koła o promieniu $r$ to:
Wzór na długość okręgu (obwód koła) o promieniu $r$ to:
Oblicz pole koła o promieniu $5$ (wynik z $\pi$).
Oblicz długość okręgu o promieniu $3$ (wynik z $\pi$).
Średnica koła jest równa:
Koło ma średnicę $10$. Oblicz jego pole (z $\pi$).
Oblicz pole koła o promieniu $4$, przyjmując $\pi\approx3{,}14$.
Jeśli promień koła wynosi $7$, to jego obwód to:
Długość okręgu wynosi $12\pi$. Oblicz promień.
Pole koła wynosi $36\pi$. Oblicz promień.
Pole koła o promieniu $1$ wynosi:
Oblicz pole pierścienia między okręgami o promieniach $5$ i $3$ (o wspólnym środku), wynik z $\pi$.
Ile wynosi pole półkola o promieniu $6$ (z $\pi$)?
Gdy promień koła podwoimy, jego pole wzrośnie:
Okrągły basen ma średnicę $8$ m. Oblicz jego obwód i pole (przyjmij $\pi\approx3{,}14$).
Długość okręgu o średnicy $10$ wynosi:
Koło ma obwód $20\pi$. Oblicz jego pole (z $\pi$).
Ćwiartka koła (wycinek $90^\circ$) ma promień $8$. Oblicz jej pole (z $\pi$).
Koło wpisano w kwadrat o boku $10$. Oblicz pole części kwadratu poza kołem (przyjmij $\pi\approx3{,}14$).
Wykaż, że stosunek pola koła do kwadratu jego promienia jest zawsze równy $\pi$, niezależnie od wielkości koła.
Oblicz: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$.
Oblicz: $-3{,}5+1\tfrac14$.
Wartość wyrażenia $\dfrac{3^2}{4}-2^2$ jest równa:
Dane są liczby $x=-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{9}$ oraz $y=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{9}$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Oblicz wartość wyrażenia $\left(1{,}6-2\tfrac12\right):(-3)$.
Na osi liczbowej odcinek $AC$ podzielono na $6$ równych części. Punkt $A$ ma współrzędną $12$, a punkt $C$ — współrzędną $42$. Oblicz współrzędną punktu $B$, który jest drugim punktem podziału licząc od $A$.
Ile wynosi $\dfrac{5}{6}$ liczby, której $\dfrac{2}{3}$ jest równe $18$?
Liczbę $\dfrac{11}{12}$ zapisano jako sumę trzech ułamków, z których pierwszy jest równy $\dfrac13$, a drugi $\dfrac14$. Oblicz trzeci składnik tej sumy.
Paweł podzielił tabliczkę czekolady tak, że bratu dał $\dfrac12$ tabliczki, siostrze $\dfrac13$, a resztę zjadł sam. Tabliczka miała $24$ kostki. Oblicz, ile kostek zjadł Paweł.
Wykaż, że wartość wyrażenia $\left(\dfrac34-\dfrac12\right)\cdot\left(\dfrac25+\dfrac13\right)$ jest liczbą dodatnią mniejszą od $\dfrac14$, i oblicz tę wartość.
Oblicz $15\%$ liczby $340$.
Cena kurtki wynosiła $240$ zł i została obniżona o $25\%$. Ile kosztuje kurtka po obniżce?
Liczba $60$ jest o ile procent większa od liczby $48$?
Cenę towaru najpierw podwyższono o $20\%$, a potem obniżono o $20\%$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W klasie jest $25$ uczniów, z czego $60\%$ to dziewczynki. Oblicz, ilu chłopców jest w tej klasie.
W sadzie rosną grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o $40\%$ większa od liczby jabłoni, a grusz jest o $50$ więcej niż jabłoni. Oblicz, ile jabłoni rośnie w sadzie.
Rower kosztował $1200$ zł. W maju cenę obniżono o $10\%$, a w czerwcu nową cenę obniżono jeszcze o $15\%$. Oblicz cenę roweru po obu obniżkach.
Kasia odłożyła na zakup tabletu $360$ zł, co stanowi $45\%$ jego ceny. Oblicz cenę tabletu oraz kwotę, której jeszcze brakuje.
Sklep kupił $80$ kg jabłek po $2{,}50$ zł za kilogram. Połowę sprzedał po $4$ zł za kilogram, a resztę — po obniżce o $20\%$ tej ceny. Oblicz zysk sklepu.
Wykaż, że jeżeli cenę towaru podwyższono o $25\%$, a następnie obniżono o $20\%$, to cena końcowa jest równa cenie początkowej.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^4\cdot3^5$.
Oblicz $\sqrt{\dfrac{49}{81}}$.
Wartość wyrażenia $\dfrac{9^4\cdot9^3}{9^5}$ jest równa:
Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Zapisz liczbę $(300\,000)^2$ w postaci $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$.
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{121}-\sqrt{\dfrac{9}{25}}+\sqrt[3]{27}$.
Zapisz wartość wyrażenia $\dfrac{4^5\cdot2^3}{8^2}$ w postaci potęgi liczby $2$.
Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{136}$? Odpowiedź uzasadnij.
Oblicz, ile razy liczba $2^{12}$ jest większa od liczby $2^{7}$, i zapisz obie liczby w postaci dziesiętnej.
Wykaż, że wartość wyrażenia $\dfrac{10^8}{5^8}$ jest liczbą naturalną, i oblicz ją.
Podaj resztę z dzielenia liczby $100$ przez $7$.
Oblicz NWD liczb $24$ i $36$.
Która z liczb jest podzielna przez $9$?
Rozważamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Ile jest liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej $4$ i zapisanych wyłącznie cyframi różnymi od zera? Wypisz je.
Listewkę o długości $84$ cm chcemy pociąć na jednakowe kawałki o długości będącej liczbą całkowitą centymetrów, dłuższe niż $10$ cm i krótsze niż $30$ cm. Podaj wszystkie możliwe długości kawałka.
Czy liczba $k=417+255$ jest podzielna przez $3$? Odpowiedź uzasadnij bez wykonywania dzielenia.
Autobus linii A odjeżdża co $12$ minut, a linii B — co $18$ minut. O godzinie $8:00$ odjechały razem. Oblicz, o której godzinie najbliżej odjadą znowu razem.
Uzasadnij, że iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $10$.
Na kartce ułożono figurę z kolejno numerowanych odcinków: odcinki o numerach podzielnych przez $3$ są czerwone, a pozostałe — niebieskie. Oblicz, ile odcinków czerwonych jest wśród pierwszych $50$ odcinków, i podaj numer ostatniego z nich.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.