Klasa 6 SP

Każdy czworokąt ma sumę kątów $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

$$360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=360^\circ-285^\circ=75^\circ$$

Odpowiedź: $75^\circ$.

Kwadrat ma cztery kąty proste ($90^\circ$) i cztery równe boki.

Odpowiedź: B. proste.

Trapez ma jedną parę boków równoległych (podstawy). Pozostałe figury mają dwie pary.

Odpowiedź: A. trapez.

Kąty przeciwległe są równe, sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$:

$$70^\circ,\quad 110^\circ,\quad 70^\circ,\quad 110^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

Romb ma cztery równe boki, ale kąty niekoniecznie proste.

Kwadrat to szczególny romb — z kątami prostymi.

Odpowiedź: D. wszystkie boki równe.

Krok 1 — drugi bok. Obwód to $2(a+b)$:

$$2(8+b)=26 \quad\Rightarrow\quad 8+b=13 \quad\Rightarrow\quad b=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: drugi bok $5$ cm, pole $40$ cm².

Krok 1 — kąty przy podstawie dolnej. W trapezie równoramiennym są równe: $65^\circ$ i $65^\circ$.

Krok 2 — kąty przy podstawie górnej. Kąt przy tym samym ramieniu dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Krok 3 — wszystkie kąty: $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa po $65^\circ$ i dwa po $115^\circ$.

W kwadracie przekątne są równe, prostopadłe i przecinają się w połowie.

Odpowiedź: C. równe i prostopadłe.

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości.

$$4\ \text{cm}\to400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$5\ \text{cm}\to500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m na $5$ m.

W prostokącie przekątne są równe. W rombie (niekwadratowym) — różne.

Odpowiedź: A. prostokąt.

Pole rombu liczymy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $24$ cm².

Krok 1 — rzeczywista odległość w cm:

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Odpowiedź: $1{,}5$ km.

Kwadrat ma wszystkie kąty proste (jak prostokąt) i wszystkie boki równe (jak romb), więc jest jednym i drugim.

Odpowiedź: B. prostokątem i rombem.

Wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(6+10)\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32$$

Odpowiedź: $32$.

W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie (punkt przecięcia jest środkiem obu).

Uwaga: równość i prostopadłość przekątnych to cechy szczególnych równoległoboków (prostokąt, romb).

Odpowiedź: D. dzielą się na połowy.

Krok 1 — kąty sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$. Oznaczmy je $2x$ i $3x$:

$$2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 5x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$2x=72^\circ,\qquad 3x=108^\circ$$

Krok 3 — wszystkie cztery (przeciwległe równe):

$$72^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ$$

Sprawdzenie: $72+108+72+108=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $72^\circ$ i $108^\circ$ (po dwa).

Krok 1 — wymiary na planie. Skala $1:1000$ zmniejsza $1000$ razy:

$$30\ \text{m}=3000\ \text{cm}\to3\ \text{cm}$$

$$40\ \text{m}=4000\ \text{cm}\to4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole na planie:

$$3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Uwaga na skalę pól. Rzeczywiste pole to $30\cdot40=1200$ m². Pole na planie jest $1000^2=1\,000\,000$ razy mniejsze — skala pól to kwadrat skali długości.

Odpowiedź: $3$ cm na $4$ cm, pole $12$ cm².

Krok 1 — ramię ukośne. Tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość $8$ i różnica podstaw $11-5=6$:

$$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trapezu:

$$P=\frac{(5+11)\cdot8}{2}=\frac{128}{2}=64$$

Klucz. Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe (= wysokość), a ukośne liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedź: ramię $10$, pole $64$.

Krok 1 — własność boków. W równoległoboku bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$, a bok $AD$ jest poprzeczną przecinającą te równoległe.

Krok 2 — kąty jednostronne. Kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ leżą po tej samej stronie poprzecznej między prostymi równoległymi — to kąty jednostronne wewnętrzne.

Krok 3 — twierdzenie o kątach jednostronnych. Kąty jednostronne przy prostych równoległych sumują się do $180^\circ$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ \qquad ∎$$

Wniosek. To dlatego w równoległoboku kąty sąsiednie zawsze się dopełniają, a przeciwległe są równe.

Sprawdzenie: jeśli $\angle A=70^\circ$, to $\angle D=110^\circ$, a $70+110=180^\circ$ ✔

Obwód (długość) okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r$$

Uwaga: $\pi r^2$ to wzór na pole koła, a nie długość okręgu. Łatwo je pomylić — długość zależy od $r$ liniowo, pole od $r^2$.

Odpowiedź: B. $2\pi r$.

Podstawiamy do wzoru:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $31{,}4$ cm.

Wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: podnosimy do kwadratu sam promień, a nie iloczyn $\pi r$. Zatem $9\pi$, a nie $(3\pi)^2$.

Odpowiedź: $9\pi$ cm² $\approx28{,}3$ cm².

Gdy dana jest średnica, wygodnie użyć wzoru $L=\pi d$:

$$L=3{,}14\cdot10=31{,}4\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: promień to $5$ cm, więc $L=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4$ cm ✔

Odpowiedź: C. $31{,}4$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot10^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $314$ cm².

Z równania $2\pi r=12\pi$ wyznaczamy promień:

$$r=\frac{12\pi}{2\pi}=6$$

Sprawdzenie: $2\pi\cdot6=12\pi$ ✔

Odpowiedź: A. $r=6$.

Krok 1 — promień z pola:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi r=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Krok 1 — droga na jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d=\frac{22}{7}\cdot70=220\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na metry:

$$220\ \text{cm}=2{,}2\ \text{m}$$

Dlaczego $\frac{22}{7}$: to wygodne przybliżenie $\pi$, które przy średnicy podzielnej przez $7$ daje okrągły wynik.

Odpowiedź: $2{,}2$ m.

Pole zależy od kwadratu promienia. Dla promienia $2r$:

$$P=\pi(2r)^2=4\pi r^2$$

To cztery razy więcej niż $\pi r^2$.

Uwaga: długość okręgu podwoiłaby się (zależy od $r$ liniowo), ale pole rośnie z kwadratem — dlatego cztery razy.

Odpowiedź: D. wzrośnie czterokrotnie.

Krok 1 — pole większego koła:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole mniejszego koła:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — pole pierścienia to różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Półkole to połowa koła, więc bierzemy połowę pola:

$$P=\frac{\pi r^2}{2}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi r^2}{2}$.

Krok 1 — promień koła wpisanego. Koło dotyka wszystkich boków kwadratu, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Krok 1 — układamy równanie:

$$2\cdot3{,}14\cdot r=18{,}84$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$6{,}28\cdot r=18{,}84$$

Krok 3 — dzielimy:

$$r=\frac{18{,}84}{6{,}28}=3\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $2\cdot3{,}14\cdot3=18{,}84$ ✔

Odpowiedź: $r=3$ cm.

$$\pi\approx3{,}14159\ldots$$

To liczba niewymierna — jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. W szkole używamy przybliżeń $3{,}14$ lub $\frac{22}{7}$.

Odpowiedź: C. $3{,}14$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień półkola. Średnica półkola to bok kwadratu:

$$2r=6 \quad\Rightarrow\quad r=3\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole półkola:

$$P_2=\frac{\pi\cdot3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}=4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole całej figury:

$$P=36+4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $(36+4{,}5\pi)$ cm² $\approx50{,}1$ cm².

Ćwiartka to $\frac14$ pola całego koła:

$$P=\frac14\cdot\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Odpowiedź: A. $4\pi$.

Krok 1 — proste odcinki. Dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot80=160\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $40$ m składają się na jeden pełny okrąg:

$$L=\pi d=3{,}14\cdot40=125{,}6\ \text{m}$$

Krok 3 — obwód całości:

$$160+125{,}6=285{,}6\ \text{m}$$

Uwaga. Krótsze boki prostokąta ($40$ m) nie należą do bieżni — w tych miejscach są półkola. Wliczamy tylko boki dłuższe.

Odpowiedź: $285{,}6$ m.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_k=10^2=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_{ko}=3{,}14\cdot5^2=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole poza kołem (cztery „narożniki”):

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Interpretacja. Koło zajmuje około $78{,}5\%$ kwadratu — ten stosunek $\frac{\pi}{4}$ jest taki sam dla każdego kwadratu z wpisanym kołem.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm².

Krok 1 — suma pól:

$$\pi\cdot6^2+\pi\cdot8^2=36\pi+64\pi=100\pi$$

Krok 2 — szukany promień. Pole nowego koła ma wynosić $100\pi$:

$$\pi R^2=100\pi \quad\Rightarrow\quad R^2=100 \quad\Rightarrow\quad R=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka. Promienie $6$, $8$, $10$ tworzą trójkę pitagorejską: $6^2+8^2=10^2$. Dlatego pole koła o promieniu $10$ jest sumą pól kół o promieniach $6$ i $8$ — pola dodają się jak kwadraty przyprostokątnych.

Odpowiedź: $R=10$ cm.

Krok 1 — oznaczenia. Niech koło ma promień $r$. Kwadrat opisany dotyka koła wszystkimi bokami, więc jego bok równa się średnicy:

$$a=2r$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_{ko}=\pi r^2$$

Krok 3 — pole kwadratu:

$$P_{kw}=a^2=(2r)^2=4r^2$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{P_{ko}}{P_{kw}}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi}{4} \qquad ∎$$

Promień $r$ skrócił się — stosunek zależy tylko od $\pi$, więc jest stały i wynosi około $0{,}785$.

Sprawdzenie dla $r=5$: pole koła $25\pi\approx78{,}5$, pole kwadratu $100$, stosunek $0{,}785$ ✔

Ostrosłup ma jedną podstawę i tyle ścian bocznych, ile boków ma podstawa:

$$1+4=5$$

Różnica względem graniastosłupa: graniastosłup ma dwie podstawy, ostrosłup — jedną i wierzchołek.

Odpowiedź: C. $5$.

Wierzchołki: trzy w podstawie plus jeden na górze — razem $4$.

Krawędzie: trzy w podstawie plus trzy boczne — razem $6$.

Odpowiedź: $4$ wierzchołki i $6$ krawędzi.

$$V=P_p\cdot H=20\cdot6=120\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $120$ cm$^3$.

Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości:

$$V=\frac13\cdot30\cdot6=60\ \text{cm}^3$$

Pułapka: $180$ cm$^3$ to objętość odpowiadającego graniastosłupa.

Odpowiedź: B. $60$ cm$^3$.

Podstawa: jeden kwadrat.

Ściany boczne: cztery jednakowe trójkąty równoramienne.

Odpowiedź: jeden kwadrat i cztery trójkąty równoramienne.

Osiem krawędzi w dolnej podstawie, osiem w górnej i osiem pionowych:

$$8+8+8=24$$

Odpowiedź: D. $24$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie $6$ i wysokości $5$):

$$\frac{6\cdot5}{2}=15\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — cztery ściany i podstawa:

$$P=36+4\cdot15=36+60=96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $96$ cm$^2$.

Z wzoru $V=P_p\cdot H$ wyznaczamy pole podstawy:

$$P_p=150:10=15\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $15$ cm$^2$.

Trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości, stąd współczynnik $\frac13$.

Odpowiedź: A. $V=\frac13 P_p\cdot H$.

Graniastosłup:

$$V_1=8\cdot12=96\ \text{cm}^3$$

Ostrosłup:

$$V_2=\frac13\cdot96=32\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $96$ cm$^3$ i $32$ cm$^3$.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n$ krawędzi podstawy i $n$ bocznych, razem $2n$:

$$2n=12 \quad\Rightarrow\quad n=6$$

Odpowiedź: C. sześciokątem.

Krok 1 — dwie podstawy:

$$2\cdot4^2=32\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — ściany boczne (obwód podstawy razy wysokość):

$$16\cdot9=144\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — razem:

$$P=32+144=176\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $176$ cm$^2$.

Z wzoru $V=\frac13 P_p H$ wyznaczamy $H$:

$$H=\frac{3V}{P_p}=\frac{3\cdot80}{24}=\frac{240}{24}=10\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac13\cdot24\cdot10=80$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: $10$ cm.

Dwie równoległe podstawy ma graniastosłup, a nie ostrosłup — ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek.

Pozostałe trzy zdania poprawnie opisują ostrosłup prawidłowy.

Odpowiedź: B. ma dwie równoległe podstawy.

Krok 1 — objętość:

$$V=250\cdot20=5000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry ($1$ l $=1000$ cm$^3$):

$$5000:1000=5\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: $5$ litrów.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ wierzchołków:

$$n+1=9 \quad\Rightarrow\quad n=8$$

Ścian bocznych jest tyle, ile boków podstawy, czyli $8$.

Odpowiedź: D. $8$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=3\cdot3=9\ \text{m}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\cdot9\cdot2=6\ \text{m}^3$$

Odpowiedź: $6$ m$^3$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=24\cdot10=240\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — trzeci bok podstawy (twierdzenie Pitagorasa):

$$c=\sqrt{36+64}=10\ \text{cm}$$

Krok 4 — obwód podstawy i pole boczne:

$$O_p=6+8+10=24\ \text{cm},\qquad P_b=24\cdot10=240\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $V=240$ cm$^3$, $P_b=240$ cm$^2$.

Krok 1 — objętość całego sześcianu:

$$V=6^3=216\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — połowa (cięcie dzieli bryłę na dwie przystające części):

$$216:2=108\ \text{cm}^3$$

Sprawdzenie inną drogą: powstały graniastosłup ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ i $6$, czyli o polu $18$ cm$^2$, oraz wysokość $6$ cm: $18\cdot6=108$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: $108$ cm$^3$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole boczne. Cztery trójkąty o podstawie $10$ i wysokości $13$:

$$P_b=4\cdot\frac{10\cdot13}{2}=4\cdot65=260\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole całkowite:

$$P=100+260=360\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — wysokość bryły. Wysokość ostrosłupa, połowa krawędzi podstawy ($5$ cm) i wysokość ściany bocznej ($13$ cm) tworzą trójkąt prostokątny:

$$H=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $P=360$ cm$^2$, wysokość $12$ cm.

Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$$

Odpowiedź: C.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Oznaczmy je $\alpha$:

$$40^\circ+2\alpha=180^\circ$$

$$2\alpha=140^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=70^\circ$$

Odpowiedź: oba kąty przy podstawie mają po $70^\circ$.

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź D to kąt dopełniający do $90^\circ$ — inne pojęcie.

Jeden kąt to $90^\circ$ (prosty). Kąty ostre sumują się do $90^\circ$:

$$90^\circ-27^\circ=63^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $90^\circ$, $27^\circ$ i $63^\circ$.

Sprawdzenie: $90+27+63=180$. ✔

Czworokąt dzieli się przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Odpowiedź: A. Ogólnie dla $n$-kąta: $(n-2)\cdot180^\circ$.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: czwarty kąt ma $85^\circ$.

Pole:

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Obwód:

$$Ob=2(a+b)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $40\ \text{cm}^2$, obwód $26$ cm.

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42\ \text{cm}^2$.

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.

Romb ma równe boki, ale kąty niekoniecznie proste. Prostokąt ma kąty proste, ale boki równe tylko parami. Kwadrat spełnia oba warunki naraz.

Odpowiedź: D. Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.

$$l=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7$$

$$l=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $78{,}5\ \text{cm}^2$.

Pułapka: do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Przy $d=10$ najpierw policz $r=5$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$4\ \text{cm}\cdot500=2000\ \text{cm}=20\ \text{m}$$

$$6\ \text{cm}\cdot500=3000\ \text{cm}=30\ \text{m}$$

Krok 2 — pole:

$$P=20\cdot30=600\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $20$ m na $30$ m, pole $600\ \text{m}^2$.

Uwaga: pole nie rośnie w skali $500$, lecz $500^2$ — dlatego bezpieczniej najpierw przeliczyć boki, a dopiero potem liczyć pole.

Kąt rozwarty ma miarę większą od $90^\circ$ i mniejszą od $180^\circ$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — bok (kwadrat ma cztery równe boki):

$$a=\frac{36}{4}=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=a^2=81\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81\ \text{cm}^2$.

Oznaczmy kąty jako $x$, $2x$, $3x$:

$$x+2x+3x=180^\circ$$

$$6x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=30^\circ$$

Odpowiedź: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — to trójkąt prostokątny.

Osiami są proste przechodzące przez środki przeciwległych boków — są dwie. Przekątne prostokąta nie są osiami symetrii.

Odpowiedź: A. Kwadrat ma ich cztery, bo dochodzą jeszcze przekątne.

Przekształcamy wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a+b}$$

$$h=\frac{2\cdot48}{16}=\frac{96}{16}=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Krok 1 — obwód (siatka):

$$Ob=2(15+20)=70\ \text{m}$$

Krok 2 — pole (trawa):

$$P=15\cdot20=300\ \text{m}^2$$

Krok 3 — koszt:

$$300\cdot12=3600\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $70$ m siatki, trawa za $3600$ zł.

Wskazówka: ogrodzenie liczymy z obwodu, a pokrycie powierzchni z pola — to najczęstsze pomylenie w zadaniach praktycznych.

Krok 1 — oznaczenie. Niech kąt przyległy ma miarę $x$, wtedy $\alpha=3x$.

Krok 2 — równanie (kąty przyległe dają $180^\circ$):

$$x+3x=180^\circ$$

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $45^\circ$ i $135^\circ$.

Sprawdzenie: $135=3\cdot45$ oraz $45+135=180$. ✔

Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Ogólnie: suma kątów $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj. Wszystkie kąty ($35^\circ$, $60^\circ$, $85^\circ$) są mniejsze od $90^\circ$, więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź: $60^\circ$; trójkąt ostrokątny.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: $85^\circ$.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie (przy tym samym boku) dopełniają się do $180^\circ$.

Pozostałe zdania opisują szczególne przypadki: równe kąty ma prostokąt, równe przekątne — również prostokąt, a równe boki — romb.

Odpowiedź: A. kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.

Cyrkiel — służy do kreślenia okręgów i odmierzania odcinków równej długości.

Kątomierz — służy do mierzenia i odmierzania kątów w stopniach.

Uwaga: w klasycznych konstrukcjach geometrycznych używa się wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki.

Odpowiedź: okrąg — cyrklem, kąty — kątomierzem.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Odpowiedź: D. $1080^\circ$.

Krok 1 — drugi kąt przy dłuższej podstawie. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe:

$$65^\circ$$

Krok 2 — kąty przy krótszej podstawie. Kąty przy ramieniu dopełniają się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Symetralna przecina odcinek w połowie pod kątem prostym. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.

Uwaga: odpowiedź C opisuje dwusieczną kąta — to inna konstrukcja.

Odpowiedź: B. przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-40^\circ=140^\circ$$

Krok 2 — są równe, więc dzielimy na pół:

$$140^\circ:2=70^\circ$$

Sprawdzenie: $40+70+70=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: po $70^\circ$.

Romb ma przekątne, które przecinają się w połowie i pod kątem prostym.

Dla porównania: w prostokącie przekątne dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe; w deltoidzie są prostopadłe, ale tylko jedna dzieli drugą na połowy.

Odpowiedź: C. romb.

Krok 1 — podział. Kąt $\beta$ to $1$ część, $\alpha$ to $3$ części, razem $4$ części. Kąty przyległe dają $180^\circ$:

$$180^\circ:4=45^\circ$$

Krok 2 — miary:

$$\beta=45^\circ,\qquad \alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Krok 1. Rozwieramy cyrkiel na promień większy niż połowa odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ kreślimy łuk nad i pod odcinkiem.

Krok 3. Tym samym rozwarciem kreślimy łuki z punktu $B$.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach — łączymy je linijką.

Dlaczego to działa: oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a zbiór takich punktów to właśnie symetralna.

Odpowiedź: dwa łuki tym samym rozwarciem z obu końców, prosta przez punkty ich przecięcia.

Kąt zewnętrzny dopełnia kąt wewnętrzny do $180^\circ$, a suma wszystkich trzech kątów też wynosi $180^\circ$ — stąd równość.

Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku z $70^\circ$ wynosi $110^\circ=50^\circ+60^\circ$ ✔

Odpowiedź: A. sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Sprawdzenie: $40+60+80=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Z każdego z $5$ wierzchołków wychodzą przekątne do $2$ niesąsiednich wierzchołków:

$$\frac{5\cdot2}{2}=5$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie — z obu końców.

Odpowiedź: D. $5$.

Kąt odpowiadający — leży po tej samej stronie prostej tnącej, w tym samym położeniu przy drugiej prostej. Jest równy:

$$58^\circ$$

Kąt naprzemianległy wewnętrzny — po przeciwnych stronach prostej tnącej. Również równy:

$$58^\circ$$

Kąt przyległy — dopełnia do kąta półpełnego:

$$180^\circ-58^\circ=122^\circ$$

Podsumowanie: przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią powstają tylko dwie różne miary kątów — tutaj $58^\circ$ i $122^\circ$.

Odpowiedź: odpowiadający $58^\circ$, naprzemianległy $58^\circ$, przyległy $122^\circ$.

Krok 1 — kąt przeciwległy jest równy:

$$110^\circ$$

Krok 2 — kąty sąsiednie dopełniają do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Takich kątów są dwa.

Krok 3 — kontrola sumy:

$$110+110+70+70=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $110^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.

Krok 1 — suma kątów wewnętrznych:

$$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt wewnętrzny:

$$1800^\circ:12=150^\circ$$

Krok 3 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Kontrola inną drogą: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc dla dwunastokąta foremnego $360^\circ:12=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: wewnętrzny $150^\circ$, zewnętrzny $30^\circ$.

Krok 1 — suma dwóch pozostałych kątów:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Krok 2 — oznaczenie. Niech kąt przy $C$ to $x$, wtedy kąt przy $B$ to $x+30^\circ$:

$$x+(x+30^\circ)=110^\circ$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$2x=80^\circ \quad\Rightarrow\quad x=40^\circ$$

Krok 4 — kąty: przy $C$ jest $40^\circ$, przy $B$ jest $70^\circ$.

Sprawdzenie: $70+70+40=180^\circ$ ✔ oraz $70-40=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt przy $B$ ma $70^\circ$, przy $C$ — $40^\circ$.

Średnica to podwojony promień:

$$d=2r=2\cdot5=10\ \text{cm}$$

Odpowiedź: B. $10$ cm.

$$L=2\pi r=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: przy $\pi\approx3{,}14$ daje to około $43{,}96$ cm.

Odpowiedź: $14\pi$ cm.

$$P=\pi r^2=\pi\cdot9=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: do kwadratu podnosimy tylko promień, nie $\pi$.

Odpowiedź: $9\pi\approx28{,}26$ cm$^2$.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień — sama krzywa.

Koło to okrąg razem ze wszystkimi punktami wewnątrz.

Stąd: okrąg ma długość ($L=2\pi r$), a koło ma pole ($P=\pi r^2$).

Odpowiedź: C. okrąg to sama linia, koło to linia razem z wnętrzem.

Gdy dana jest średnica, korzystamy ze wzoru $L=\pi d$:

$$L=\pi\cdot10=10\pi\ \text{cm}\approx31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $10\pi$ cm.

Krok 1 — promień:

$$r=8:2=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: wstawienie średnicy zamiast promienia daje $64\pi$ — wynik czterokrotnie za duży.

Odpowiedź: A. $16\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień z długości:

$$2\pi r=18\pi \quad\Rightarrow\quad r=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi\cdot81=81\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $r=9$ cm, $P=81\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d\approx3{,}14\cdot70=219{,}8\ \text{cm}$$

Krok 2 — sto obrotów:

$$100\cdot219{,}8=21\,980\ \text{cm}$$

Krok 3 — zamiana na metry:

$$21\,980:100=219{,}8\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $220$ m.

Pole całego koła to $\pi\cdot36=36\pi$ cm$^2$, a półkole to jego połowa:

$$P=\frac{36\pi}{2}=18\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: D. $18\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Pole zależy od kwadratu promienia:

$$P_{\text{nowe}}=\pi(2r)^2=4\pi r^2=4P$$

Dla porównania: długość okręgu $L=2\pi r$ zależy od promienia liniowo, więc ona akurat się podwoi.

Odpowiedź: B. wzrośnie czterokrotnie.

Obrzeże to długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\ \text{m}$$

Ziemia to pole koła:

$$P=\pi\cdot16=16\pi\approx50{,}24\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: około $25{,}1$ m obrzeża i około $50{,}2$ m$^2$ ziemi.

Od pola większego koła odejmujemy pole mniejszego:

$$P=\pi\cdot5^2-\pi\cdot3^2=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno liczyć $\pi(5-3)^2=4\pi$ — trzeba najpierw podnieść do kwadratu, potem odjąć.

Odpowiedź: $16\pi\approx50{,}24$ cm$^2$.

Koło wpisane dotyka wszystkich czterech boków, więc jego średnica jest równa bokowi kwadratu:

$$d=10\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad r=5\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $5$ cm.

Krok 1 — łuk półkola to połowa długości okręgu:

$$\frac{2\pi\cdot6}{2}=6\pi\ \text{cm}$$

Krok 2 — średnica:

$$d=12\ \text{cm}$$

Krok 3 — obwód figury:

$$O=6\pi+12\approx18{,}84+12=30{,}84\ \text{cm}$$

Uwaga: obwód półkola to nie sam łuk — trzeba doliczyć odcinek zamykający figurę.

Odpowiedź: $6\pi+12\approx30{,}8$ cm.

Pole całego koła to $16\pi$ cm$^2$, a ćwiartka to jedna czwarta:

$$\frac{16\pi}{4}=4\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $4\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=12:2=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_2=\pi\cdot36=36\pi\approx113{,}04\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — różnica:

$$P=144-113{,}04=30{,}96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: około $31$ cm$^2$.

Krok 1 — pierwszy przypadek. Koza obchodzi koło o promieniu $5$ m:

$$P_1=\pi\cdot25\approx78{,}5\ \text{m}^2$$

Krok 2 — po wydłużeniu liny:

$$P_2=\pi\cdot100\approx314\ \text{m}^2$$

Krok 3 — porównanie. Lina jest dwa razy dłuższa, ale powierzchnia wzrosła czterokrotnie:

$$\frac{314}{78{,}5}=4$$

Odpowiedź: około $78{,}5$ m$^2$, a po wydłużeniu około $314$ m$^2$.

Krok 1 — proste odcinki. To dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $60$ m tworzą razem pełny okrąg:

$$L=\pi\cdot60\approx188{,}4\ \text{m}$$

Krok 3 — razem:

$$200+188{,}4=388{,}4\ \text{m}$$

Uwaga: krótsze boki prostokąta nie należą do obwodu — są schowane wewnątrz figury, na styku z półkolami.

Odpowiedź: około $388{,}4$ m.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=20\cdot20=400\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole czterech kół:

$$P_2=4\cdot\pi\cdot25=100\pi\approx314\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — odpad:

$$400-314=86\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — procent:

$$\frac{86}{400}=0{,}215=21{,}5\%$$

Ciekawostka: ten wynik nie zależy od rozmiaru kwadratu — dla dowolnego kwadratu z wpisanym kołem odpad zawsze wynosi około $21{,}5\%$.

Odpowiedź: około $21{,}5\%$.

Na osi liczbowej od $-5$ przesuwamy się o $3$ w prawo:

$$-5+3=-2$$

Odpowiedź: B. $-2$.

Odejmowanie oddala nas w lewo od zera:

$$-7-4=-11$$

Odpowiedź: $-11$.

Odejmowanie liczby ujemnej = dodawanie:

$$-3-(-8)=-3+8=5$$

Odpowiedź: $5$.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$(-4)\cdot(-3)=12$$

Odpowiedź: A. $12$.

Iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny:

$$(-6)\cdot2=-12$$

Odpowiedź: C. $-12$.

Iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$(-20):(-4)=5$$

Odpowiedź: $5$.

Iloraz liczb o różnych znakach jest ujemny:

$$(-15):3=-5$$

Odpowiedź: D. $-5$.

Krok po kroku od lewej:

$$-2+7=5$$

$$5-10=-5$$

Odpowiedź: $-5$.

Parzysty wykładnik daje wynik dodatni:

$$(-1)^{100}=1$$

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$-3\cdot4=-12$$

Krok 2 — dodawanie:

$$-12+5=-7$$

Odpowiedź: $-7$.

Nieparzysty wykładnik zachowuje znak minus:

$$(-2)^3=-8$$

Odpowiedź: A. $-8$.

Krok 1 — mnożenie:

$$3\cdot(-2)=-6$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$10-(-6)=10+6=16$$

Odpowiedź: $16$.

$$-6+9=3^\circ\text{C}$$

Odpowiedź: $3^\circ$C.

Liczba przeciwna ma przeciwny znak: $-(-7)=7$.

Odpowiedź: C. $7$.

Krok 1 — dwa pierwsze czynniki:

$$(-2)\cdot(-3)=6$$

Krok 2 — mnożymy przez $(-1)$:

$$6\cdot(-1)=-6$$

Zasada. Nieparzysta liczba czynników ujemnych (tu trzy) daje wynik ujemny.

Odpowiedź: $-6$.

$$0-(-9)=0+9=9$$

Odpowiedź: D. $9$.

Krok 1 — najpierw nawias:

$$3-7=-4$$

Krok 2 — mnożenie:

$$-4\cdot(-4)=16$$

Odpowiedź: $16$.

Zapisujemy ruch jako sumę:

$$0-3+5-2$$

Liczymy od lewej:

$$0-3=-3,\quad -3+5=2,\quad 2-2=0$$

Odpowiedź: na parterze (poziom $0$).

Krok 1 — licznik:

$$(-12)+(-8)=-20$$

Krok 2 — dzielenie (dwie liczby ujemne → dodatni wynik):

$$\frac{-20}{-4}=5$$

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech liczba to $a$; liczbą przeciwną jest $-a$.

Krok 2 — dodajemy:

$$a+(-a)=a-a=0 \qquad ∎$$

Interpretacja. Na osi liczbowej $a$ i $-a$ leżą w jednakowej odległości od zera po przeciwnych stronach — „znoszą się”.

Sprawdzenie: $7+(-7)=0$, $-5+5=0$ ✔

Ułamki mają ten sam mianownik, więc dodajemy tylko liczniki, a mianownik przepisujemy:

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$$

Częsty błąd: dodawanie także mianowników (odpowiedź A). Mianownik mówi, na ile części podzielono całość — nie zmienia się przy dodawaniu.

Odpowiedź: C. $\frac35$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$ i $3$ to $6$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: $\frac56$.

Ułamki mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Skracamy przed mnożeniem (to wygodniejsze): $3$ z $9$ daje $1$ i $3$, a $2$ z $4$ daje $1$ i $2$:

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

Sprawdzenie bez skracania: $\frac{6}{36}=\frac16$ ✔

Odpowiedź: $\frac16$.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\frac{3}{5}:\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}$$

Skracamy piątki:

$$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=\frac{3}{2}=1\frac12$$

Pułapka: odpowiedź A to wynik mnożenia zamiast dzielenia. Trzeba odwrócić drugi ułamek.

Odpowiedź: B. $\frac32$.

Działania dodawania i odejmowania wykonujemy po kolei, od lewej:

$$-8+15=7$$

$$7-6=1$$

Wskazówka: można też osobno zsumować dodatnie ($15$) i osobno ujemne ($-8-6=-14$), a potem $15-14=1$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $1$.

Potęga $2^5$ oznacza pięciokrotne mnożenie dwójki przez siebie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: odpowiedź B ($10$) to wynik mnożenia $2\cdot5$, a nie potęgowania. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę, a nie przez ile.

Odpowiedź: A. $32$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $6$ i $4$ to $12$:

$$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Wynik jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Kolejność: najpierw mnożenia, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenia z regułą znaków:

$$(-3)\cdot4=-12,\qquad (-2)\cdot(-5)=10$$

Krok 2 — dodajemy wyniki:

$$-12+10=-2$$

Odpowiedź: $-2$.

Krok 1 — osobno całości, osobno ułamki. Całości: $2+1=3$.

Krok 2 — dodajemy części ułamkowe na wspólnym mianowniku $6$:

$$\frac13+\frac16=\frac26+\frac16=\frac36=\frac12$$

Krok 3 — łączymy:

$$3+\frac12=3\frac12$$

Odpowiedź: D. $3\frac12$.

„Ułamek z liczby” oznacza mnożenie ułamka przez tę liczbę:

$$\frac{2}{3}\cdot150$$

Sposób sprytny: najpierw dzielimy przez mianownik, potem mnożymy przez licznik:

$$150:3=50,\qquad 50\cdot2=100$$

Odpowiedź: $100$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^2\cdot3^3=3^{2+3}=3^5$$

Sprawdzenie: $9\cdot27=243$ oraz $3^5=243$ ✔

Uwaga: podstawa pozostaje bez zmian — nie mnożymy jej (odpowiedź C jest błędna). Wykładniki mnożymy dopiero przy potęgowaniu potęgi.

Odpowiedź: B. $3^5$.

Kolejność: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie:

$$\frac12\cdot\frac23=\frac{2}{6}=\frac13$$

Krok 2 — dodawanie na wspólnym mianowniku $12$:

$$\frac34+\frac13=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$.

Krok 1 — dzielenie. Dwa minusy dają plus:

$$(-24):(-6)=4$$

Krok 2 — dodawanie:

$$4+(-3)=1$$

Odpowiedź: $1$.

Potęga dziesiątki to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik:

$$10^3=10\cdot10\cdot10=1000$$

Wykładnik $3$ oznacza trzy zera.

Zestawienie: $10^2=100$, $10^3=1000$, $10^4=10\,000$ — te potęgi warto znać na pamięć, bo pojawiają się przy notacji wykładniczej.

Odpowiedź: C. $1000$.

Podnosząc ułamek do kwadratu, podnosimy osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

Częsty błąd: podniesienie do kwadratu tylko licznika. Wykładnik dotyczy całego ułamka, więc obejmuje i licznik, i mianownik.

Odpowiedź: $\frac{4}{9}$.

Krok 1 — zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

$$2\frac12=\frac52,\qquad 1\frac13=\frac43$$

Krok 2 — mnożymy, skracając po drodze ($2$ z $4$):

$$\frac52\cdot\frac43=\frac{5}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}=3\frac13$$

Kluczowa uwaga: liczb mieszanych nie mnożymy „całości razy całości i ułamek razy ułamek”. Trzeba je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe.

Odpowiedź: $\frac{10}{3}=3\frac13$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$$

Sprawdzenie: $\frac{64}{16}=4$ ✔

Pułapka: dodanie wykładników (odpowiedź D) dotyczy mnożenia, a nie dzielenia.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — ile zjedzono razem. Wspólny mianownik dla $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac13+\frac14=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Krok 2 — ile zostało. Całość to $1=\frac{12}{12}$:

$$1-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Kontrola sensu: zjedzono ponad połowę, więc reszta mniejsza od połowy — $\frac{5}{12}$ się zgadza.

Odpowiedź: zostało $\frac{5}{12}$ tabliczki.

Czytamy od prawej — najpierw bierzemy $\frac23$ z $45$, potem $\frac45$ z wyniku.

Krok 1:

$$\frac23\cdot45=\frac{90}{3}=30$$

Krok 2:

$$\frac45\cdot30=\frac{120}{5}=24$$

Sposób jednym działaniem: $\frac45\cdot\frac23\cdot45=\frac{8}{15}\cdot45=24$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $24$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$, $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac12=\frac{6}{12},\qquad \frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — wykonujemy działania na licznikach po kolei:

$$\frac{6}{12}+\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{6+4-3}{12}=\frac{7}{12}$$

Sprawdzenie oszacowaniem: $\frac12+\frac13\approx0{,}83$, minus $\frac14=0{,}25$ daje około $0{,}58$, a $\frac{7}{12}\approx0{,}58$ ✔

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Obliczamy procent z liczby:

$$0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Szybciej: $10\%$ z $150$ to $15$, więc $20\%$ to $30$ zł.

Odpowiedź: B. $30$ zł.

Krok 1 — wartość obniżki:

$$0{,}25\cdot80=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$80-20=60\ \text{zł}$$

Szybciej: po obniżce o $25\%$ zostaje $75\%$, czyli $0{,}75\cdot80=60$ zł.

Odpowiedź: $60$ zł.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}15\cdot200=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+30=230\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $230$ zł.

Dzielimy część przez całość i zamieniamy na procent:

$$\frac{20}{50}=0{,}4=40\%$$

Odpowiedź: C. $40\%$.

Szukamy liczby, której $30\%$ to $45$. Dzielimy:

$$45:0{,}3=150$$

Sprawdzenie: $0{,}3\cdot150=45$ ✔

Odpowiedź: szukana liczba to $150$.

VAT doliczamy do ceny netto:

$$100+0{,}23\cdot100=100+23=123\ \text{zł}$$

Szybciej: cena brutto to $123\%$ ceny netto: $1{,}23\cdot100=123$ zł.

Odpowiedź: A. $123$ zł.

Krok 1 — po podwyżce:

$$120\cdot1{,}1=132\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce (liczonej od $132$ zł):

$$132\cdot0{,}9=118{,}80\ \text{zł}$$

Wniosek: cena nie wróciła do $120$ zł, bo obniżkę liczono od wyższej kwoty. Sweter jest tańszy niż na początku.

Odpowiedź: $118{,}80$ zł.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$0{,}6\cdot25=15$$

Krok 2 — chłopcy to reszta:

$$25-15=10$$

Sprawdzenie: chłopcy to $40\%$, czyli $0{,}4\cdot25=10$ ✔

Odpowiedź: $10$ chłopców.

Cena ze zniżką to $70\%$ ceny pełnej. Dzielimy:

$$28:0{,}7=40\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\cdot0{,}7=28$ zł ✔

Pułapka: dodanie $30\%$ do $28$ (czyli $36{,}40$) jest błędne — procent liczy się od ceny pełnej, nie od obniżonej.

Odpowiedź: D. $40$ zł.

Procent zmiany liczymy względem ceny początkowej.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$750-600=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu:

$$\frac{150}{600}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: rower zdrożał o $25\%$.

Zamieniamy ułamek na procent:

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: B. $75\%$.

Krok 1 — odsetki:

$$0{,}04\cdot2000=80\ \text{zł}$$

Krok 2 — stan konta:

$$2000+80=2080\ \text{zł}$$

Odpowiedź: odsetki $80$ zł, na koncie $2080$ zł.

Zakupy przekraczają $200$ zł, więc rabat przysługuje.

Krok 1 — rabat:

$$0{,}15\cdot240=36\ \text{zł}$$

Krok 2 — do zapłaty:

$$240-36=204\ \text{zł}$$

Szybciej: $0{,}85\cdot240=204$ zł.

Odpowiedź: klient zapłaci $204$ zł.

Dzielimy przez $1{,}2$:

$$60:1{,}2=50$$

Sprawdzenie: $1{,}2\cdot50=60$ ✔

Uwaga: $120\%$ oznacza więcej niż całość, więc szukana liczba jest mniejsza od $60$.

Odpowiedź: C. $50$.

Krok 1 — cena po pierwszym rabacie:

$$1800\cdot0{,}9=1620\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat (liczony od $1620$ zł):

$$1620\cdot0{,}95=1539\ \text{zł}$$

Uwaga: rabaty nie sumują się do $15\%$ — drugi liczy się od już obniżonej ceny. Łączny rabat to $\frac{1800-1539}{1800}=14{,}5\%$.

Odpowiedź: klient zapłaci $1539$ zł.

$$\frac{25}{500}=0{,}05=5\%$$

Odpowiedź: A. $5\%$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}08\cdot4000=320\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$4000+320=4320\ \text{zł}$$

Odpowiedź: nowa pensja to $4320$ zł.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$5-4=1\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent względem ceny początkowej:

$$\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$$

Częsty błąd: dzielenie przez cenę końcową ($5$ zł) dałoby $20\%$. Procent zmiany zawsze odnosimy do wartości przed zmianą.

Odpowiedź: cena wzrosła o $25\%$.

Krok 1 — cena początkowa. Po obniżce o $40\%$ zostaje $60\%$ ceny, więc:

$$150:0{,}6=250\ \text{zł}$$

Krok 2 — obniżka w złotówkach:

$$250-150=100\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\%$ z $250$ to $100$ zł ✔

Odpowiedź: kurtka kosztowała $250$ zł, obniżka to $100$ zł.

Krok 1 — objętość w mililitrach:

$$1{,}5\ \text{l}=1500\ \text{ml}$$

Krok 2 — obliczamy $12\%$:

$$0{,}12\cdot1500=180\ \text{ml}$$

Kontrola sensu: $12\%$ to nieco ponad dziesiąta część, a $\frac{1500}{10}=150$, więc $180$ ml jest rozsądne.

Odpowiedź: butelka zawiera $180$ ml owoców.

$$5\cdot8=40$$

Odpowiedź: C. $40$ m².

$$4\cdot3=12$$

Odpowiedź: $12$.

$$10^2=100$$

Odpowiedź: B.

$$\tfrac12\cdot6\cdot4=12$$

Odpowiedź: $12$ m².

$8\cdot5=40$ m², koszt $40\cdot2=80$ zł.

Odpowiedź: $80$ zł.

$3\cdot2{,}5=7{,}5$ m²; $7{,}5:4=1{,}875$, więc $2$ puszki.

Odpowiedź: $2$ puszki.

$24$ m².

Odpowiedź: $24$ m².

$49$ m².

Odpowiedź: $49$ m².

$\tfrac12\cdot10\cdot6=30$.

Odpowiedź: B.

$20$.

Odpowiedź: $20$.

$96\cdot3=288$ zł.

Odpowiedź: $288$ zł.

$40$.

Odpowiedź: $40$.

$12:6=2$.

Odpowiedź: $2$.

$\tfrac{16}{2}\cdot4=32$.

Odpowiedź: $32$.

$300$ m² $=3$ ary.

Odpowiedź: $3$ ary.

$144$ cm².

Odpowiedź: C.

$20\cdot25=500$ zł.

Odpowiedź: $500$ zł.

$24$.

Odpowiedź: $24$.

$100-16=84$ m².

Odpowiedź: $84$ m².

$250\cdot12=3000$ zł.

Odpowiedź: $3000$ zł.

Krok 1 — podwyżka:

$$10\%\cdot200=0{,}1\cdot200=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+20=220\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $220$ zł.

Krok 1 — obniżka:

$$20\%\cdot150=0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$150-30=120\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $120$ zł.

Mnożnik podwyżki o $25\%$ to $1{,}25$ — mnożymy jednym działaniem:

$$80\cdot1{,}25=100\ \text{zł}$$

Dlaczego tak: nowa cena to $100\%+25\%=125\%$ ceny wyjściowej, a $125\%=1{,}25$.

Odpowiedź: $100$ zł.

Po obniżce zostaje:

$$100\%-30\%=70\%=0{,}7$$

Częsty błąd: mnożenie przez $0{,}3$ daje wartość rabatu, a nie cenę po obniżce.

Odpowiedź: A. $0{,}7$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}05\cdot3000=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$3000+150=3150\ \text{zł}$$

Odpowiedź: wzrosła o $150$ zł, wynosi $3150$ zł.

Krok 1 — kwota obniżki:

$$60-45=15\ \text{zł}$$

Krok 2 — jaki to procent ceny wyjściowej:

$$\frac{15}{60}=0{,}25=25\%$$

Uwaga: dzielimy przez cenę przed obniżką — to ona jest całością, czyli $100\%$.

Odpowiedź: C. $25\%$.

Krok 1 — jaki procent ceny wyjściowej stanowi $850$ zł:

$$100\%-15\%=85\%$$

Krok 2 — układamy równanie. Niech $x$ to cena przed obniżką:

$$0{,}85x=850$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=\frac{850}{0{,}85}=1000\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $15\%$ z $1000$ to $150$, a $1000-150=850$ ✔

Odpowiedź: $1000$ zł.

Krok 1 — po podwyżce:

$$200\cdot1{,}1=220\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce. Uwaga: $10\%$ liczymy teraz od $220$ zł, a nie od $200$ zł:

$$220\cdot0{,}9=198\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$198\lt 200$$

Dlaczego nie wróciła. Podwyżkę liczyliśmy od $200$, a obniżkę od większej kwoty $220$ — obniżka była więc „mocniejsza” w złotówkach. Łączny mnożnik to $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$, czyli spadek o $1\%$.

Odpowiedź: $198$ zł — nie wróciła, jest o $2$ zł niższa.

Wzrost o $100\%$ to dodanie całej ceny wyjściowej:

$$100\%+100\%=200\%=2\cdot\text{cena}$$

Przykład: z $50$ zł robi się $100$ zł.

Uwaga: wzrost trzykrotny to wzrost o $200\%$ — łatwo pomylić „o tyle” z „do tylu”.

Odpowiedź: D. podwoiła się.

Krok 1 — po podwyżce:

$$24\cdot1{,}25=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce:

$$30\cdot0{,}8=24\ \text{zł}$$

Ciekawostka. Tym razem cena wróciła dokładnie do punktu wyjścia, bo $1{,}25\cdot0{,}8=1$. Podwyżka o $\frac14$ i obniżka o $\frac15$ znoszą się nawzajem.

Odpowiedź: $24$ zł.

Rabat $50\%$ to połowa ceny:

$$120\cdot0{,}5=60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $60$ zł.

Krok 1 — pierwszy rabat:

$$400\cdot0{,}7=280\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat, liczony od $280$ zł:

$$280\cdot0{,}9=252\ \text{zł}$$

Krok 3 — łączny rabat:

$$400-252=148\ \text{zł},\qquad \frac{148}{400}=37\%$$

Uwaga. Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ nie dają $40\%$, tylko $37\%$ — bo drugi liczymy od mniejszej kwoty. Mnożnik łączny to $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$.

Odpowiedź: $252$ zł.

Krok 1 — mnożnik podwyżki:

$$100\%+20\%=120\%=1{,}2$$

Krok 2 — równanie:

$$1{,}2x=360$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$x=\frac{360}{1{,}2}=300\ \text{zł}$$

Częsty błąd: odjęcie $20\%$ od $360$ daje $288$ zł — to zła odpowiedź, bo procent liczylibyśmy od niewłaściwej podstawy.

Odpowiedź: $300$ zł.

Liczymy mnożniki łączne — im mniejszy, tym taniej:

$$\text{A}:\ 0{,}6$$

$$\text{B}:\ 0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64$$

$$\text{C}:\ 0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$$

$$\text{D}:\ 0{,}9^4=0{,}6561$$

Najmniejszy mnożnik ma odpowiedź A.

Wniosek praktyczny: rabaty naliczane kolejno są zawsze mniej korzystne niż jeden rabat o tej samej sumie procentów.

Odpowiedź: A. jeden rabat $40\%$.

Krok 1 — przyrost:

$$280-250=30$$

Krok 2 — procent przyrostu:

$$\frac{30}{250}=0{,}12=12\%$$

Odpowiedź: o $12\%$.

Przykład liczbowy. Cena $100$ zł spada o połowę:

$$100\cdot0{,}5=50\ \text{zł}$$

Aby z $50$ zł wrócić do $100$ zł, trzeba dodać $50$ zł, czyli:

$$\frac{50}{50}=1=100\%$$

Sedno. Spadek i wzrost liczone są od różnych podstaw: spadek od $100$, wzrost od $50$. Dlatego procenty nie są symetryczne.

Odpowiedź: C. $100\%$.

Krok 1 — po obniżce:

$$2400\cdot0{,}85=2040\ \text{zł}$$

Krok 2 — po podwyżce, liczonej od $2040$ zł:

$$2040\cdot1{,}15=2346\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$2400-2346=54\ \text{zł}$$

Krok 4 — łączny mnożnik:

$$0{,}85\cdot1{,}15=0{,}9775$$

To spadek o $2{,}25\%$ względem ceny wyjściowej.

Reguła. Obniżka i podwyżka o ten sam procent nigdy nie wracają do punktu wyjścia — końcowa cena zawsze jest niższa, bo $(1-p)(1+p)=1-p^2\lt 1$.

Odpowiedź: $2346$ zł, czyli o $54$ zł mniej niż na początku.

Krok 1 — cena sprzedaży z narzutem:

$$80\cdot1{,}5=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — cena po rabacie:

$$120\cdot0{,}7=84\ \text{zł}$$

Krok 3 — zysk:

$$84-80=4\ \text{zł}$$

Krok 4 — zysk w procentach kosztu zakupu:

$$\frac{4}{80}=0{,}05=5\%$$

Uwaga na podstawę. Narzut $50\%$ liczymy od ceny zakupu ($80$ zł), a rabat $30\%$ — od ceny sprzedaży ($120$ zł). To różne kwoty, dlatego nie wolno odejmować tych procentów od siebie.

Odpowiedź: tak, zarabia $4$ zł, czyli $5\%$.

Krok 1 — wzrost w złotych:

$$27-18=9\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu (podstawa: $18$ zł):

$$\frac{9}{18}=0{,}5=50\%$$

Krok 3 — powrót, teraz podstawą jest $27$ zł:

$$\frac{9}{27}=\frac13\approx0{,}333=33\tfrac13\%$$

Wniosek. Wzrost o $50\%$ odwraca się spadkiem o $33\tfrac13\%$, a nie o $50\%$ — bo za drugim razem liczymy procent od większej kwoty.

Odpowiedź: wzrost o $50\%$, powrót wymaga spadku o $33\tfrac13\%$.

Krok 1 — sklep A:

$$300\cdot0{,}8=240\ \text{zł}$$

Krok 2 — sklep B:

$$280\cdot0{,}85=238\ \text{zł}$$

Krok 3 — różnica:

$$240-238=2\ \text{zł}$$

Uwaga metodyczna. Wyższy rabat nie oznacza niższej ceny — sklep A daje $20\%$, a mimo to jest droższy, bo startuje z wyższej ceny. Zawsze porównujemy kwoty końcowe, nie same procenty.

Odpowiedź: taniej w sklepie B, o $2$ zł.

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($26$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: C. $40$ cm$^2$.

$$O=2(a+b)=2(8+5)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{14\cdot6}{2}=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42$ cm$^2$.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź A ($31{,}4$) to długość okręgu ($2\pi r$), a nie pole koła.

Odpowiedź: B. $78{,}5$ cm$^2$.

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=a\cdot h=10\cdot4=40\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do podstawy — to nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: A. $40$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(12+8)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{10\cdot12}{2}=60\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $2$ — dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: D. $28$ cm.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=\frac{72}{9}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(9+8)=34\ \text{cm}$$

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $34$ cm.

Pole koła to $\pi r^2$, a $2\pi r$ (odpowiedź A) to długość okręgu.

Jak zapamiętać: pole zawsze zawiera kwadrat długości (bo mierzymy powierzchnię), a obwód jest liniowy.

Odpowiedź: B. $\pi r^2$.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby $144\pi$ — wynik cztery razy za duży.

Odpowiedź: $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Przekształcamy wzór:

$$h=\frac{2P}{a}=\frac{2\cdot54}{12}=\frac{108}{12}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot9}{2}=54$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość $9$ cm.

Krok 1 — bok:

$$a=24:4=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: C. $36$ cm$^2$.

Krok 1 — obwód działki:

$$O=2(30+20)=100\ \text{m}$$

Krok 2 — koszt:

$$100\cdot28=2800\ \text{zł}$$

Uwaga: do ogrodzenia liczy się obwód, nie pole.

Odpowiedź: $2800$ zł.

$1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$, więc:

$$50\,000:10\,000=5\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $5$ m$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — suma:

$$P=36+12=48\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Obserwacja: koło wpisane w kwadrat zajmuje około $78,5\%$ jego pola — na odpady zostaje niecałe $22\%$.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$2(a+b)=40 \quad\Rightarrow\quad a+b=20$$

Krok 2 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, wtedy długość $x+4$:

$$x+(x+4)=20 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — wymiary i pole:

$$8\ \text{cm} \times 12\ \text{cm},\qquad P=96\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(8+12)=40$ cm ✔

Odpowiedź: $8$ cm na $12$ cm, pole $96$ cm$^2$.

Ścieżka to pierścień między dwoma kołami.

Krok 1 — promień zewnętrzny:

$$R=3+1=4\ \text{m}$$

Krok 2 — pola obu kół:

$$P_{zew}=\pi\cdot16=16\pi,\qquad P_{wew}=\pi\cdot9=9\pi$$

Krok 3 — pole ścieżki to różnica:

$$P=16\pi-9\pi=7\pi\approx22\ \text{m}^2$$

Uwaga: nie wystarczy pomnożyć obwodu przez szerokość — ścieżka na zewnątrz jest „szersza” w sensie pola niż prosty pasek.

Odpowiedź: $7\pi\approx22$ m$^2$.

$$4\cdot7=28$$

Odpowiedź: C.

$$\tfrac12\cdot10\cdot4=20$$

Odpowiedź: $20$.

$$6^2=36$$

Odpowiedź: B.

$$5\cdot3=15$$

Odpowiedź: $15$.

$$\tfrac{3+7}{2}\cdot4=20$$

Odpowiedź: $20$.

$$\tfrac{10\cdot6}{2}=30$$

Odpowiedź: $30$.

$40$.

Odpowiedź: $40$.

$24$.

Odpowiedź: $24$.

$81$.

Odpowiedź: B.

$30$.

Odpowiedź: $30$.

$\tfrac{12}{2}\cdot5=30$.

Odpowiedź: $30$.

$30$.

Odpowiedź: $30$.

$35$.

Odpowiedź: C.

$24$.

Odpowiedź: $24$.

$54:6=9$.

Odpowiedź: $9$.

$77$.

Odpowiedź: $77$.

$40=\tfrac12\cdot10\cdot h \Rightarrow h=8$.

Odpowiedź: $8$.

$30$.

Odpowiedź: A.

$\tfrac{8f}{2}=48 \Rightarrow f=12$.

Odpowiedź: $12$.

$60+12=72$ m².

Odpowiedź: $72$ m².

Korzystamy ze wzoru na drogę:

$$s=v\cdot t=60\cdot3=180\ \text{km}$$

Kontrola jednostek: km/h razy godziny daje kilometry — zgadza się.

Pułapka: odpowiedź A to wynik dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: B. $180$ km.

Przekształcamy wzór $s=v\cdot t$, dzieląc obie strony przez $t$:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{45}{3}=15\ \text{km/h}$$

Kontrola sensu: $15$ km/h to typowa prędkość rowerzysty — wynik jest wiarygodny.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $15$ km/h.

Przekształcamy wzór, dzieląc drogę przez prędkość:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{240}{80}=3\ \text{godziny}$$

Kontrola jednostek: kilometry dzielone przez km/h dają godziny — zgadza się.

Sprawdzenie: $80\cdot3=240$ km ✔

Odpowiedź: podróż zajmie $3$ godziny.

Aby zamienić km/h na m/s, dzielimy przez $3{,}6$:

$$72:3{,}6=20\ \text{m/s}$$

Skąd bierze się $3{,}6$: $1$ km $=1000$ m, a $1$ h $=3600$ s, więc $1$ km/h $=\frac{1000}{3600}$ m/s $=\frac{1}{3{,}6}$ m/s.

W drugą stronę (z m/s na km/h) mnożymy przez $3{,}6$. Sprawdzenie: $20\cdot3{,}6=72$ ✔

Odpowiedź: C. $20$ m/s.

Krok 1 — zamieniamy czas na godziny. $30$ minut to pół godziny:

$$t=2{,}5\ \text{h}$$

Krok 2 — obliczamy drogę:

$$s=4\cdot2{,}5=10\ \text{km}$$

Częsty błąd: wpisanie $2{,}30$ zamiast $2{,}5$. Czas w zapisie zegarowym trzeba najpierw zamienić na ułamek godziny — minuty dzielimy przez $60$.

Odpowiedź: pieszy pokonał $10$ km.

Krok 1 — czas podróży. Od $8{:}15$ do $11{:}15$ mijają $3$ godziny, a do $11{:}45$ jeszcze $30$ minut:

$$t=3\ \text{h}\ 30\ \text{min}=3{,}5\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{210}{3{,}5}=60\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $60\cdot3{,}5=210$ km ✔

Odpowiedź: średnia prędkość to $60$ km/h.

Zamiana m/s na km/h polega na pomnożeniu przez $3{,}6$:

$$15\cdot3{,}6=54\ \text{km/h}$$

Kontrola kierunku zamiany: ta sama prędkość w km/h musi mieć większą liczbę niż w m/s, bo godzina jest znacznie dłuższa od sekundy. Wynik $4{,}2$ z odpowiedzi A jest więc na pewno błędny — powstał z dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: D. $54$ km/h.

Uwaga: średniej prędkości nie liczy się jako średniej z prędkości. Trzeba podzielić całą drogę przez cały czas.

Krok 1 — droga na każdym odcinku:

$$s_1=70\cdot2=140\ \text{km},\qquad s_2=40\cdot1=40\ \text{km}$$

Krok 2 — łączna droga i łączny czas:

$$s=140+40=180\ \text{km},\qquad t=2+1=3\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość:

$$v=\frac{180}{3}=60\ \text{km/h}$$

Porównanie: zwykła średnia z $70$ i $40$ dałaby $55$ km/h — wynik błędny, bo z większą prędkością motocyklista jechał dwa razy dłużej.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $60$ km/h.

Krok 1 — czas przejazdu:

$$t=\frac{150}{50}=3\ \text{godziny}$$

Krok 2 — godzina przyjazdu:

$$9{:}00+3\ \text{h}=12{:}00$$

Odpowiedź: samochód dojedzie o godzinie $12{:}00$.

Ze wzoru $t=\frac{s}{v}$ widać, że czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości — gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje w tym samym stosunku.

Sprawdźmy na liczbach. Dla $s=120$ km:

$$v=60\ \text{km/h} \Rightarrow t=2\ \text{h},\qquad v=120\ \text{km/h} \Rightarrow t=1\ \text{h}$$

Prędkość wzrosła dwa razy, a czas zmalał dwa razy.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — prędkość w m/s:

$$v=\frac{400}{50}=8\ \text{m/s}$$

Krok 2 — zamiana na km/h (mnożymy przez $3{,}6$):

$$8\cdot3{,}6=28{,}8\ \text{km/h}$$

Kontrola sensu: blisko $29$ km/h to prędkość bardzo dobrego sprintera — wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: $8$ m/s, czyli $28{,}8$ km/h.

Krok 1 — czas w godzinach:

$$t=\frac{60}{25}=2{,}4\ \text{h}$$

Krok 2 — zamieniamy część ułamkową na minuty. Mnożymy przez $60$:

$$0{,}4\cdot60=24\ \text{minuty}$$

Częsty błąd: zapisanie wyniku jako „$2$ godziny $40$ minut”. Zapis $2{,}4$ h to nie $2$ h $40$ min — ułamek godziny trzeba przeliczyć przez $60$, a nie przez $100$.

Odpowiedź: $2$ godziny $24$ minuty.

Krok 1 — zamiana czasu na godziny. $15$ minut to $\frac{15}{60}=0{,}25$ h:

$$t=2{,}25\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{180}{2{,}25}=80\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $80\cdot2{,}25=180$ km ✔

Pułapka: podstawienie $t=2{,}15$ dałoby błędne $83{,}7$ km/h.

Odpowiedź: B. $80$ km/h.

Kluczowa obserwacja: gdy pojazdy jadą naprzeciw siebie, odległość między nimi maleje z prędkością równą sumie ich prędkości.

Krok 1 — prędkość zbliżania:

$$v=70+80=150\ \text{km/h}$$

Krok 2 — czas do spotkania:

$$t=\frac{300}{150}=2\ \text{godziny}$$

Sprawdzenie: po $2$ godzinach pierwszy przejedzie $140$ km, drugi $160$ km, a razem $140+160=300$ km ✔

Odpowiedź: spotkają się po $2$ godzinach.

Krok 1 — zamieniamy minuty na godziny:

$$20\ \text{min}=\frac{20}{60}=\frac13\ \text{h}$$

Krok 2 — obliczamy drogę:

$$s=90\cdot\frac13=30\ \text{km}$$

Sposób w pamięci: $20$ minut to trzecia część godziny, więc pociąg pokona trzecią część tego, co przejechałby przez godzinę: $90:3=30$ km.

Odpowiedź: pociąg pokona $30$ km.

Zamieniamy km/h na m/s, dzieląc przez $3{,}6$:

$$18:3{,}6=5\ \text{m/s}$$

Prędkość $5$ m/s oznacza dokładnie tyle, że w każdej sekundzie rowerzysta pokonuje $5$ metrów.

Sprawdzenie w drugą stronę: $5\cdot3{,}6=18$ km/h ✔

Odpowiedź: C. $5$ metrów.

Krok 1 — długość każdej połowy:

$$s_1=s_2=100\ \text{km}$$

Krok 2 — czas na każdym odcinku:

$$t_1=\frac{100}{100}=1\ \text{h},\qquad t_2=\frac{100}{50}=2\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość to cała droga przez cały czas:

$$v=\frac{200}{1+2}=\frac{200}{3}\approx66{,}7\ \text{km/h}$$

Dlaczego nie $75$ km/h: zwykła średnia z $100$ i $50$ byłaby poprawna tylko wtedy, gdyby samochód jechał z każdą prędkością równie długo. Tutaj wolniejszy odcinek zajął dwa razy więcej czasu, więc ciągnie średnią w dół.

Odpowiedź: średnia prędkość to około $66{,}7$ km/h.

Krok 1 — przebyta droga. Podczas odpoczynku turysta nie pokonał żadnej drogi:

$$s=5\cdot3=15\ \text{km}$$

Krok 2 — całkowity czas obejmuje także postój:

$$t=3+1=4\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość:

$$v=\frac{15}{4}=3{,}75\ \text{km/h}$$

Wniosek: średnia prędkość jest mniejsza od prędkości marszu, bo w mianowniku uwzględniamy czas, w którym droga nie przyrastała.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $3{,}75$ km/h.

Kluczowa obserwacja: gdy pojazdy jadą w tym samym kierunku, odległość między nimi zmienia się z prędkością równą różnicy ich prędkości.

Krok 1 — prędkość zbliżania:

$$v=60-20=40\ \text{km/h}$$

Krok 2 — czas w godzinach:

$$t=\frac{2}{40}=0{,}05\ \text{h}$$

Krok 3 — zamieniamy na minuty:

$$0{,}05\cdot60=3\ \text{minuty}$$

Sprawdzenie: w ciągu $3$ minut samochód przejedzie $3$ km, a rowerzysta $1$ km — różnica $2$ km to dokładnie początkowy dystans ✔

Odpowiedź: samochód dogoni rowerzystę po $3$ minutach.

Krok 1 — droga przebyta pieszo:

$$s_1=4\cdot2=8\ \text{km}$$

Krok 2 — droga pozostała do przejechania:

$$s_2=48-8=40\ \text{km}$$

Krok 3 — czas przejazdu autokarem:

$$t_2=\frac{40}{40}=1\ \text{godzina}$$

Krok 4 — łączny czas wycieczki:

$$t=2+1=3\ \text{godziny}$$

Sprawdzenie: $8+40=48$ km ✔

Odpowiedź: autokar jechał $1$ godzinę, a cała wycieczka trwała $3$ godziny.

$$20\%\ \text{z}\ 350=\frac{20}{100}\cdot350=0{,}2\cdot350=70$$

Odpowiedź: B. Skrót: $10\%$ to $35$, więc $20\%$ to dwa razy tyle.

Aby zamienić ułamek na procent, mnożymy przez $100\%$:

$$0{,}07\cdot100\%=7\%$$

Odpowiedź: D.

Metoda 1 — z proporcji. Jeśli $15\%$ to $45$, to $1\%$ to:

$$45:15=3$$

Zatem $100\%$ to $3\cdot100=300$.

Metoda 2 — z równania: $0{,}15\cdot a=45$, więc $a=\frac{45}{0{,}15}=300$.

Odpowiedź: $300$.

Sprawdzenie: $15\%$ z $300$ to $45$. ✔

$$\frac{30}{120}=\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: C. Dzielimy część przez całość, a wynik zamieniamy na procent.

Metoda ze wskaźnikiem zmiany:

$$c_{\text{po}}=240\cdot(1+0{,}15)=240\cdot1{,}15=276\ \text{zł}$$

Alternatywnie: kwota podwyżki to $15\%$ z $240=36$ zł, więc nowa cena to $240+36=276$ zł.

Odpowiedź: $276$ zł.

Po obniżce o $30\%$ płacimy $70\%$ ceny:

$$180\cdot0{,}7=126\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $126$ zł.

Sprawdzenie: obniżka wynosi $180-126=54$ zł, a $\frac{54}{180}=0{,}3=30\%$. ✔

Cena po obniżce stanowi $80\%$ ceny początkowej:

$$0{,}8x=48 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{48}{0{,}8}=60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: A.

Pułapka: dodanie $20\%$ do $48$ daje błędne $57{,}60$ zł (odpowiedź B) — procent liczymy od ceny początkowej, nie od obniżonej.

Krok 1 — pierwsza obniżka:

$$200\cdot0{,}9=180\ \text{zł}$$

Krok 2 — druga obniżka, liczona od nowej ceny:

$$180\cdot0{,}9=162\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie. Jedna obniżka o $20\%$ dałaby:

$$200\cdot0{,}8=160\ \text{zł}$$

Odpowiedź: towar kosztuje $162$ zł — to nie to samo co obniżka o $20\%$.

Dlaczego: druga obniżka liczona jest od mniejszej kwoty, więc łączna obniżka to $19\%$, a nie $20\%$.

$$c_{\text{brutto}}=350\cdot1{,}23=430{,}50\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: kwota VAT to $0{,}23\cdot350=80{,}50$ zł, a $350+80{,}50=430{,}50$ zł. ✔

Odpowiedź: $430{,}50$ zł.

$$1{,}5\cdot40=60$$

Odpowiedź: C. Procent większy od $100$ jest zupełnie poprawny — oznacza więcej niż całość.

Krok 1 — liczba dziewczynek:

$$0{,}6\cdot25=15$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$25-15=10$$

Alternatywnie: chłopcy to $40\%$ klasy, czyli $0{,}4\cdot25=10$.

Odpowiedź: $10$ chłopców.

Krok 1 — procent śliwek:

$$100\%-45\%-30\%=25\%$$

Krok 2 — liczba śliwek:

$$0{,}25\cdot80=20$$

Odpowiedź: $20$ śliwek.

Sprawdzenie: jabłek $36$, gruszek $24$, śliwek $20$; razem $80$. ✔

$25\%=\frac{25}{100}=\frac14=0{,}25$.

Liczba $2{,}5$ to $250\%$ — dziesięć razy za dużo.

Odpowiedź: B. To typowy błąd przy zamianie procentu na ułamek: dzielimy przez $100$, a nie przez $10$.

Krok 1 — kwota podwyżki:

$$920-800=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — jaki to procent ceny początkowej:

$$\frac{120}{800}=0{,}15=15\%$$

Odpowiedź: cena wzrosła o $15\%$.

Uwaga: zmianę procentową liczymy zawsze względem wartości początkowej.

Krok 1 — jaki to procent całości. Pełny kąt to $360^\circ$:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=0{,}2=20\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

$$0{,}2\cdot200=40$$

Odpowiedź: $40$ uczniów.

$$\frac{1}{100}\cdot2\,500=25$$

Odpowiedź: D. Aby obliczyć $1\%$, wystarczy podzielić liczbę przez $100$.

Krok 1 — odsetki za rok:

$$0{,}04\cdot2\,000=80\ \text{zł}$$

Krok 2 — kapitał końcowy:

$$2\,000+80=2\,080\ \text{zł}$$

Skrótowo: $2\,000\cdot1{,}04=2\,080$ zł.

Odpowiedź: $2\,080$ zł.

$$\frac{18}{24}=\frac{3}{4}=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: $75\%$.

Wskazówka: ułamek warto najpierw skrócić — rachunki stają się prostsze.

Krok 1 — cena początkowa. Po obniżce płacimy $75\%$ ceny:

$$0{,}75x=1\,200 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1\,200}{0{,}75}=1\,600\ \text{zł}$$

Krok 2 — kwota obniżki:

$$1\,600-1\,200=400\ \text{zł}$$

Odpowiedź: cena początkowa $1\,600$ zł, obniżka $400$ zł.

Sprawdzenie: $\frac{400}{1\,600}=0{,}25=25\%$. ✔

Obecna liczba stanowi $110\%$ liczby sprzed roku:

$$1{,}1x=400$$

$$x=\frac{400}{1{,}1}=\frac{4000}{11}\approx363{,}6$$

Ponieważ liczba uczniów musi być całkowita, przyjmujemy $x\approx364$.

Odpowiedź: około $364$ uczniów.

Uwaga na pułapkę: odjęcie $10\%$ od $400$ (czyli $360$) byłoby błędne — wzrost liczono od liczby sprzed roku, a nie od obecnej.