Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Potęga $a^n$ to skrócony zapis mnożenia liczby $a$ przez siebie $n$ razy. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ — wykładnikiem.
Przy tej samej podstawie:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$
Przy tym samym wykładniku:
$$a^n\cdot b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$
$$a^0=1\ (a\ne0),\qquad a^1=a,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną: $2^{-3}=\frac18$.
Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$:
$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$, $\quad 0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$
Wzory na mnożenie i dzielenie działają tylko przy identycznej podstawie — wyrażenia $2^3\cdot3^2$ nie da się zapisać jako jednej potęgi. Nie istnieje też wzór na $a^m+a^n$.
Równanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
Przykład: $2(x-3)=x+5 \Rightarrow 2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$. Sprawdzenie: $2\cdot8=16$ i $11+5=16$. ✔
Ten sam mechanizm stosujemy do wzorów. Z $P=a\cdot b$ otrzymujemy $b=\frac{P}{a}$ (przy $a\ne0$).
Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniamy jego znak. Mnożąc równanie przez nawias, mnóż każdy składnik: $3(2x-5)=6x-15$, a nie $6x-5$.
To równość dwóch ilorazów:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
Podstawowa własność — iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych:
$$a\cdot d=b\cdot c$$
Przykład: z $\frac{x}{6}=\frac{10}{4}$ otrzymujemy $4x=60$, więc $x=15$.
$$y=ax,\qquad \frac{y}{x}=a\ (\text{stałe})$$
Obie wielkości rosną w tym samym tempie. Dwa razy więcej towaru to dwa razy większa zapłata.
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a\ (\text{stałe})$$
Gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje. Przykład: dwa razy więcej robotników to dwa razy krótszy czas pracy.
Aby podzielić $600$ zł w stosunku $2:3$: sumujemy części ($2+3=5$), wyznaczamy jedną część ($600:5=120$) i mnożymy ($2\cdot120=240$ oraz $3\cdot120=360$).
Skala $1:50\,000$ oznacza, że $1$ cm na mapie to $50\,000$ cm w terenie, czyli $500$ m. Odcinek $4$ cm odpowiada więc $2$ km.
Przed użyciem proporcji ustal typ zależności. Test: podwój jedną wielkość — jeśli druga też się podwaja, to proporcjonalność prosta; jeśli maleje o połowę — odwrotna. Zależność z opłatą stałą (np. $y=4x+10$) nie jest proporcjonalnością.
Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$
Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.
Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:
$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$
Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.
Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:
$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.
$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.
Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:
$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$
Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.
To dwie różne miary tej samej zmiany:
Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.
Przekształcanie wzoru to wyznaczenie z niego innej wielkości. Obowiązuje jedna zasada: to, co robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić z drugą.
Ze wzoru $P=a\cdot b$ wyznaczamy $b$, dzieląc obie strony przez $a$:
$$b=\frac{P}{a}$$
Ze wzoru $P=\frac{a\cdot h}{2}$ wyznaczamy $h$ w dwóch krokach:
$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$
Ze wzoru $y=2x+3$ wyznaczamy $x$. Najpierw odejmujemy $3$, potem dzielimy przez $2$:
$$y-3=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-3}{2}$$
Kolejność działań ma znaczenie: $\frac{y-3}{2}$ to nie to samo co $\frac{y}{2}-3$. Gdy nie masz pewności, czy wzór przekształciłeś dobrze, podstaw konkretne liczby i sprawdź, czy obie wersje dają ten sam wynik. Warto też kontrolować jednostki — kilometry dzielone przez km/h muszą dać godziny.
$$\text{wzrost o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{spadek o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Wzrost o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, spadek o $35\%$ — przez $0{,}65$.
Jeśli po obniżce o $30\%$ towar kosztuje $91$ zł, to $91$ stanowi $70\%$ ceny pełnej:
$$91:0{,}7=130\ \text{zł}$$
Częsty błąd to doliczenie $30\%$ do $91$ zł — daje $118{,}30$ zł, czyli wynik fałszywy, bo procent liczy się od innej podstawy.
Przy dwóch zmianach po kolei mnożymy współczynniki, a nie dodajemy procenty:
$$+10\%,\ \text{potem} +10\%:\quad 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \ \text{(a nie } 1{,}2)$$
$$+50\%,\ \text{potem} -50\%:\quad 1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75$$
Wzrost i taki sam procentowo spadek nigdy nie wracają do punktu wyjścia — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
Gdy porównujemy dwie wartości wyrażone w procentach, ich różnicę podajemy w punktach procentowych.
Frekwencja wzrosła z $54\%$ do $61\%$ — to wzrost o $7$ punktów procentowych. Wzrost względny to $\frac{7}{54}\approx13\%$. Obie liczby są poprawne, ale opisują co innego i nie wolno ich mylić.
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{VAT}{100}\right)$$
Marża doliczana do ceny zakupu działa tak samo jak podwyżka. Odsetki od lokaty za jeden rok to $K\cdot\frac{p}{100}$, a stan konta to $K\left(1+\frac{p}{100}\right)$.
$$C_p=\frac{m_{\text{substancji}}}{m_{\text{roztworu}}}\cdot100\%$$
W mianowniku jest masa całego roztworu, a nie samej wody. Dolewanie wody nie zmienia masy substancji — zmienia tylko mianownik.
Zawsze ustal, od czego liczony jest procent. Ten sam procent od innej podstawy daje inną kwotę — to źródło większości błędów w zadaniach o rabatach, podwyżkach i stężeniach.
Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ (odcięte) i pionowa $OY$ (rzędne). Przecinają się w początku układu $O=(0,\,0)$.
Punkt zapisujemy jako parę $(x,\,y)$ — zawsze najpierw odcięta.
Punkty osi $OX$ mają postać $(x,\,0)$, a osi $OY$ — $(0,\,y)$.
Gdy odcinek jest poziomy (równe rzędne), jego długość to różnica odciętych. Gdy pionowy — różnica rzędnych. Nie trzeba wtedy twierdzenia Pitagorasa.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To po prostu twierdzenie Pitagorasa: rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równoległych do osi.
Przykład: dla $A=(1,\,1)$ i $B=(5,\,4)$ mamy $\Delta x=4$, $\Delta y=3$, więc $|AB|=5$.
$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
Zadanie odwrotne: znając środek i jeden koniec, drugi znajdujemy z $x_B=2x_S-x_A$.
Od osi $OX$ — wartość bezwzględna rzędnej. Od osi $OY$ — wartość bezwzględna odciętej. Odległość nigdy nie jest ujemna.
$$(x,\,y)\ \xrightarrow{\ [p,\,q]\ }\ (x+p,\ y+q)$$
Przesunięcie nie zmienia kształtu ani rozmiaru figury — jej pole i obwód pozostają takie same. Zmieniają się tylko współrzędne.
Dla figur o bokach równoległych do osi wystarczą zwykłe wzory: różnice współrzędnych dają długości boków i wysokości. Trójkąt o wierzchołkach na obu osiach i w początku układu jest prostokątny, więc jego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych.
Kolejność współrzędnych — $(3,\,5)$ i $(5,\,3)$ to różne punkty. Przy odległości od osi nie zapominaj o wartości bezwzględnej.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c$$
Mnożenie na krzyż to podstawowe narzędzie — zamienia proporcję w zwykłe równanie.
Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Iloraz jest stały:
$$\frac{y}{x}=k \quad\Rightarrow\quad y=kx$$
Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, ilość składników i liczba porcji.
Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. Stały jest iloczyn:
$$x\cdot y=k$$
Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.
Jak rozpoznać: zadaj sobie pytanie „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni, więc sześciu — krócej. Stała jest praca: $4\cdot9=36$ dniówek, stąd $36:6=6$ dni.
Schemat jest zawsze ten sam:
Przykład: $120$ zł w stosunku $2:3$. Części jest $5$, jedna warta $24$ zł, więc podział to $48$ zł i $72$ zł.
Kontrola: suma otrzymanych wartości musi dać całość.
Zapis $1:n$ oznacza, że $1$ jednostka na mapie odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.
$$\text{odległość rzeczywista}=\text{odległość na mapie}\times n$$
Warto zapamiętać: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr mapy to dokładnie $1$ km.
Obie odległości sprowadzamy do tych samych jednostek i tworzymy stosunek. Dla $8$ cm na mapie i $4$ km w terenie: $4$ km $=400\,000$ cm, więc skala to $\frac{8}{400\,000}=1:50\,000$.
Długości zmieniają się jak skala, ale pola jak jej kwadrat. W skali $1:100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe niż na planie — nie $100$ razy.
Najczęstszy błąd to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału. Drugi — zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna; wtedy wynik wychodzi sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem (więcej pracowników, a dłużej), co warto wychwycić.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
$$a^m:a^n=a^{m-n}$$
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
$$(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają tylko dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia — $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przy iloczynie wykładniki dodajemy, przy potędze potęgi — mnożymy:
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad \left(2^3\right)^2=2^6=64$$
Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają różne wyniki.
$$a^0=1 \quad \text{dla } a\neq0$$
Wynika to wprost z reguły dzielenia: $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny:
$$(-3)^4=81,\qquad (-3)^3=-27$$
Uwaga na nawias: $-3^4$ oznacza $-(3^4)=-81$, a $(-3)^4=81$. Bez nawiasu minus nie wchodzi pod potęgę.
To niemal zawsze pierwszy krok w trudniejszych zadaniach:
$$\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{\left(3^2\right)^3\cdot3^2}{\left(3^3\right)^2}=\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$
Dopiero po zapisaniu wszystkiego jako potęgi trójki reguły stają się użyteczne.
$$\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a$$
$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{125}=5,\qquad \sqrt[3]{1000}=10$$
Istotna różnica względem pierwiastka kwadratowego: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna:
$$\sqrt[3]{-8}=-2$$
$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$
Przykład: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$ oraz $\sqrt[3]{216}=6$ ✔
Objętość sześcianu to $V=a^3$, więc krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym: $a=\sqrt[3]{V}$. Dla $V=1000$ cm³ krawędź wynosi $10$ cm, a pole powierzchni $6\cdot100=600$ cm².
Nie mnóż podstaw przy mnożeniu potęg. Nie myl $-a^n$ z $(-a)^n$. I pamiętaj, że $(2x)^2=4x^2$ — do kwadratu podnosimy również współczynnik.
Oprocentowanie zawsze podaje się w skali roku, nawet gdy lokata trwa krócej:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}\cdot\frac{\text{liczba miesięcy}}{12}$$
Lokata półroczna na $6\%$ daje faktycznie $3\%$, kwartalna na $8\%$ — $2\%$.
Bank pobiera $19\%$ od odsetek — nigdy od wpłaconego kapitału.
$$\text{odsetki netto}=\text{odsetki brutto}\cdot0{,}81$$
Przykład: $2000$ zł na $5\%$ daje $100$ zł odsetek, podatek to $19$ zł, więc na konto trafia $2081$ zł.
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{\text{VAT}}{100}\right)$$
Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$:
$$\text{netto}=\frac{\text{brutto}}{1{,}23}$$
Aby z ceny brutto $123$ zł otrzymać netto, dzielimy przez $1{,}23$ i dostajemy $100$ zł. Odjęcie $23\%$ od $123$ zł daje błędne $94{,}71$ zł — bo podatek liczony jest od netto, a nie od brutto.
Podstawowa $23\%$, obniżone $8\%$ (m.in. usługi budowlane) i $5\%$ (książki, część żywności), a niektóre towary są zwolnione.
Oferty sprowadzamy do wspólnego okresu — zwykle do roku. Bank dający $1{,}2\%$ kwartalnie daje w roku $4{,}8\%$, czyli więcej niż konkurent z $4\%$ rocznie.
Przy porównaniach z podatkiem liczy się kwota po opodatkowaniu. Lokata $5\%$ obciążona podatkiem $19\%$ daje efektywnie $4{,}05\%$ — mniej niż zwolniona z podatku obligacja na $4{,}2\%$.
Gdy znamy odsetki po opodatkowaniu, cofamy się o dwa kroki. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek brutto, więc brutto wynosiło $100$ zł, a przy kapitale $2000$ zł daje to oprocentowanie $5\%$.
Przy paliwie VAT nalicza się od kwoty zawierającej już akcyzę. Dla ceny netto $4$ zł i akcyzy $1{,}50$ zł podstawą jest $5{,}50$ zł, a VAT wynosi $1{,}265$ zł — cena końcowa to około $6{,}77$ zł.
Nie zapomnij przeliczyć stopy rocznej na faktyczny okres. Nie obciążaj podatkiem kapitału. I nie odejmuj procentu VAT od ceny brutto.
Jednomian to iloczyn liczby i potęg zmiennych, np. $3x$, $-2ab$, $5x^2$. Liczbę nazywamy współczynnikiem.
Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x+3y-1$. Jednomiany nazywamy jej wyrazami.
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$ — można je redukować.
To suma wykładników zmiennych: $3x^2y$ ma stopień $3$.
Opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: $(2x+3)+(x-1)=3x+2$.
Przed nawiasem z minusem zmieniamy znaki wszystkich wyrazów: $(2x+3)-(x-1)=2x+3-x+1=x+4$.
$$(3a-2b)-(a-2b)=3a-2b-a+2b=2a$$
Najczęstszy błąd to niezmienienie znaku wyrazu po minusie.
Jednomian mnożymy przez każdy wyraz sumy: $a(b+c)=ab+ac$.
$$2x(x+3)=2x\cdot x+2x\cdot3=2x^2+6x$$
Uważamy na znaki: $-3(x-2)=-3x+6$.
Operacja odwrotna: $2x^2+6x=2x(x+3)$ — wyłączamy wspólny czynnik.
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ dla $a,b\ge0$ i $b\neq0$.
$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$.
$(\sqrt{a})^2=a$ dla $a\ge0$.
Pierwiastka sumy nie rozkładamy: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
To liczby, które można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych ($q\neq0$) — dodatnie, ujemne oraz zero.
Iloczyn i iloraz o zgodnych znakach są dodatnie, o różnych — ujemne: $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4)=2$.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika i uwzględniamy znaki: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$.
$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$.
Ostry (mniej niż $90^\circ$), prosty ($90^\circ$), rozwarty (od $90^\circ$ do $180^\circ$), półpełny ($180^\circ$), pełny ($360^\circ$).
Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$, a wierzchołkowe są równe.
Kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe.
W trójkącie kąty sumują się do $180^\circ$, a w czworokącie do $360^\circ$.
Pierwiastek kwadratowy z liczby $a\ge0$ to taka liczba nieujemna, której kwadrat równa się $a$. Zapis $\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ oraz $b\ge0$.
$\sqrt{9}=3$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{0}=0$.
$(\sqrt{a})^2=a$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.
W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.
Notacja wykładnicza zapisuje liczbę jako iloczyn liczby z przedziału od $1$ do $10$ oraz potęgi dziesiątki: $a\cdot10^n$.
$3000=3\cdot10^3$, a $0{,}002=2\cdot10^{-3}$.
Jest wygodna dla bardzo dużych i bardzo małych liczb, np. w fizyce i astronomii.
Współczynnik $a$ musi spełniać warunek $1\le a\lt 10$.
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy.
$(2^3)^2=2^6=64$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ oraz $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
Nie myl mnożenia wykładników (potęga potęgi) z ich dodawaniem (iloczyn potęg).
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$.
Dodajemy współczynniki wyrazów podobnych, a część literową zostawiamy: $2x+5x=7x$.
$3a+2b-a+4b=2a+6b$.
Wyrazów o różnej części literowej ($x$ i $x^2$) nie łączymy.
$ab+ac=a(b+c)$ — wspólny czynnik wynosimy przed nawias.
$6x+9=3(2x+3)$, a $2x^2+4x=2x(x+2)$.
Upraszcza wyrażenia i pomaga rozwiązywać równania.
Wymnażamy nawias z powrotem, aby potwierdzić poprawność rozkładu.
Dwa równania są równoważne, gdy mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.
Równanie pozostaje równoważne, gdy do obu stron dodamy tę samą liczbę lub obie strony pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera.
$x+3=7$ jest równoważne równaniu $x=4$.
Pomnożenie obu stron przez zero niszczy równoważność.
Nie ma rozwiązań, bo prowadzi do fałszywej równości, np. $0\cdot x=5$.
Spełnia je każda liczba, bo sprowadza się do prawdziwej równości, np. $0\cdot x=0$ lub $2x=2x$.
$x+1=x+2$ jest sprzeczne — po redukcji otrzymujemy fałsz $1=2$.
Po redukcji: fałszywa równość oznacza równanie sprzeczne, prawdziwa — tożsamościowe.
Szukaną wielkość oznaczamy literą, zapisujemy warunki zadania równaniem, rozwiązujemy je i sprawdzamy wynik.
„Liczba powiększona o swoją połowę daje $9$": $x+\frac{1}{2}x=9$, czyli $\frac{3}{2}x=9$, więc $x=6$.
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie z treści. 3. Rozwiąż. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Odpowiedź musi mieć sens — liczba osób czy przedmiotów jest liczbą naturalną.
Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Średnia liczb $2,4,6$ to $\frac{2+4+6}{3}=4$.
Jeśli średnia $n$ liczb wynosi $\bar{x}$, to ich suma równa się $n\cdot\bar{x}$.
Średnią liczymy np. dla ocen, temperatur czy wyników pomiarów.
Dane odczytujemy z tabel oraz diagramów słupkowych, kołowych i wykresów liniowych.
Cały okrąg odpowiada $100\%$ (czyli $360^\circ$); część danych to odpowiedni wycinek.
Jeśli jeden słupek pokazuje $12$, a drugi $8$, to łącznie mamy $20$.
Zwracaj uwagę na jednostki i skalę osi — może zaczynać się od wartości innej niż zero.
Do czworokątów należą m.in. kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez. Każdy ma cztery boki i cztery kąty.
Suma miar kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi $360^\circ$.
W równoległoboku przeciwległe boki są równe i równoległe, a przekątne dzielą się na połowy. W prostokącie przekątne mają równą długość.
Trapez ma dokładnie jedną parę boków równoległych, zwanych podstawami.
Dane przedstawiamy na diagramach słupkowych, kołowych oraz wykresach liniowych.
Wysokość słupka odpowiada wartości — ułatwia porównywanie kategorii.
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wielkość wycinka odpowiada udziałowi danej części.
Najlepiej pokazuje zmiany wielkości w czasie.
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ gdzie $a$ to podstawa, a $h$ wysokość.
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$.
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$ gdzie $a,b$ to podstawy.
Równoboczny (trzy równe boki), równoramienny (dwa równe boki) i różnoboczny.
Ostrokątny, prostokątny (jeden kąt $90^\circ$) i rozwartokątny.
Kąty wewnętrzne trójkąta sumują się do $180^\circ$.
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$
W trójkącie prostokątnym $a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
Znając dwa boki, obliczamy trzeci: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ albo $a=\sqrt{c^2-b^2}$.
Dla $a=6$ i $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
Przekątna prostokąta, wysokość, odległości — wszędzie, gdzie pojawia się kąt prosty.
Kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, podwojony iloczyn i kwadrat drugiego wyrazu.
Przykład: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Gdy znamy przeciwprostokątną i drugą przyprostokątną.
Przykład: $c=13$, $b=5$: $a=\sqrt{169-25}=12$.
Połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok.
Przykład: Bok 10 cm, wysokość 6 cm: $P=30$ cm².
Wykładniki mnożymy.
Przykład: $(2^3)^2=2^6=64$.
Kapitał po $n$ okresach kapitalizacji przy oprocentowaniu $p\%$ w okresie.
Przykład: 1000 zł na 5% rocznie przez 3 lata: $1000\cdot1{,}05^3=1157{,}63$ zł.
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta.
Przykład: Kąty $50^\circ$ i $70^\circ$: trzeci kąt $60^\circ$.
Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta wypukłego.
Przykład: Sześciokąt: $S=4\cdot180^\circ=720^\circ$.
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
Przykład: $a=6$, $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=10$.
Rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn kwadratu i reszty.
Przykład: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Pole równoległoboku o podstawie $12$ cm i wysokości $7$ cm wynosi:
Oblicz pole trapezu o podstawach $9$ cm i $15$ cm oraz wysokości $6$ cm.
Przekątna kwadratu ma $10\sqrt{2}$ cm. Oblicz bok i pole kwadratu.
Który czworokąt ma wszystkie boki równe, ale niekoniecznie kąty proste?
Oblicz pole rombu o przekątnych $12$ cm i $16$ cm.
Przekątna prostokąta o bokach $9$ cm i $12$ cm ma długość:
Romb ma bok $10$ cm i jedną przekątną $16$ cm. Oblicz drugą przekątną.
Trapez ma pole $60$ cm$^2$, wysokość $8$ cm i jedną podstawę $7$ cm. Oblicz drugą podstawę.
W trapezie prostokątnym ile kątów jest prostych?
Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku $8$ cm oraz jego pole.
Które zdanie o trapezie równoramiennym jest fałszywe?
Drabina o długości $5$ m opiera się o ścianę. Jej podstawa jest oddalona od ściany o $3$ m. Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany?
Oblicz pole deltoidu o przekątnych $14$ cm i $9$ cm.
Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość:
Równoległobok ma boki $8$ cm i $6$ cm oraz wysokość $5$ cm opuszczoną na dłuższy bok. Oblicz pole i wysokość opuszczoną na krótszy bok.
Trójkąt o bokach $6$, $8$, $10$ jest:
Trapez równoramienny ma podstawy $12$ cm i $6$ cm oraz ramię $5$ cm. Oblicz wysokość, pole i obwód.
Prostokątna działka ma wymiary $30$ m na $40$ m. Ile metrów zaoszczędzi ktoś, kto przejdzie po przekątnej zamiast wzdłuż dwóch boków?
Figura składa się z prostokąta $10$ cm na $6$ cm oraz doklejonego do krótszego boku trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ cm i $8$ cm. Oblicz pole i obwód figury.
Kwadrat i romb mają ten sam bok $6$ cm. Kąt ostry rombu wynosi $30^\circ$, więc jego wysokość ma $3$ cm. Porównaj pola obu figur i wyjaśnij różnicę.
Ile wynosi $2^3\cdot2^4$?
Zapisz w postaci jednej potęgi: $5^8:5^3$.
Oblicz $\sqrt[3]{27}$ oraz $\sqrt[3]{125}$.
Ile wynosi $\sqrt[3]{-8}$?
Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^2\cdot3^5\cdot3$.
Ile wynosi $\left(2^3\right)^2$?
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{2^{10}}{2^{7}}+\sqrt[3]{64}$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\dfrac{7^{5}\cdot7^{4}}{7^{6}}$.
Ile wynosi $10^0$?
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm, a następnie krawędź sześcianu o objętości $216$ cm³.
Ile wynosi $(-3)^4$?
Oblicz $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$ oraz $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$.
Zapisz jako potęgę liczby $2$: $8\cdot16$.
Która liczba jest największa?
Oblicz: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}$. Porównaj wynik z $\sqrt[3]{8\cdot27}$.
Ile wynosi $\dfrac{6^5}{6^5}$?
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{9^3\cdot3^2}{27^2}$, sprowadzając wszystko do potęgi liczby $3$.
Sześcian ma objętość $1000$ cm³. Oblicz jego krawędź i pole powierzchni całkowitej.
Uporządkuj rosnąco: $2^{10}$, $10^3$, $4^5$, $3^6$.
Wykaż, że liczba $2^{12}$ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej i jednocześnie sześcianem pewnej liczby naturalnej. Podaj obie podstawy.
Dwa kąty są przyległe. Jeden ma $65^\circ$. Ile ma drugi?
Dwa kąty w trójkącie mają $47^\circ$ i $58^\circ$. Oblicz trzeci kąt.
Ile wynosi suma kątów wewnętrznych czworokąta?
Oblicz pole trójkąta o podstawie $10$ cm i wysokości $7$ cm.
W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma $80^\circ$. Oblicz kąty przy podstawie.
Kąty wierzchołkowe to kąty, które:
Oblicz pole równoległoboku o podstawie $12$ cm i wysokości $5$ cm.
Obwód prostokąta wynosi $46$ cm, a jeden bok ma $15$ cm. Oblicz pole prostokąta.
Który czworokąt ma przekątne, które przecinają się pod kątem prostym i połowią się nawzajem?
Oblicz pole trapezu o podstawach $10$ cm i $6$ cm oraz wysokości $4$ cm.
Kąt zewnętrzny trójkąta ma $110^\circ$. Ile wynosi przyległy do niego kąt wewnętrzny?
Pole trójkąta wynosi $48$ cm$^2$, a jego wysokość $8$ cm. Oblicz długość podstawy.
W wielokącie foremnym każdy kąt wewnętrzny ma $108^\circ$. Ile boków ma ten wielokąt?
W trapezie prostokątnym jeden z kątów przy dłuższej podstawie ma $65^\circ$. Oblicz pozostałe kąty tego trapezu.
Oblicz pole rombu o przekątnych $8$ cm i $6$ cm.
Które zdanie o kwadracie jest fałszywe?
Prostokątną działkę o wymiarach $30$ m i $18$ m trzeba ogrodzić. Ile metrów siatki potrzeba i ile wynosi pole działki?
W trójkącie kąty pozostają w stosunku $2:3:4$. Oblicz miary tych kątów.
Oblicz pole zacienionej figury: z prostokąta $12\times8$ wycięto trójkąt o podstawie $12$ i wysokości $5$.
Kąty $\alpha$ i $\beta$ są dopełniające, a $\alpha$ jest o $20^\circ$ większy od $\beta$. Oblicz miary obu kątów.
Które wyrażenie jest jednomianem?
Zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniu $7a-3b+2a+5b$.
Wykonaj mnożenie $3(2x+5)$.
Wyłącz wspólny czynnik: $6x+9$.
Oblicz $2x\cdot3x$.
Wyrażenie $5x-(2x-7)$ po uproszczeniu to:
Wykonaj mnożenie $2a(3a-4)$.
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: $12x^2-8x$.
Ile wynosi $3x^2+5x^2$?
Uprość wyrażenie $4(x-2)+3(x+1)$.
Wyrażenie $x^2+x$ po wyłączeniu wspólnego czynnika to:
Oblicz wartość wyrażenia $3a^2-2a$ dla $a=-2$.
Wykonaj mnożenie $-3(2x-5y+1)$.
Które wyrazy są podobne?
Zapisz wyrażeniem pole prostokąta o bokach $3a$ i $2a+4$, a następnie wymnóż.
Ile wynosi $2x\cdot4x^2$?
Uprość wyrażenie $2x(x+3)-x(2x-1)$.
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: $15a^2b-10ab^2$.
Zapisz wyrażeniem obwód trójkąta o bokach $2x$, $3x-1$ i $x+5$, a następnie oblicz obwód dla $x=4$.
Wykaż, że wyrażenie $3(x+2)-3x$ ma tę samą wartość niezależnie od $x$. Podaj tę wartość.
Wpłacono $1000$ zł na lokatę roczną oprocentowaną $4\%$. Ile wyniosą odsetki przed opodatkowaniem?
Cena netto towaru to $200$ zł, a VAT wynosi $23\%$. Ile wynosi cena brutto?
Od odsetek bank pobiera podatek $19\%$. Odsetki wyniosły $200$ zł. Ile trafi na konto oszczędzającego?
Lokata półroczna z oprocentowaniem $6\%$ w skali roku. Jaki procent kapitału stanowią odsetki po pół roku?
Pensja brutto wynosi $4000$ zł, a podatek $12\%$. Ile wynosi pensja netto (pomijamy inne składki)?
Cena brutto wynosi $123$ zł przy stawce VAT $23\%$. Ile wynosi cena netto?
Na lokatę roczną $5\%$ wpłacono $2000$ zł. Podatek od odsetek wynosi $19\%$. Ile pieniędzy będzie na koncie po roku?
Sklep sprzedaje książkę za $52{,}50$ zł brutto przy stawce VAT $5\%$. Oblicz cenę netto i kwotę podatku.
Lokata kwartalna oprocentowana $8\%$ w skali roku. Ile wyniosą odsetki od $5000$ zł po jednym kwartale?
Klient wpłacił $3000$ zł na lokatę i po roku otrzymał $3150$ zł (przed opodatkowaniem). Jakie było oprocentowanie?
Od nagrody $1000$ zł pobrano podatek $10\%$. Ile otrzymał zwycięzca?
Bank A oferuje $4\%$ rocznie, bank B — $1{,}2\%$ kwartalnie. Który bank daje więcej po roku od kwoty $10\ 000$ zł? Pomijamy kapitalizację.
Cena paliwa netto to $4$ zł za litr. Doliczana jest akcyza $1{,}50$ zł, a następnie VAT $23\%$ od sumy. Ile kosztuje litr dla kierowcy?
Lokata dwuletnia, $3\%$ rocznie, bez kapitalizacji odsetek. Jaki procent kapitału stanowią łączne odsetki?
Za usługę zapłacono $615$ zł brutto. Stawka VAT to $23\%$. Ile wynosi kwota podatku?
Ile trzeba wpłacić na lokatę roczną $10\%$, aby otrzymać $250$ zł odsetek?
Na lokatę $6000$ zł oprocentowaną $4\%$ rocznie wpłacono pieniądze na pół roku. Bank pobiera podatek $19\%$ od odsetek. Ile wypłaci klientowi?
Przedsiębiorca kupił materiały za $1230$ zł brutto (VAT $23\%$) i sprzedał gotowy produkt za $2460$ zł brutto. Oblicz obie kwoty netto i marżę liczoną na wartościach netto.
Ile wynosiło oprocentowanie lokaty rocznej, jeśli po potrąceniu podatku $19\%$ klient otrzymał $81$ zł odsetek od kwoty $2000$ zł?
Rodzina rozważa dwie oferty na $20\ 000$ zł: lokata roczna $5\%$ z podatkiem $19\%$ od odsetek albo obligacja dająca $4{,}2\%$ zysku zwolnionego z podatku. Która opcja jest korzystniejsza?
Ile wynosi $\sqrt{49}$?
Oblicz $\sqrt{81}$.
Oblicz $\sqrt{100}+\sqrt{25}$.
Ile wynosi $(\sqrt{5})^2$?
Oblicz $\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}$.
Ile wynosi $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$?
Wyłącz czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{12}$.
Oblicz $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$.
Ile wynosi $\sqrt{0{,}25}$?
Oblicz $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}$.
Wartość $\sqrt{16}+\sqrt{9}$ wynosi:
Wyłącz czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{50}$.
Oblicz $(2\sqrt3)^2$.
Liczba $\sqrt{2}$ jest:
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{6}{\sqrt3}$.
Ile wynosi $\sqrt{144}$?
Oblicz $\sqrt{8}+\sqrt{18}$, wyłączając najpierw czynniki.
Bok kwadratu o polu $18$ oblicz, wyłączając czynnik przed pierwiastek.
Oblicz $(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)$.
Wykaż, że $\sqrt{a^2}=|a|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$, i zastosuj to do $\sqrt{(-5)^2}$.
Oblicz: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$.
Oblicz: $-3{,}5+1\tfrac14$.
Wartość wyrażenia $\dfrac{3^2}{4}-2^2$ jest równa:
Dane są liczby $x=-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{9}$ oraz $y=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{9}$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Oblicz wartość wyrażenia $\left(1{,}6-2\tfrac12\right):(-3)$.
Na osi liczbowej odcinek $AC$ podzielono na $6$ równych części. Punkt $A$ ma współrzędną $12$, a punkt $C$ — współrzędną $42$. Oblicz współrzędną punktu $B$, który jest drugim punktem podziału licząc od $A$.
Ile wynosi $\dfrac{5}{6}$ liczby, której $\dfrac{2}{3}$ jest równe $18$?
Liczbę $\dfrac{11}{12}$ zapisano jako sumę trzech ułamków, z których pierwszy jest równy $\dfrac13$, a drugi $\dfrac14$. Oblicz trzeci składnik tej sumy.
Paweł podzielił tabliczkę czekolady tak, że bratu dał $\dfrac12$ tabliczki, siostrze $\dfrac13$, a resztę zjadł sam. Tabliczka miała $24$ kostki. Oblicz, ile kostek zjadł Paweł.
Wykaż, że wartość wyrażenia $\left(\dfrac34-\dfrac12\right)\cdot\left(\dfrac25+\dfrac13\right)$ jest liczbą dodatnią mniejszą od $\dfrac14$, i oblicz tę wartość.
Oblicz $15\%$ liczby $340$.
Cena kurtki wynosiła $240$ zł i została obniżona o $25\%$. Ile kosztuje kurtka po obniżce?
Liczba $60$ jest o ile procent większa od liczby $48$?
Cenę towaru najpierw podwyższono o $20\%$, a potem obniżono o $20\%$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W klasie jest $25$ uczniów, z czego $60\%$ to dziewczynki. Oblicz, ilu chłopców jest w tej klasie.
W sadzie rosną grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o $40\%$ większa od liczby jabłoni, a grusz jest o $50$ więcej niż jabłoni. Oblicz, ile jabłoni rośnie w sadzie.
Rower kosztował $1200$ zł. W maju cenę obniżono o $10\%$, a w czerwcu nową cenę obniżono jeszcze o $15\%$. Oblicz cenę roweru po obu obniżkach.
Kasia odłożyła na zakup tabletu $360$ zł, co stanowi $45\%$ jego ceny. Oblicz cenę tabletu oraz kwotę, której jeszcze brakuje.
Sklep kupił $80$ kg jabłek po $2{,}50$ zł za kilogram. Połowę sprzedał po $4$ zł za kilogram, a resztę — po obniżce o $20\%$ tej ceny. Oblicz zysk sklepu.
Wykaż, że jeżeli cenę towaru podwyższono o $25\%$, a następnie obniżono o $20\%$, to cena końcowa jest równa cenie początkowej.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^4\cdot3^5$.
Oblicz $\sqrt{\dfrac{49}{81}}$.
Wartość wyrażenia $\dfrac{9^4\cdot9^3}{9^5}$ jest równa:
Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Zapisz liczbę $(300\,000)^2$ w postaci $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$.
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{121}-\sqrt{\dfrac{9}{25}}+\sqrt[3]{27}$.
Zapisz wartość wyrażenia $\dfrac{4^5\cdot2^3}{8^2}$ w postaci potęgi liczby $2$.
Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{136}$? Odpowiedź uzasadnij.
Oblicz, ile razy liczba $2^{12}$ jest większa od liczby $2^{7}$, i zapisz obie liczby w postaci dziesiętnej.
Wykaż, że wartość wyrażenia $\dfrac{10^8}{5^8}$ jest liczbą naturalną, i oblicz ją.
Podaj resztę z dzielenia liczby $100$ przez $7$.
Oblicz NWD liczb $24$ i $36$.
Która z liczb jest podzielna przez $9$?
Rozważamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Ile jest liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej $4$ i zapisanych wyłącznie cyframi różnymi od zera? Wypisz je.
Listewkę o długości $84$ cm chcemy pociąć na jednakowe kawałki o długości będącej liczbą całkowitą centymetrów, dłuższe niż $10$ cm i krótsze niż $30$ cm. Podaj wszystkie możliwe długości kawałka.
Czy liczba $k=417+255$ jest podzielna przez $3$? Odpowiedź uzasadnij bez wykonywania dzielenia.
Autobus linii A odjeżdża co $12$ minut, a linii B — co $18$ minut. O godzinie $8:00$ odjechały razem. Oblicz, o której godzinie najbliżej odjadą znowu razem.
Uzasadnij, że iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $10$.
Na kartce ułożono figurę z kolejno numerowanych odcinków: odcinki o numerach podzielnych przez $3$ są czerwone, a pozostałe — niebieskie. Oblicz, ile odcinków czerwonych jest wśród pierwszych $50$ odcinków, i podaj numer ostatniego z nich.
Zapisz w najprostszej postaci: $5x+3-2x+7$.
Oblicz wartość wyrażenia $2a^2-3a$ dla $a=-2$.
Liczbę $x$ powiększono o $5$, a otrzymany wynik zwiększono trzykrotnie. Które wyrażenie opisuje wynik tych działań?
Dane jest wyrażenie $W=x(x-3)-2(x-4)$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Uprość wyrażenie $4(2x-1)-3(x+2)$.
Ze wzoru na pole trapezu $P=\dfrac{(a+b)h}{2}$ wyznacz $b$.
W pudełku są piłki białe, czerwone i zielone. Białych jest $3$ razy więcej niż czerwonych, a zielonych o $5$ mniej niż białych. Liczbę piłek czerwonych oznaczamy przez $x$. Zapisz wyrażenie opisujące łączną liczbę piłek i oblicz ją dla $x=4$.
Które z wyrażeń: $x^2-4$, $x^2+4x$, $x^2-4x$, $x^2+4$ przyjmuje wartość $0$ zarówno dla $x=2$, jak i dla $x=-2$? Odpowiedź uzasadnij rachunkiem.
Dane jest równanie $4y=\dfrac{z}{t}$, gdzie $y$, $z$, $t$ są różne od zera. Wyznacz $z$ oraz $t$.
Wykaż, że dla każdej liczby $x$ wartość wyrażenia $(x+3)^2-(x-3)^2$ jest liczbą podzielną przez $12$, i oblicz tę wartość dla $x=5$.
Rozwiąż równanie $3x-7=11$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{4}+3=10$.
Ola ma $x$ lat, a jej brat jest o $4$ lata starszy. Razem mają $26$ lat. Które równanie opisuje tę sytuację?
Dane jest równanie $2(x-3)=x+5$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Ela ułożyła $\dfrac25$ swoich puzzli, a Ania $\dfrac13$ swoich. Oba zestawy mają tyle samo elementów, a dziewczynki ułożyły łącznie $440$ elementów. Oblicz, ile elementów ma jeden zestaw.
Bilet do teatru jest o $64$ zł droższy od biletu do kina. Za $4$ bilety do teatru i $5$ biletów do kina zapłacono $400$ zł. Oblicz cenę biletu do teatru.
Ani zabrakło $11$ zł na zakup $10$ jednakowych puszek karmy. Kupiła $6$ takich puszek i zostało jej $9$ zł. Oblicz cenę jednej puszki.
W dwóch pudełkach jest łącznie $84$ cukierki. W pierwszym jest ich $2$ razy więcej niż w drugim. Oblicz, ile cukierków jest w każdym pudełku.
Za $3$ zeszyty i $2$ długopisy zapłacono $23$ zł. Długopis jest o $1$ zł tańszy od zeszytu. Oblicz cenę zeszytu i cenę długopisu.
Prostokąt ma obwód $54$ cm, a jeden jego bok jest o $3$ cm dłuższy od drugiego. Oblicz pole tego prostokąta.
Samochód jedzie ze stałą prędkością $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Jaką drogę pokona w $45$ minut?
Na planie w skali $1:500$ odcinek ma długość $6$ cm. Jaka jest jego rzeczywista długość w metrach?
Rowerzysta pokonał $100$ m z prędkością $5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Ten odcinek pokonał w czasie:
Na uszycie $90$ bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, co na $60$ bluzek w rozmiarze L. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Pociąg przebył ze stałą prędkością $700$ m w czasie $50$ s. Oblicz jego prędkość w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
Kierowca przejechał ze stałą prędkością trasę o długości $22{,}5$ km od godziny $7{:}50$ do $8{:}05$. Oblicz prędkość samochodu w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
Na przygotowanie ciasta na $8$ gofrów potrzeba $200$ g mąki i $2$ jajka. Oblicz, ile mąki i ile jajek potrzeba na $28$ gofrów.
Na planie miasta w skali $1:4000$ odległość między przystankami wynosi $8$ cm. Oblicz rzeczywistą odległość w metrach oraz czas, w jakim pokona ją pieszy idący z prędkością $4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
Pięciu malarzy pomalowałoby halę w $12$ dni. Oblicz, w ile dni pomalowałoby ją $6$ malarzy pracujących w tym samym tempie.
Adam wyruszył z domu o godzinie $9{:}00$ i szedł z prędkością $5\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$. O godzinie $9{:}30$ wyruszył za nim rowerzysta jadący z prędkością $15\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Oblicz, o której godzinie rowerzysta dogoni Adama.
Oblicz średnią arytmetyczną liczb: $4$, $9$, $11$, $16$.
Średnia arytmetyczna liczb $8$, $12$ i $x$ jest równa $11$. Oblicz $x$.
Średnia arytmetyczna pięciu liczb jest równa $20$. Jaka będzie średnia, jeśli do zestawu dołączymy liczbę $26$?
Średnia arytmetyczna trzech liczb: $12$, $14$, $k$ jest równa $16$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Ala kupiła trzy zeszyty po $4$ zł i blok rysunkowy. Średnia cena tych czterech artykułów wyniosła $6$ zł. Oblicz cenę bloku.
Na diagramie przedstawiono czas nauki w kolejnych dniach: poniedziałek $25$ min, wtorek $30$ min, środa $40$ min, czwartek $35$ min, piątek $50$ min. Oblicz średni czas nauki oraz o ile procent czas w piątek był dłuższy od średniej.
W klasie 6 uczniów dostało ocenę $5$, 10 uczniów ocenę $4$, a 4 uczniów ocenę $3$. Oblicz średnią ocen w tej klasie.
Średnia arytmetyczna trzech liczb wynosi $15$, a średnia dwóch innych liczb wynosi $20$. Oblicz średnią wszystkich pięciu liczb.
W ankiecie wzięło udział $40$ uczniów. Odpowiedzi „tak" udzieliło $45\%$, „nie" — $30\%$, a pozostali odpowiedzieli „nie mam zdania". Oblicz, ilu uczniów wybrało każdą z odpowiedzi.
Średnia arytmetyczna sześciu liczb jest równa $12$. Po usunięciu jednej liczby średnia pozostałych pięciu wzrosła do $13$. Oblicz usuniętą liczbę.
W pudełku jest $5$ kul czerwonych i $15$ niebieskich. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej.
Ile jest liczb całkowitych od $46$ do $72$ włącznie?
W pudełku było $10$ kul czerwonych, $8$ niebieskich, $6$ zielonych i $8$ żółtych. Wyjęto (bez zwracania) dwie kule czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecia wylosowana kula będzie czerwona?
W urnie jest $18$ kul białych i $12$ czarnych. Losujemy jedną kulę. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W pudełku jest $6$ kulek zielonych i $8$ niebieskich. Oblicz, ile kulek zielonych trzeba dołożyć, aby prawdopodobieństwo wylosowania kulki zielonej było równe $\dfrac23$.
W loterii jest $150$ losów, z czego co szósty jest wygrywający. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego oraz liczbę losów pustych.
Hania ma $4$ korale srebrne, $8$ czerwonych i kilka zielonych. Prawdopodobieństwo wylosowania korala zielonego jest równe $\dfrac13$. Oblicz, ile korali zielonych ma Hania.
Rzucamy dwa razy monetą. Wypisz wszystkie możliwe wyniki i oblicz prawdopodobieństwo, że wypadną dwa orły.
W pudełku są kartki z liczbami od $1$ do $30$. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez $4$ lub przez $5$.
W pudełku jest $12$ kul: białe, czarne i zielone. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi $\dfrac13$, a czarnej $\dfrac14$. Oblicz, ile jest kul zielonych.
W trójkącie dwa kąty mają miary $47^\circ$ i $68^\circ$. Oblicz miarę trzeciego kąta.
W trapezie kąt przy ramieniu ma miarę $63^\circ$. Oblicz miarę drugiego kąta przy tym samym ramieniu.
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę $40^\circ$. Miara kąta przy podstawie jest równa:
W równoległoboku jeden z kątów ma miarę $65^\circ$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W trójkącie $ABC$ kąt $BCA$ ma miarę $35^\circ$, a kąt $ABC$ — $80^\circ$. Punkt $D$ leży na boku $BC$, a odcinek $AD$ dzieli kąt $BAC$ na połowy. Oblicz miarę kąta $ADB$.
W czworokącie $ABCD$ kąty mają miary: $|\angle A|=95^\circ$, $|\angle B|=78^\circ$, $|\angle C|=104^\circ$. Oblicz miarę kąta $D$.
W trapezie równoramiennym kąt ostry przy dłuższej podstawie ma miarę $58^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów tego trapezu.
W trójkącie $ABC$ poprowadzono wysokości $CD$ i $AE$, które przecinają się w punkcie $P$. Kąt $ABC$ ma miarę $52^\circ$. Oblicz miarę kąta ostrego między tymi wysokościami.
W czworokącie $ABCD$ boki $AB$, $CD$ i $DA$ mają równe długości, a kąt $BCD$ ma miarę $131^\circ$. Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na trójkąt równoboczny $ACD$ i trójkąt równoramienny $ABC$. Oblicz miarę kąta $ABC$.
Wykaż, że w dowolnym trójkącie suma miar kątów zewnętrznych (po jednym przy każdym wierzchołku) jest równa $360^\circ$.
Oblicz pole trójkąta o podstawie $12$ cm i wysokości $7$ cm.
Romb ma przekątne długości $10$ cm i $16$ cm. Oblicz jego pole.
Trapez ma podstawy długości $8$ cm i $12$ cm oraz wysokość $5$ cm. Jego pole jest równe:
Prostokąt ma wymiary $6$ cm i $8$ cm. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Prostokąt o wymiarach $12$ cm i $9$ cm podzielono przekątną na dwa trójkąty. Oblicz pole jednego z nich oraz długość przekątnej.
Czworokąt $ABCD$ ma pole $48\ \text{cm}^2$. Przekątna $AC$ o długości $8$ cm dzieli go na trójkąty $ABC$ i $ACD$. Wysokość trójkąta $ACD$ poprowadzona z $D$ do prostej $AC$ ma długość $2$ cm. Oblicz wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną z $B$ do prostej $AC$.
Trapez zbudowano z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm. Oblicz pole tego trapezu.
Kwadrat o boku $12$ cm i prostokąt o wymiarach $9$ cm i $16$ cm mają pewną wspólną cechę. Sprawdź rachunkiem, czy mają równe pola i czy mają równe obwody.
Z kwadratu o boku $10$ cm wycięto w każdym rogu kwadracik o boku $2$ cm. Oblicz pole i obwód powstałej figury.
Prostokąt o wymiarach $10$ cm i $6$ cm podzielono na kwadrat o boku $6$ cm oraz prostokąt. Powstały prostokąt podzielono na kwadrat o boku $4$ cm i kolejny prostokąt. Oblicz pole ostatniego prostokąta i sprawdź, czy suma pól wszystkich trzech części jest równa polu prostokąta wyjściowego.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $9$ cm i $12$ cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku $6$ cm.
Która trójka liczb NIE jest trójką pitagorejską?
Trójkąt ma boki długości $10$ cm, $24$ cm i $26$ cm. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W prostokącie $ABCD$ punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $CD$. Odcinek $EC$ ma długość $6$ cm, a odcinek $EF$ — $10$ cm. Oblicz obwód prostokąta.
Prostokąt $ABCD$ podzielono na trzy trójkąty przekątną $AC$ i odcinkiem $AE$, gdzie $E$ leży na boku $DC$. W trójkącie $AED$ przyprostokątne mają długości $15$ cm i $20$ cm, a trójkąt $ACE$ jest równoramienny ($|AE|=|EC|$). Oblicz pole trapezu $ABCE$.
Drabina o długości $5$ m opiera się o ścianę, a jej dolny koniec znajduje się $1{,}4$ m od ściany. Oblicz, na jakiej wysokości drabina dotyka ściany (wynik zaokrąglij do $0{,}1$ m).
Dany jest prostokąt o bokach $12$ cm i $16$ cm. Oblicz długość przekątnej oraz długość wysokości trójkąta utworzonego przez przekątną, opuszczonej na tę przekątną.
Trójkąt równoboczny ma bok długości $8$ cm. Oblicz jego wysokość i pole (wynik pozostaw w postaci z pierwiastkiem).
Wykaż, że trójkąt o bokach $9$ cm, $40$ cm i $41$ cm jest prostokątny, i oblicz jego pole oraz obwód.
Oblicz objętość prostopadłościanu o krawędziach $4$ cm, $5$ cm i $6$ cm.
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $5$, $6$ i $7$.
Pewien ostrosłup ma $16$ wierzchołków. Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie?
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym pole jednej ściany bocznej jest równe $\frac{2}{9}$ pola powierzchni całkowitej $P$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $9$ cm wynosi $324\ \text{cm}^3$. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ cm i wysokość $10$ cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
Z trzech jednakowych sześcianów o krawędzi $10$ cm i jednego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $9$ cm i objętości $324\ \text{cm}^3$ zbudowano dwie wieże: pierwszą z sześcianu i ostrosłupa, drugą z dwóch sześcianów. Oblicz różnicę wysokości tych wież.
Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z dwóch kwadratów o boku $5$ cm i prostokąta o wymiarach $20$ cm i $8$ cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Skrzynia ma kształt prostopadłościanu o podstawie $1{,}5$ m na $1{,}2$ m i wysokości $1$ m. Oblicz jej objętość w metrach sześciennych oraz pole powierzchni dna i ścian bocznych (bez wieka).
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $10$ cm i wysokość ściany bocznej $13$ cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz wysokość tego ostrosłupa.
Punkt $A=(2,-5)$ przesunięto o $3$ jednostki w prawo i o $4$ w górę. Podaj współrzędne nowego punktu.
Oblicz długość odcinka o końcach $A=(-2,3)$ i $B=(6,3)$.
Punkt $P=(-1,-2)$. Jeżeli współrzędną $x$ zwiększymy o $4$, a współrzędną $y$ o $3$, to otrzymamy punkt o współrzędnych:
Na wykresie zależności pola pomalowanej powierzchni od ilości farby $10$ litrom odpowiada $100\ \text{m}^2$ (zależność jest wprost proporcjonalna). Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Dane są punkty $A=(1,2)$, $B=(7,2)$ i $C=(7,6)$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Dane są trzy wierzchołki równoległoboku $ABCD$: $A=(0,0)$, $B=(5,1)$, $C=(7,5)$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$.
Punkty $A=(-2,1)$ i $B=(4,1)$ są końcami boku kwadratu $ABCD$, a kwadrat leży nad tym bokiem. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Na wykresie zależności kosztu zakupu od masy owoców punkt $(4;\,18)$ oznacza, że $4$ kg kosztują $18$ zł (zależność wprost proporcjonalna). Oblicz koszt $7$ kg oraz masę owoców kupionych za $45$ zł.
Dane są punkty $A=(-3,0)$, $B=(5,0)$ i $C=(1,6)$. Oblicz pole trójkąta $ABC$ i sprawdź, czy jest to trójkąt równoramienny.
Wykaż, że punkty $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(6,3)$ i $D=(2,3)$ są wierzchołkami równoległoboku, i oblicz jego pole.
Zamień $3$ godziny $45$ minut na minuty.
Ile centymetrów kwadratowych ma $2\ \text{m}^2$?
Film rozpoczął się o $18{:}45$ i trwał $2$ godziny $40$ minut. O której godzinie się skończył?
Oceń prawdziwość stwierdzeń dotyczących jednostek.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Pociąg wyjechał o godzinie $9{:}48$ i jechał $3$ godziny $27$ minut. Oblicz godzinę przyjazdu.
Zbiornik ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $80$ cm, $50$ cm i $40$ cm. Oblicz jego pojemność w litrach.
Plik Igora ma rozmiar $13$ MB, a plik Lidki jest $2{,}5$ raza większy. Oblicz łączny rozmiar obu plików.
Zajęcia trwają od $8{:}00$ do $14{:}20$ z dwiema przerwami po $15$ minut. Oblicz łączny czas zajęć bez przerw.
Prostokątna działka ma wymiary $45$ m i $80$ m. Oblicz jej pole w arach ($1$ ar $=100\ \text{m}^2$).
Autobus miał przyjechać o $16{:}05$, ale przyjechał $12$ minut wcześniej. Podróż trwała $1$ godzinę $38$ minut. Oblicz godzinę odjazdu autobusu.
Ile wynosi $2^5$?
Oblicz $3^4$.
Iloczyn potęg o tej samej podstawie: $a^m\cdot a^n$ równa się:
Zapisz w postaci jednej potęgi: $2^3\cdot2^4$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\frac{5^8}{5^3}$.
Potęga potęgi $(a^m)^n$ równa się:
Zapisz w postaci jednej potęgi: $(3^2)^4$.
Ile wynosi $a^0$ (dla $a\neq0$)?
Oblicz $2^3\cdot2^2-2^4$.
Liczba $10^6$ to:
Zapisz liczbę $3\,200\,000$ w notacji wykładniczej.
Iloczyn potęg o tym samym wykładniku: zapisz $2^3\cdot5^3$ jako jedną potęgę.
Ile wynosi $(-2)^4$?
Ile wynosi $(-3)^3$?
Oblicz $\frac{4^5\cdot4^2}{4^4}$, zapisując najpierw jako jedną potęgę.
Zapis $5{,}4\cdot10^3$ to liczba:
Zapisz jako jedną potęgę liczby $2$: $8\cdot16$.
Masa Ziemi to około $6\cdot10^{24}$ kg, a masa Księżyca $7{,}2\cdot10^{22}$ kg. Ile razy Ziemia jest cięższa (w przybliżeniu)?
Oblicz $\frac{9^3}{3^4}$, sprowadzając wszystko do podstawy $3$.
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $2^{n+2}-2^n$ jest podzielna przez $3$.
Oblicz $2^3\cdot2^4$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\frac{5^6}{5^4}$ oraz $(3^2)^3$.
Ile wynosi $2^{-3}$?
Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
Ile wynosi $\sqrt{144}$?
Uprość $\sqrt{72}$, wyłączając czynnik przed pierwiastek.
Ile wynosi $\sqrt{16}+\sqrt{9}$?
Oblicz $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$ oraz $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$.
Oblicz $\sqrt[3]{27}$ oraz $\sqrt[3]{-8}$.
Zapisz $7\,500\,000$ w notacji wykładniczej.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.