Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:
$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$
$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$
Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.
Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.
Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.
$$P_{\text{prostokąt}}=a\cdot b,\qquad P_{\text{kwadrat}}=a^2$$
$$P_{\text{równoległobok}}=a\cdot h,\qquad P_{\text{trójkąt}}=\frac{1}{2}a\cdot h$$
$$P_{\text{trapez}}=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad P_{\text{romb}}=\frac{e\cdot f}{2}$$
Wysokość musi odpowiadać tej samej podstawie, którą wybraliśmy. W jednym trójkącie są trzy pary podstawa–wysokość i każda daje ten sam wynik pola.
Trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$: $P=\frac12\cdot8\cdot5=20$.
Trapez o podstawach $10$ i $6$ oraz wysokości $4$: $P=\frac{16}{2}\cdot4=32$.
Romb o przekątnych $6$ i $8$: $P=\frac{48}{2}=24$.
W równoległoboku $h$ to wysokość, a nie długość drugiego boku. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może padać poza trójkąt — to nadal poprawna wysokość, opuszczamy ją wtedy na przedłużenie boku.
Przy jednakowych mianownikach działamy tylko na licznikach:
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika (najwygodniej do $\mathrm{NWW}$):
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
Warto skracać przed mnożeniem — rachunki są prostsze.
Mnożymy przez odwrotność dzielnika:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Przykład: $\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78$.
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Zwrot „$\frac25$ z $45$” oznacza mnożenie: $\frac25\cdot45=18$.
Przy dodawaniu nie sumujemy mianowników — $\frac12+\frac13\ne\frac25$. Liczby mieszane przed mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe. W wyrażeniach z kilkoma działaniami obowiązuje zwykła kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:
$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$
Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:
$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:
$$7-(-3)=7+3=10$$
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.
Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:
$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$
$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.
Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.
Graniastosłup prosty ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami. Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$, krawędzi $3n$, wierzchołków $2n$. Prostopadłościan ($n=4$): $6$ ścian, $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków.
$$V=P_p\cdot H$$
Szczególne przypadki:
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c,\qquad V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Dla sześcianu: $P_c=6a^2$.
To rozłożona na płaszczyźnie powierzchnia bryły. Siatka sześcianu składa się z sześciu jednakowych kwadratów; siatka graniastosłupa — z dwóch podstaw i prostokąta o długości równej obwodowi podstawy.
$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$$
Nie myl objętości z polem powierzchni — dla sześcianu o krawędzi $4$ objętość wynosi $64$, a pole $96$. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi: $1\ \text{dm}=10\ \text{cm}$, ale $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$
$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$
Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.
$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$
To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.
Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.
To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.
Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.
To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Dla podstawy o $n$ bokach:
Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.
Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$
Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.
$$V=P_p\cdot H$$
Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.
$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$
$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$
Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.
Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.
Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.
Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.
$$P_{\text{równoległoboku}}=a\cdot h$$
$$P_{\text{trójkąta}}=\frac{a\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{rombu}}=a\cdot h=\frac{e\cdot f}{2}$$
Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Każdy z nich ma więc połowę pola — stąd $\frac{a h}{2}$ we wzorze na trójkąt.
Podobnie romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach równych jego przekątnym i zajmuje połowę jego pola — stąd $\frac{e f}{2}$.
We wzorach występuje wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy. W równoległoboku wysokość jest zawsze krótsza od drugiego boku (chyba że figura jest prostokątem). Podstawienie boku zamiast wysokości to najczęstszy błąd w tym dziale.
Gdy dane są bok i wysokość — używamy $a\cdot h$. Gdy dane są przekątne — $\frac{e f}{2}$. Oba dają ten sam wynik, ale każdy wymaga innych danych.
Przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc pole to po prostu połowa ich iloczynu. Dla przyprostokątnych $5$ i $12$ pole wynosi $30$.
$$h=\frac{2P}{a} \ \text{(trójkąt)},\qquad a=\frac{P}{h} \ \text{(równoległobok)}$$
$$a+b=\frac{2P}{h} \ \text{(trapez)},\qquad f=\frac{2P}{e} \ \text{(romb)}$$
W trójkącie, trapezie i rombie pamiętaj o mnożeniu przez $2$ — to najczęściej gubiony element.
Figurę dzielimy na znane kształty i dodajemy pola, albo uzupełniamy do prostokąta i odejmujemy nadmiar. Wybieramy sposób dający mniej rachunków.
Trapez o podstawach $a$ i $b$ ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie $a+b$ i tej samej wysokości — oba wzory sprowadzają się do tego samego rachunku.
Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych. Przy trójkącie i trapezie łatwo zapomnieć o dzieleniu przez $2$ — warto na koniec sprawdzić, czy wynik nie jest podejrzanie duży.
Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.
Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.
Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.
Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:
$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$
Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.
$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$
Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.
$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$
$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.
Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.
Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne i zero:
$$\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots$$
Na osi liczbowej rozmieszczone są w równych odstępach — ujemne po lewej od zera, dodatnie po prawej.
Zasada jest prosta: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.
$$-7\lt -3\lt 0\lt 2\lt 5$$
Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż intuicja podpowiada: $-7$ jest mniejsze od $-3$, choć „siódemka jest większa od trójki”. Decyduje położenie na osi, a nie sama cyfra.
To odległość liczby od zera — zawsze nieujemna:
$$|{-6}|=6,\qquad |6|=6,\qquad |0|=0$$
Dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w tej samej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.
Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma zawsze wynosi zero:
$$a+(-a)=0$$
Nie myl z liczbą odwrotną — odwrotnością $5$ jest $\frac15$, a liczbą przeciwną $-5$.
Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, odejmowanie — w lewo:
$$-3+5=2,\qquad -3-5=-8$$
Gdy znaki są różne, odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większym module: $-7+12=5$, bo $12>7$ i dwunastka jest dodatnia.
$$a-(-b)=a+b$$
Dwa minusy dają plus. Przykład: $3-(-5)=8$ — to właśnie odległość między $3$ a $-5$ na osi liczbowej.
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Jednakowe znaki dają plus, różne — minus. Ta sama reguła obowiązuje przy dzieleniu.
Liczb całkowitych ściśle między $a$ i $b$ jest $b-a-1$. Między $-4$ a $3$ mamy $3-(-4)-1=6$ liczb: $-3,-2,-1,0,1,2$. Zera nie wolno pominąć.
Temperatury poniżej zera, poziomy w budynku, stan konta, wysokość względem poziomu morza. Dług $150$ zł zapisujemy jako $-150$ — i wtedy „większy dług” to mniejsza liczba.
Trzy typowe błędy: uznanie $-5>-2$, pomylenie liczby przeciwnej z odwrotną oraz pominięcie zera przy zliczaniu liczb w przedziale.
Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.
Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.
Szukamy parami, zaczynając od $1$:
$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$
Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.
Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.
Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:
$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$
W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.
NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.
Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.
Praktyczna zależność:
$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.
NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.
Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, sprowadzamy je najpierw do wspólnego mianownika.
Rozszerzamy ułamki tak, by miały ten sam mianownik, np. $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ oraz $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
Otrzymany ułamek w razie potrzeby skracamy do postaci nieskracalnej.
Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
Odwrotność ułamka $\frac{a}{b}$ to $\frac{b}{a}$ — zamieniamy licznik z mianownikiem.
$$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$
Odwracamy tylko dzielnik (drugi ułamek), a nie dzielną.
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
$$2+3\cdot2^2=2+3\cdot4=2+12=14$$
Nawiasy zmieniają kolejność: $(2+3)^2=5^2=25$.
Potęgę obliczamy przed mnożeniem: w $3\cdot2^2$ najpierw $2^2=4$.
Iloczyn i iloraz liczb o tych samych znakach są dodatnie, a o różnych znakach — ujemne.
$$(-3)\cdot(-4)=12,\qquad (-3)\cdot4=-12$$
$$(-12):(-3)=4,\qquad 12:(-3)=-4$$
Iloczyn z zerem jest zerem, a przez zero nie dzielimy.
Stosujemy tę samą kolejność co dla liczb naturalnych: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
$$2{,}5+0{,}5\cdot4=2{,}5+2=4{,}5$$
Działania w nawiasach wykonujemy najpierw: $(1{,}2+0{,}8)\cdot3=2\cdot3=6$.
Pilnuj przecinka i kolejności — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.
Nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie — także dla ułamków zwykłych.
Do dodawania i odejmowania sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Pisemnie wykonujemy dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, podpisując liczby zgodnie z pozycjami cyfr.
Mnożymy przez kolejne cyfry drugiego czynnika i sumujemy odpowiednio przesunięte wyniki częściowe.
Dzielimy od najwyższego rzędu, zapisując kolejne cyfry ilorazu oraz reszty.
Dzielenie sprawdzamy mnożeniem: iloraz razy dzielnik plus reszta daje dzielną.
Aby podzielić przez ułamek dziesiętny, przesuwamy przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, i o tyle samo miejsc w dzielnej.
$$4{,}5:0{,}5=45:5=9$$
Dzieląc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo: $3{,}5:10=0{,}35$.
Przecinek przesuwamy o tyle samo miejsc w obu liczbach.
Mnożymy jak liczby naturalne (pomijając przecinki), a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile mają łącznie oba czynniki.
$$0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06$$ — razem dwa miejsca po przecinku.
Mnożąc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo: $2{,}5\cdot10=25$.
Policz miejsca po przecinku w obu czynnikach i tyle odlicz w wyniku.
$a^n$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem.
$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81,\qquad 10^3=1000$$
$10^n$ to jedynka z $n$ zerami: $10^2=100$, $10^4=10000$.
$a^2$ nazywamy kwadratem, a $a^3$ sześcianem liczby.
Szacowanie daje przybliżony wynik, którym sprawdzamy sensowność dokładnych obliczeń.
Zaokrąglamy liczby do wygodnych wartości, np. $198+403\approx200+400=600$.
$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000$$
Gdy dokładny wynik mocno różni się od oszacowania, warto sprawdzić rachunki.
Ułamek liczby to jej część. Aby obliczyć $\frac{a}{b}$ z liczby, dzielimy ją przez $b$ i mnożymy przez $a$.
$$\frac{2}{3}\ \text{z}\ 12 = 12:3\cdot2 = 8$$
Obliczenie ułamka liczby to mnożenie: $\frac{2}{3}\cdot12=8$.
Tak liczymy część kwoty, długości czy liczby przedmiotów.
Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.
$$\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad \frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \frac{1}{5}=0{,}2$$
Czasem wygodnie rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ lub $100$: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75$.
Niektóre ułamki dają rozwinięcie nieskończone okresowe, np. $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki.
Przykład: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$.
Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność dzielnika.
Przykład: $\frac{4}{7}:\frac{2}{3}=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}$.
Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu — odejmujemy.
Przykład: $3^4\cdot3^2=3^6=729$, $5^7:5^5=5^2=25$.
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Warto skrócić „na krzyż” przed mnożeniem.
Przykład: $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$.
Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.
Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.
Aby obliczyć część liczby, mnożymy tę liczbę przez ułamek.
Przykład: $\frac{3}{4}$ z 60 to $\frac{3}{4}\cdot 60=45$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ścian ma prostopadłościan?
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $4$ cm, $5$ cm i $6$ cm.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $3$ cm.
Ile litrów to $5000$ cm$^3$?
Ile ścian bocznych ma graniastosłup o podstawie pięciokąta?
Z ilu kwadratów składa się siatka sześcianu?
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $18$ cm$^2$ i wysokości $7$ cm.
Akwarium ma wymiary $50$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?
Ile krawędzi ma graniastosłup trójkątny?
Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Ile metrów sześciennych to $2\,500\,000$ cm$^3$?
Objętość prostopadłościanu wynosi $180$ cm$^3$, a pole podstawy $30$ cm$^2$. Oblicz jego wysokość.
Sześcian ma objętość $64$ cm$^3$. Oblicz długość jego krawędzi.
Ściany boczne graniastosłupa prostego są:
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $20$ cm, $15$ cm i $10$ cm. Ile centymetrów kwadratowych kartonu potrzeba na jego wykonanie (bez zakładek)?
Krawędź sześcianu podwojono. Ile razy wzrosła jego objętość?
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $25$ m, $10$ m i głębokości $2$ m. Ile metrów sześciennych wody mieści?
Graniastosłup ma podstawę w kształcie trójkąta o polu $12$ cm$^2$. Jego objętość wynosi $96$ cm$^3$. Oblicz wysokość graniastosłupa.
Do prostopadłościennego pojemnika o wymiarach $30$ cm, $20$ cm i $25$ cm wlano $9$ litrów wody. Na jaką wysokość sięga woda?
Z sześcianu o krawędzi $6$ cm wycięto sześcian o krawędzi $2$ cm. Oblicz objętość pozostałej bryły i podaj, jaką część objętości pierwotnej ona stanowi.
Oblicz $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.
Oblicz $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$.
Oblicz $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}$.
Oblicz $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}$.
Oblicz $\frac{2}{5}$ z liczby $45$.
Oblicz $1\frac{1}{2}\cdot 2$.
Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ oraz $\left(\frac{1}{2}\right)^3$.
Oblicz, zachowując kolejność działań: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}$.
Ania zjadła $\frac{1}{4}$ pizzy, a Bartek $\frac{1}{3}$. Jaka część pizzy została?
Odwrotnością liczby $\frac{4}{7}$ jest:
Skróć ułamek $\frac{36}{48}$ do postaci nieskracalnej.
Z beczki o pojemności $60$ litrów zużyto najpierw $\frac{1}{3}$, a potem $\frac{1}{4}$ pozostałej wody. Ile litrów zostało?
Która liczba jest większa: $\frac{5}{8}$ czy $\frac{2}{3}$?
Zamień $3\frac{2}{5}$ na ułamek niewłaściwy, a $\frac{17}{4}$ na liczbę mieszaną.
Oblicz $2\frac{1}{3}+1\frac{1}{2}$.
Ile wynosi $\frac{3}{7}$ podzielone przez $3$?
Wstążka ma długość $\frac{7}{8}$ metra. Pocięto ją na kawałki po $\frac{1}{8}$ metra. Ile powstało kawałków?
Uporządkuj rosnąco: $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{10}$.
Prostokąt ma wymiary $\frac{3}{4}$ m i $\frac{2}{3}$ m. Oblicz jego pole i obwód.
W klasie $\frac{2}{5}$ uczniów to dziewczynki, a chłopców jest $18$. Ilu uczniów liczy klasa?
Oblicz $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$.
Oblicz $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$.
Oblicz $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$.
Oblicz $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}$.
Oblicz $\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}$, skracając po drodze.
Oblicz $\frac{3}{5}:\frac{2}{7}$.
Oblicz $\frac{5}{6}:\frac{5}{12}$.
Oblicz $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$.
Ile wynosi $\frac{3}{4}$ z liczby $20$?
Oblicz $2\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}$.
Który ułamek jest największy?
Oblicz $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}+\frac{1}{5}$.
Z $\frac{5}{6}$ metra wstążki odcięto $\frac{1}{3}$ metra. Ile wstążki zostało?
Oblicz $\frac{7}{8}-\frac{1}{2}$.
Oblicz $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right):\frac{5}{6}$.
Odwrotnością ułamka $\frac{3}{7}$ jest:
Uczeń przeczytał $\frac{2}{5}$ książki pierwszego dnia i $\frac{1}{3}$ drugiego. Jaką część książki przeczytał, a ile zostało?
Oblicz $1\frac{1}{2}+2\frac{2}{3}$.
Przepis wymaga $\frac{3}{4}$ szklanki mąki na porcję. Ile szklanek potrzeba na $3$ porcje?
Oblicz $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}+\frac{5}{6}:\frac{5}{3}$.
Ile ścian ma graniastosłup prosty o podstawie trójkąta?
Ile wierzchołków i ile krawędzi ma graniastosłup prosty o podstawie sześciokąta?
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi $5$ cm wynosi:
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $6$ cm, $3$ cm i $2$ cm.
Z ilu prostokątów składa się siatka graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu (nie licząc podstaw)?
Graniastosłup ma podstawę o polu $12$ cm$^2$ i wysokość $7$ cm. Oblicz jego objętość.
Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $8$ cm, $5$ cm i $3$ cm.
Objętość sześcianu wynosi $27$ cm$^3$. Ile ma jego krawędź?
Graniastosłup prosty ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm oraz wysokość $10$ cm. Oblicz objętość.
Ile litrów mieści pojemnik w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $20$ cm, $10$ cm i $5$ cm?
Prostopadłościan o podstawie kwadratu $4$ cm $\times$ $4$ cm ma objętość $80$ cm$^3$. Oblicz jego wysokość.
Ile centymetrów drutu potrzeba na model sześcianu o krawędzi $6$ cm (sam szkielet, bez ścian)?
Który zestaw wymiarów daje prostopadłościan o objętości $48$ cm$^3$?
Graniastosłup prosty ma podstawę prostokąta $5$ cm $\times$ $2$ cm i wysokość $9$ cm. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Ile decymetrów sześciennych to $5000$ cm$^3$?
Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $60$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody zmieści się, jeśli napełnimy je do $\frac34$ wysokości?
Ile kostek sześciennych o krawędzi $2$ cm zmieści się w pudełku o wymiarach $10$ cm, $8$ cm i $6$ cm?
Pudełko w kształcie sześcianu o krawędzi $10$ cm trzeba okleić papierem. Ile centymetrów kwadratowych papieru potrzeba, jeśli oklejamy wszystkie ściany i dokładamy $10\%$ na zakładki?
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $25$ m $\times$ $10$ m i głębokości $2$ m. Kran napełnia go z prędkością $50$ m$^3$ na godzinę. Ile godzin potrwa napełnianie?
Która z podanych liczb jest najmniejsza?
Oblicz: $-8+15$.
Oblicz: $-6-9$.
Oblicz: $(-4)\cdot(-5)$.
Oblicz: $(-36):(-4)$.
Ile wynosi $|-12|$?
Uporządkuj rosnąco liczby: $-5$, $3$, $-12$, $0$, $-1$.
Rano termometr wskazywał $-7$ stopni Celsjusza. W ciągu dnia temperatura wzrosła o $12$ stopni. Jaka temperatura była po południu?
Oblicz: $(-2)\cdot(-3)\cdot(-1)$.
Winda ruszyła z parteru (poziom $0$), zjechała $3$ poziomy w dół, a następnie wjechała $5$ poziomów w górę. Na którym poziomie się zatrzymała?
Liczbą przeciwną do $-15$ jest:
Oblicz: $-20+8-5$.
Na koncie bankowym pani Ewy widniał stan $-120$ zł (debet). Pani Ewa wpłaciła $200$ zł. Jaki jest teraz stan konta?
Ile liczb całkowitych leży na osi liczbowej pomiędzy $-4$ a $3$ (bez tych dwóch liczb)?
Oblicz: $(-5)\cdot6+40$.
We Wrocławiu było $-3$ stopnie Celsjusza, a w Zakopanem $-11$ stopni Celsjusza. O ile stopni cieplej było we Wrocławiu?
Które z podanych działań daje wynik dodatni?
Nurek znajdował się na głębokości $18$ metrów pod powierzchnią wody, czyli na poziomie $-18$ m. Wynurzył się o $7$ metrów. Na jakim poziomie jest teraz?
Oblicz: $(-48):6+(-2)\cdot(-3)$.
W kolejnych pięciu dniach stycznia zanotowano temperatury: $-2$, $-5$, $0$, $3$, $-1$ stopnie Celsjusza. Oblicz średnią temperaturę z tych pięciu dni.
Która liczba jest większa: $-5$ czy $-2$?
Ustaw w kolejności rosnącej: $3$, $-7$, $0$, $-1$, $5$.
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $20$.
Jaka liczba leży na osi w połowie między $-6$ a $2$?
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $6$.
Liczbą przeciwną do $-9$ jest:
Temperatura wynosiła $-3^\circ$C, potem spadła o $5$ stopni. Jaka jest teraz? Zaznacz drogę na osi liczbowej.
Ile liczb całkowitych leży między $-4$ a $3$ (bez tych krańców)?
Która liczba jest jednocześnie dzielnikiem $12$ i wielokrotnością $3$?
Oblicz $-7+12$ oraz $4-9$.
Ile wynosi $|-15|$?
Winda ruszyła z poziomu $-2$ (parking podziemny), wjechała o $7$ pięter w górę, a potem zjechała o $3$. Na którym poziomie się zatrzymała?
Ile dzielników ma liczba $24$? Wypisz je.
Która liczba całkowita leży najbliżej zera?
Wypisz wszystkie wspólne dzielniki liczb $18$ i $24$. Który jest największy?
Ile wynosi $-6\cdot(-4)$?
W ciągu tygodnia temperatury o poranku wynosiły: $-2$, $1$, $-5$, $0$, $3$, $-1$, $-3$ stopni. Podaj temperaturę najwyższą i najniższą oraz oblicz różnicę między nimi.
Jaka liczba jest o $6$ mniejsza od $-2$? A jaka jest o $6$ mniejsza od $4$? Porównaj obie odpowiedzi.
Znajdź wszystkie liczby całkowite $x$ spełniające warunek $|x|\lt 4$.
Dług Adama wynosi $150$ zł, a Basi $90$ zł. Zapisz oba stany konta jako liczby całkowite. O ile dług Adama jest większy? Ile łącznie muszą oddać?
Oblicz $5+2\cdot3^2$.
Oblicz $234\cdot7$ sposobem pisemnym.
Ile wynosi $2^5$?
Oblicz $100-(4+3\cdot6)$.
Oszacuj wynik działania $312+489$, zaokrąglając składniki do pełnych setek.
Ile wynosi $10^4$?
Oblicz $840:8$ sposobem pisemnym.
Oblicz $(15-3)\cdot2+4^2$.
Które działanie ma najwyższy priorytet (wykonujemy je jako pierwsze)?
W magazynie było $1250$ butelek. Dostarczono $18$ zgrzewek po $12$ butelek. Ile butelek jest teraz?
Oblicz $2^3+3^2$.
Oblicz $72:8+5\cdot4-6$.
Oszacuj iloczyn $19\cdot21$, zaokrąglając czynniki do pełnych dziesiątek.
Oblicz $2\cdot(3+4)^2$.
Oblicz $1000-3\cdot(120+80)$.
Ile wynosi $5^3$?
Bilet do kina kosztuje $24$ zł. Ile zapłaci grupa $35$ osób? Najpierw oszacuj wynik, potem policz dokładnie.
Oblicz $3^2\cdot2^3$.
Do szkoły zamówiono $12$ paczek po $500$ kartek i $8$ paczek po $250$ kartek. Ile kartek zamówiono łącznie?
Oblicz $2^4+3\cdot(10-2^3)$.
Oblicz $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}$.
Oblicz $\frac{3}{4}$ z liczby $20$.
Oblicz $\frac{4}{5}:\frac{2}{3}$.
Ile wynosi $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}$?
Oblicz $\frac{2}{7}\cdot14$.
Odwrotnością ułamka $\frac{3}{8}$ jest:
Oblicz $\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{10}$, skracając przed mnożeniem.
Oblicz $6:\frac{2}{3}$ i wyjaśnij, dlaczego wynik jest większy od $6$.
Ile wynosi $\frac{1}{4}$ z $\frac{1}{2}$?
Oblicz $2\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}$.
Ile wynosi $\frac{3}{5}:3$?
W klasie jest $28$ uczniów. $\frac{3}{7}$ z nich to dziewczęta. Ilu jest chłopców?
Oblicz $\frac{7}{8}:\frac{7}{4}$.
Ile wynosi $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}$?
Oblicz $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}$.
Ile razy $\frac{1}{4}$ mieści się w $2$?
Z $\frac{3}{4}$ kilograma mąki upieczono ciasto. Zużyto $\frac{2}{3}$ tej ilości. Ile kilogramów mąki zużyto i ile zostało?
Wstążka ma $\frac{9}{10}$ metra. Pocięto ją na kawałki po $\frac{3}{20}$ metra. Ile kawałków otrzymano?
Prostokątna działka ma wymiary $\frac{4}{5}$ km na $\frac{5}{8}$ km. Oblicz jej pole w kilometrach kwadratowych.
Zbiornik napełniono do $\frac{2}{5}$ pojemności, co odpowiada $60$ litrom. Ile litrów mieści cały zbiornik i ile brakuje do pełna?
Oblicz $2{,}5\cdot4$.
Oblicz $0{,}3\cdot0{,}4$.
Oblicz $7{,}2:0{,}8$.
Ile wynosi $3{,}45\cdot100$?
Zamień ułamek $\frac{3}{8}$ na ułamek dziesiętny.
Ile wynosi $46{,}8:10$?
Oblicz $1{,}25\cdot0{,}8$.
Oblicz $9:0{,}25$ i wyjaśnij, dlaczego wynik jest większy od $9$.
Zamień $\frac{1}{3}$ na ułamek dziesiętny.
Za $1$ kg jabłek płacimy $4{,}80$ zł. Ile zapłacimy za $2{,}5$ kg?
Ile wynosi $0{,}5\cdot0{,}5$?
Oblicz $12{,}6:0{,}3$.
Zamień na ułamki dziesiętne: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{20}$.
Ile wynosi $0{,}06\cdot1000$?
Oblicz $2+0{,}5\cdot4$.
Ile wynosi $8:0{,}5$?
Kierowca zatankował $38{,}5$ litra paliwa po $6{,}40$ zł za litr. Ile zapłacił? Ile reszty dostanie z $300$ zł?
Wstążkę o długości $7{,}5$ m pocięto na kawałki po $0{,}6$ m. Ile kawałków otrzymano i czy coś zostało?
Prostokątna działka ma wymiary $12{,}5$ m na $8{,}4$ m. Oblicz jej pole i obwód.
Sklep sprzedaje ser po $32{,}50$ zł za kilogram. Klient kupił kawałek o masie $0{,}35$ kg. Ile zapłacił? Zaokrąglij wynik do pełnych groszy i oszacuj go przed obliczeniem.
Czy liczba $1\,476$ dzieli się przez $9$?
Sprawdź, przez które z liczb $2$, $3$, $5$, $9$, $10$ dzieli się liczba $2\,340$.
Która z liczb dzieli się przez $4$?
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $60$ i $84$.
Korzystając z rozkładów z poprzedniego zadania, oblicz $\mathrm{NWD}(60,84)$ oraz $\mathrm{NWW}(60,84)$.
Która liczba jest pierwsza?
Ania ma $24$ cukierki, a Bartek $36$. Chcą je rozdzielić na jednakowe paczki tak, by paczek było jak najmniej, a cukierki się nie mieszały. Ile cukierków będzie w paczce?
Jeden autobus odjeżdża co $12$ minut, drugi co $18$ minut. Odjechały razem o godzinie $8:00$. O której odjadą znowu jednocześnie?
Liczba dzieli się przez $6$ wtedy, gdy:
Ile dzielników ma liczba $12$? Wypisz je wszystkie.
Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od $30$.
Jeśli $\mathrm{NWD}(a,b)=1$, to liczby $a$ i $b$ nazywamy:
Zastąp gwiazdkę cyfrą tak, aby liczba $23{*}$ dzieliła się przez $3$. Podaj wszystkie możliwości.
Oblicz $\mathrm{NWD}(18,24,30)$.
Prostokątną podłogę o wymiarach $180$ cm na $240$ cm chcemy wyłożyć jednakowymi kwadratowymi płytkami bez docinania. Jaki największy bok może mieć płytka i ile ich potrzeba?
Ile wynosi $\mathrm{NWW}(4,6)$?
Uzasadnij, że liczba $2\,345$ nie dzieli się przez $9$, choć dzieli się przez $5$.
Liczba ma rozkład $2^3\cdot3\cdot5$. Oblicz tę liczbę i sprawdź, przez które z liczb $2,3,4,5,6,9,10$ się dzieli.
Trzy dzwony biją odpowiednio co $6$, $8$ i $12$ sekund. Zabrzmiały razem. Po ilu sekundach zabrzmią razem ponownie?
Uczniowie klasy mogą ustawić się w rzędach po $4$, po $5$ i po $6$ osób, za każdym razem bez reszty. Klasa liczy mniej niż $70$ osób. Ilu jest uczniów?
Która liczba dzieli się przez $3$?
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $18$.
Rozłóż liczbę $60$ na czynniki pierwsze.
Która liczba jest pierwsza?
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $7$.
Która liczba dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $5$?
Oblicz NWD$(24,\,36)$.
Oblicz NWW$(6,\,8)$.
Liczba dzieli się przez $9$, gdy:
Ile dzielników ma liczba $36$? Wypisz je.
NWD$(15,\,28)$ wynosi:
Dwa autobusy odjeżdżają z pętli o $8{:}00$. Pierwszy kursuje co $12$ minut, drugi co $18$ minut. O której godzinie znów odjadą razem?
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $84$ i $126$, a następnie oblicz ich NWD.
Ile liczb pierwszych jest mniejszych od $20$?
Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce gwiazdki w liczbie $23{*}$, aby dzieliła się przez $9$?
Która liczba jest złożona?
Mamy $48$ cukierków i $60$ ciastek. Chcemy zapakować je do jednakowych paczek tak, aby w każdej było tyle samo cukierków i tyle samo ciastek, i żeby nic nie zostało. Ile najwięcej paczek można zrobić i co znajdzie się w każdej?
Oblicz NWD$(30,\,45)$ i NWW$(30,\,45)$, a następnie sprawdź, czy iloczyn NWD i NWW równa się iloczynowi tych liczb.
Ogrodnik sadzi drzewa co $6$ metrów, a lampy ustawia co $8$ metrów, zaczynając od tego samego punktu. Po ilu metrach drzewo i lampa znajdą się w tym samym miejscu? Ile takich miejsc będzie na odcinku $100$ metrów?
Liczba $n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, a przy dzieleniu przez $6$ resztę $5$. Znajdź najmniejszą taką liczbę naturalną większą od zera.
Oblicz pole prostokąta o bokach $7$ cm i $4$ cm.
Oblicz pole równoległoboku o podstawie $9$ cm i wysokości $5$ cm.
Oblicz pole trójkąta o podstawie $12$ cm i wysokości $6$ cm.
Wzór na pole trapezu to:
Oblicz pole trapezu o podstawach $8$ cm i $12$ cm oraz wysokości $5$ cm.
Romb ma przekątne o długościach $6$ cm i $8$ cm. Jakie jest jego pole?
Pole trójkąta wynosi $30$ cm$^2$, a jego podstawa ma $10$ cm. Oblicz wysokość tego trójkąta.
Oblicz pole kwadratu o obwodzie $36$ cm.
Ile metrów kwadratowych ma $30\,000$ cm$^2$?
Działka ma kształt prostokąta o wymiarach $25$ m i $16$ m. Oblicz jej pole i podaj wynik w arach (pamiętaj, że $1$ ar $=100$ m$^2$).
Dwa trójkąty mają równe podstawy, ale pierwszy ma wysokość dwa razy większą niż drugi. Jak mają się do siebie ich pola?
Pole równoległoboku wynosi $72$ cm$^2$, a jego wysokość $8$ cm. Oblicz długość podstawy.
Ogród ma kształt trapezu o podstawach $14$ m i $10$ m oraz wysokości $6$ m. Ile kosztuje obsianie go trawą, jeśli za $1$ m$^2$ płacimy $8$ zł?
Kwadrat i prostokąt mają ten sam obwód równy $24$ cm. Prostokąt ma boki $8$ cm i $4$ cm. Która figura ma większe pole?
Oblicz pole figury złożonej z prostokąta o wymiarach $10$ cm i $4$ cm oraz doklejonego do niego trójkąta o podstawie $10$ cm i wysokości $3$ cm.
Z kwadratowej kartki o boku $12$ cm wycięto w środku kwadratowy otwór o boku $5$ cm. Oblicz pole pozostałej części kartki.
Pole rombu wynosi $40$ cm$^2$, a jedna z przekątnych ma $10$ cm. Ile ma druga przekątna?
Pokój ma wymiary $5$ m na $4$ m. Ile paczek paneli trzeba kupić, jeśli jedna paczka wystarcza na $2$ m$^2$?
Trapez ma pole $60$ cm$^2$ i wysokość $8$ cm. Jedna z jego podstaw ma $9$ cm. Oblicz drugą podstawę.
Prostokątna działka ma wymiary $30$ m i $20$ m. Wzdłuż jednego z dłuższych boków wydzielono pas o szerokości $4$ m pod ścieżkę. Oblicz pole ścieżki oraz pole pozostałej części działki i sprawdź, jaką część całości stanowi ścieżka.
Pole trójkąta o podstawie $10$ cm i wysokości $6$ cm wynosi:
Oblicz pole równoległoboku o podstawie $9$ cm i wysokości $4$ cm.
Oblicz pole trapezu o podstawach $8$ cm i $12$ cm oraz wysokości $5$ cm.
Pole rombu o przekątnych $6$ cm i $8$ cm wynosi:
Trójkąt ma pole $28$ cm$^2$ i podstawę $8$ cm. Oblicz jego wysokość.
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $5$ cm i $12$ cm. Jego pole wynosi:
Równoległobok ma pole $54$ cm$^2$ i wysokość $6$ cm. Oblicz długość podstawy.
Trapez ma pole $45$ cm$^2$, wysokość $6$ cm i jedną podstawę $9$ cm. Oblicz drugą podstawę.
Dwa trójkąty mają tę samą podstawę i tę samą wysokość. Ich pola:
Działka ma kształt trapezu o podstawach $30$ m i $20$ m oraz wysokości $16$ m. Ile arów ma ta działka?
Romb o boku $5$ cm i wysokości $4$ cm ma pole:
Oblicz pole figury złożonej z prostokąta $10$ cm $\times$ $6$ cm oraz trójkąta o podstawie $10$ cm i wysokości $4$ cm, doklejonego do górnego boku prostokąta.
Romb ma pole $36$ cm$^2$, a jedna z przekątnych ma $9$ cm. Oblicz drugą przekątną.
Trapez ma podstawy $7$ cm i $13$ cm oraz wysokość $4$ cm. Jego pole to:
Ogród ma kształt równoległoboku o podstawie $25$ m i wysokości $12$ m. Ile kosztuje obsianie go trawą, jeśli metr kwadratowy kosztuje $3$ zł?
Przekątna dzieli równoległobok na:
Z prostokąta $12$ cm $\times$ $8$ cm wycięto trójkąt o podstawie $12$ cm i wysokości $8$ cm. Jakie pole ma pozostała część?
Trapez ma podstawy $14$ cm i $6$ cm oraz wysokość $5$ cm. Oblicz jego pole oraz pole trójkąta o tej samej wysokości i podstawie równej sumie podstaw trapezu. Porównaj wyniki.
Kwadratowa działka o boku $30$ m została podzielona przekątną na dwie części. Jedną obsiano trawą po $2$ zł za metr kwadratowy, drugą wyłożono kostką po $85$ zł za metr kwadratowy. Ile kosztowało zagospodarowanie całej działki?
Figura ma kształt trapezu o podstawach $16$ cm i $10$ cm oraz wysokości $8$ cm. Wycięto z niej romb o przekątnych $6$ cm i $4$ cm. Oblicz pole pozostałej części.
Ile wynosi $3^4$?
Oblicz $2^3+3^2$.
Oszacuj wynik działania $198\cdot21$, zaokrąglając czynniki.
Ile wynosi $2+3\cdot2^2$?
Oblicz $10^3$ i $10^5$. Ile zer ma każda z tych liczb?
Ile wynosi $(2+3)^2$?
Oblicz $50-2\cdot3^2$.
Oszacuj, czy kwota $850$ zł wystarczy na $7$ biletów po $118$ zł. Sprawdź szacunkiem, a potem dokładnym rachunkiem.
Która liczba jest kwadratem liczby naturalnej?
Oblicz $(4^2-3^2)\cdot2$.
Ile wynosi $5^3$?
Oblicz $2^4:2^2$ i porównaj wynik z $2^2$.
Kostka sześcienna ma krawędź $4$ cm. Zapisz jej objętość jako potęgę i oblicz wynik.
Oszacuj wynik działania $4987:5$.
Oblicz $100-(3^2+4^2)$.
Ile wynosi $1^{100}$?
Oblicz $2\cdot(5^2-3\cdot4)+6^2:9$.
Sala ma $19$ rzędów po $23$ miejsca. Oszacuj liczbę miejsc, a następnie oblicz dokładnie. O ile szacunek różni się od wyniku?
Ile ziaren będzie na czwartym polu szachownicy, jeśli na pierwszym kładziemy $1$ ziarno, a na każdym kolejnym dwa razy więcej? A ile na ósmym?
Oblicz $(2^3)^2$ oraz $2^{3}\cdot2^{2}$. Czy wyniki są równe? Wyjaśnij różnicę.
Oblicz $0{,}4\cdot0{,}3$.
Oblicz $2{,}5\cdot1{,}2$.
Oblicz $4{,}8:0{,}6$.
Oblicz $3{,}7\cdot100$.
Oblicz $56{,}4:1000$.
Zamień ułamek $\frac{3}{8}$ na ułamek dziesiętny.
Zamień $0{,}25$ na ułamek zwykły nieskracalny.
Oblicz $7{,}45+2{,}8$.
Oblicz $10-3{,}47$.
Która liczba jest największa?
Oblicz $2{,}5+3{,}2\cdot0{,}5$.
Kilogram sera kosztuje $32{,}40$ zł. Ile zapłacimy za $0{,}25$ kg?
Oblicz $0{,}9:0{,}03$.
Zamień $\frac{7}{20}$ na ułamek dziesiętny dwoma sposobami.
Oblicz $(4{,}5-1{,}8):0{,}9$.
Zaokrąglij $7{,}682$ do części dziesiętnych.
Litr soku kosztuje $6{,}80$ zł. Ile zapłacimy za $2{,}5$ litra?
Uporządkuj rosnąco: $0{,}7$, $\frac34$, $0{,}68$, $\frac{7}{10}$.
Mama kupiła $1{,}5$ kg jabłek po $4{,}20$ zł za kilogram i $0{,}8$ kg gruszek po $6{,}50$ zł za kilogram. Ile zapłaciła i ile reszty dostała ze $20$ zł?
Z beczki zawierającej $45{,}5$ litra wody przelano wodę do butelek o pojemności $0{,}7$ litra. Ile butelek udało się napełnić do pełna i ile wody zostało?
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.