Klasa 4 SP

$$234+567=801$$

Odpowiedź: B.

$$500-127=373$$

Odpowiedź: $373$.

$$345+678=1023$$

Odpowiedź: $1023$.

$$1000-1=999$$

Odpowiedź: A.

$$845-268=577$$

Odpowiedź: $577$.

$200-150=50$, więc $456+50=506$.

Odpowiedź: $506$.

$579$.

Odpowiedź: $579$.

$455$.

Odpowiedź: $455$.

$198$.

Odpowiedź: C.

$1000$.

Odpowiedź: $1000$.

$1000$.

Odpowiedź: $1000$.

$750$.

Odpowiedź: $750$.

$406$.

Odpowiedź: B.

$500$.

Odpowiedź: $500$.

$145+167=312$.

Odpowiedź: $312$.

$999$.

Odpowiedź: $999$.

$500-237+410=673$.

Odpowiedź: $673$ zł.

$997$.

Odpowiedź: $997$.

$1000$.

Odpowiedź: A.

$1250+340-560=1030$.

Odpowiedź: $1030$.

Mnożenie wykonujemy przed dodawaniem:

$$2+12=14$$

Pułapka: licząc po kolei od lewej ($2+3=5$, potem $5\cdot4$) wychodzi $20$ — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: B. $14$.

Mnożymy kolejne cyfry, pamiętając o przeniesieniach:

$$4\cdot6=24 \quad\text{(piszemy }4\text{, przenosimy }2)$$

$$3\cdot6=18,\ +2=20 \quad\text{(piszemy }0\text{, przenosimy }2)$$

$$2\cdot6=12,\ +2=14$$

$$234\cdot6=1404$$

Kontrola z grubsza: $234$ to około $230$, a $230\cdot6=1380$ — wynik jest tego rzędu ✔

Odpowiedź: $1404$.

Dzielimy od najstarszej cyfry:

$$7:4=1 \ \text{r.}\ 3 \quad\to\quad 34:4=8 \ \text{r.}\ 2 \quad\to\quad 28:4=7$$

$$748:4=187$$

Sprawdzenie: $187\cdot4=748$ ✔

Odpowiedź: $187$.

$$47=5\cdot9+2$$

Iloraz to $9$, reszta to $2$.

Zapamiętaj: reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.

Odpowiedź: C. $2$.

Najpierw nawias:

$$(15-7)\cdot3=8\cdot3=24$$

Odpowiedź: $24$.

Środek odcinka na osi to średnia obu liczb:

$$\frac{20+30}{2}=25$$

Sprawdzenie: od $20$ do $25$ jest $5$ i od $25$ do $30$ też $5$ ✔

Odpowiedź: A. $25$.

Krok 1 — nawias:

$$12-7=5$$

Krok 2 — mnożenie:

$$4\cdot5=20$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$100-20=80$$

Odpowiedź: $80$.

Krok 1 — mnożymy przez cyfrę jedności ($5$):

$$128\cdot5=640$$

Krok 2 — mnożymy przez cyfrę dziesiątek ($2$), przesuwając o jedno miejsce:

$$128\cdot20=2560$$

Krok 3 — dodajemy:

$$640+2560=3200$$

Sprytniej: $25=100:4$, więc $128\cdot25=12800:4=3200$ ✔

Odpowiedź: $3200$.

Dzielenie i mnożenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem:

$$6+8=14$$

Odpowiedź: D. $14$.

Dzielimy z resztą:

$$150:8=18 \ \text{r.}\ 6$$

Sprawdzenie: $18\cdot8=144$, a $150-144=6$ ✔

Odpowiedź: $18$ pełnych pudełek, zostanie $6$ cukierków.

Porównujemy cyfrę po cyfrze od lewej. Tysiące wszędzie równe ($4$). W setkach: $9$ w $4901$ kontra $0$ w pozostałych.

$$4901>4099>4090$$

Odpowiedź: B. $4901$.

Krok 1 — w nawiasie najpierw mnożenie:

$$30-20=10$$

Krok 2 — mnożenie i dzielenie:

$$2\cdot10=20,\qquad 18:3=6$$

Krok 3 — dodawanie:

$$20+6=26$$

Odpowiedź: $26$.

Mnożymy pisemnie:

$$27\cdot4=108,\qquad 27\cdot20=540$$

$$108+540=648$$

Kontrola z grubsza: $27\cdot24$ to mniej więcej $27\cdot25=675$ — wynik jest bliski ✔

Odpowiedź: $648$ uczniów.

Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika, więc przy dzieleniu przez $7$ może wynosić $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ lub $6$.

Gdyby wyszła reszta $7$, znaczyłoby to, że można wykonać jeszcze jedno pełne dzielenie.

Odpowiedź: C. $7$.

Krok 1 — koszt biletów:

$$15\cdot23=345\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$400-345=55\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłacą $345$ zł, reszty otrzymają $55$ zł.

Nawias daje zero, a mnożenie przez zero też daje zero:

$$5\cdot0+7=0+7=7$$

Odpowiedź: A. $7$.

Krok 1 — przebyty dystans:

$$3\cdot400=1200\ \text{m}$$

Krok 2 — pozostało:

$$1250-1200=50\ \text{m}$$

Odpowiedź: zostało $50$ m.

Korzystamy ze wzoru na dzielenie z resztą:

$$\text{liczba}=\text{dzielnik}\cdot\text{iloraz}+\text{reszta}$$

$$9\cdot12+5=108+5=113$$

Sprawdzenie: $113:9=12$ reszty $5$ ✔ Reszta $5$ jest mniejsza od dzielnika $9$, więc wynik ma sens.

Odpowiedź: $113$.

Krok 1 — jabłka:

$$6\cdot18=108\ \text{kg}$$

Krok 2 — gruszki:

$$4\cdot25=100\ \text{kg}$$

Krok 3 — razem:

$$108+100=208\ \text{kg}$$

Krok 4 — różnica:

$$108-100=8\ \text{kg}$$

Odpowiedź: łącznie $208$ kg, jabłek jest o $8$ kg więcej.

Krok 1 — dzielenie z resztą:

$$180:52=3 \ \text{r.}\ 24$$

Krok 2 — liczba autokarów. Trzy autokary zabiorą $156$ osób, a $24$ uczniów zostałoby na miejscu — potrzebny jest więc czwarty autokar:

$$3+1=4\ \text{autokary}$$

Krok 3 — wolne miejsca:

$$4\cdot52=208,\qquad 208-180=28$$

Uwaga: w takich zadaniach reszty nie odrzucamy — nawet jedna osoba ponad komplet wymaga dodatkowego autokaru.

Odpowiedź: $4$ autokary, wolnych zostanie $28$ miejsc.

Kąt ostry jest mniejszy od $90^\circ$. Skoro $45^\circ\lt 90^\circ$, kąt jest ostry.

Zestawienie: ostry $\lt 90^\circ$, prosty $=90^\circ$, rozwarty między $90^\circ$ a $180^\circ$, półpełny $=180^\circ$, pełny $=360^\circ$.

Odpowiedź: B. ostrym.

Obwód to suma długości wszystkich boków. Prostokąt ma dwa boki po $7$ cm i dwa po $5$ cm:

$$O=2\cdot7+2\cdot5=14+10=24\ \text{cm}$$

Krótszy zapis: $O=2(a+b)=2\cdot12=24$ cm.

Odpowiedź: $24$ cm.

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków:

$$P=a\cdot b=9\cdot4=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostki: pole podajemy w cm$^2$, a obwód w cm — to dwie różne wielkości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

W każdym trójkącie, niezależnie od jego kształtu, suma kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$.

Zastosowanie: znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Pole — kwadrat ma równe boki:

$$P=a\cdot a=8\cdot8=64\ \text{cm}^2$$

Obwód — cztery jednakowe boki:

$$O=4\cdot8=32\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $64$ cm$^2$, obwód $32$ cm.

Podział ze względu na boki:

• równoboczny — trzy boki równe
• równoramienny — dwa boki równe
• różnoboczny — wszystkie boki różne

Nazwa „prostokątny” dotyczy podziału ze względu na kąty, a nie boki.

Odpowiedź: A. różnobocznym.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj trójkąta. Jeden z kątów ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ciekawostka: trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego — pojawia się w wielu zadaniach.

Odpowiedź: trzeci kąt ma $60^\circ$; trójkąt jest prostokątny.

Krok 1 — długość boku. Kwadrat ma cztery równe boki:

$$a=36:4=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=9\cdot9=81\ \text{cm}^2$$

Kolejność ma znaczenie: pola nie da się policzyć wprost z obwodu — najpierw trzeba wyznaczyć bok.

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81$ cm$^2$.

Symbol $\perp$ oznacza prostopadłość (przecięcie pod kątem $90^\circ$), a $\parallel$ — równoległość.

Jak zapamiętać: znak $\parallel$ to dwie równoległe kreski, a $\perp$ wygląda jak dwie prostopadłe.

Odpowiedź: D. $\perp$.

Krok 1 — drugi bok. Z wzoru $P=a\cdot b$:

$$b=\frac{48}{6}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(6+8)=2\cdot14=28\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $6\cdot8=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $28$ cm.

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, a ich suma wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Długość płotu to obwód:

$$O=2(12+8)=2\cdot20=40\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=12\cdot8=96\ \text{m}^2$$

Rozróżnienie: płot mierzymy wzdłuż brzegu (obwód, metry), a powierzchnię liczymy wewnątrz (pole, metry kwadratowe).

Odpowiedź: $40$ m płotu, powierzchnia $96$ m$^2$.

Kąt półpełny to połowa kąta pełnego:

$$\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$$

Jego ramiona tworzą prostą.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Krok 1 — bok kwadratu. Szukamy liczby, której kwadrat daje $36$:

$$a=6\ \text{cm},\qquad O_{kw}=4\cdot6=24\ \text{cm}$$

Krok 2 — drugi bok prostokąta:

$$36:4=9\ \text{cm},\qquad O_{pr}=2(4+9)=26\ \text{cm}$$

Porównanie: $24\lt 26$, więc kwadrat ma mniejszy obwód.

Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym polu najmniejszy obwód ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: kwadrat $24$ cm, prostokąt $26$ cm — kwadrat ma obwód mniejszy o $2$ cm.

Krok 1 — suma ramion. Odejmujemy podstawę od obwodu:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię. Ramiona są równe, więc dzielimy przez $2$:

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $10+10+12=32$ cm ✔

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Pole kwadratu to bok razy bok:

$$P=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($48$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: A. $144$ cm$^2$.

Krok 1 — powierzchnia podłogi:

$$P=5\cdot4=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$20\cdot45=900\ \text{zł}$$

Odpowiedź: położenie paneli kosztuje $900$ zł.

Pole figury złożonej to suma pól jej części.

Krok 1 — pola prostokątów:

$$P_1=6\cdot4=24\ \text{cm}^2,\qquad P_2=3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — suma:

$$P=24+12=36\ \text{cm}^2$$

Warunek: prostokąty nie mogą na siebie zachodzić — inaczej wspólny fragment policzylibyśmy dwa razy.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

Krok 1 — od obwodu do sumy sąsiednich boków:

$$2(a+b)=30 \quad\Rightarrow\quad a+b=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — wykorzystujemy warunek. Długość to dwie takie same części co szerokość, więc suma to $3$ części:

$$15:3=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — wymiary: szerokość $5$ cm, długość $2\cdot5=10$ cm.

Krok 4 — pole:

$$P=10\cdot5=50\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(10+5)=30$ cm ✔

Odpowiedź: $10$ cm na $5$ cm, pole $50$ cm$^2$.

Krok 1 — pole. Od pola kartki odejmujemy pole wycięcia:

$$P=10\cdot10-3\cdot3=100-9=91\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — obwód. Tu intuicja bywa myląca. Wycięcie w rogu usuwa z brzegu dwa odcinki po $3$ cm, ale dokłada dwa nowe odcinki po $3$ cm (boki wycięcia).

$$O=4\cdot10-2\cdot3+2\cdot3=40\ \text{cm}$$

Wniosek: pole zmalało, ale obwód pozostał taki sam jak przed wycięciem. To dobry przykład na to, że pole i obwód zmieniają się niezależnie.

Odpowiedź: pole $91$ cm$^2$, obwód $40$ cm.

Porównujemy cyfra po cyfrze od lewej. Tysiące wszędzie równe ($3$), więc decydują setki:

$$9>8>0$$

Największa setka jest w $3908$.

Odpowiedź: C. $3908$.

Patrzymy na cyfrę dziesiątek — jest to $3$.

Cyfra mniejsza od $5$, więc zaokrąglamy w dół:

$$4738\approx4700$$

Odpowiedź: $4700$.

Rozkładamy na składniki: $24=20+4$.

$$20=\text{XX},\qquad 4=\text{IV}$$

$$24=\text{XXIV}$$

Zapamiętaj: mniejszy znak przed większym oznacza odejmowanie (IV to $5-1$).

Odpowiedź: XXIV.

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: $2\cdot5=10$ to mnożenie, a nie potęgowanie.

Odpowiedź: B. $32$.

Patrzymy na cyfrę setek — jest to $6$.

Cyfra co najmniej $5$, więc zaokrąglamy w górę:

$$2650\approx3000$$

Odpowiedź: $3000$.

Rozbijamy zapis:

$$\text{XL}=50-10=40,\qquad \text{II}=2$$

$$40+2=42$$

Uwaga: X przed L oznacza odejmowanie. Gdyby było LX, byłoby $60$.

Odpowiedź: D. $42$.

Krok 1 — odległość między liczbami:

$$200-140=60$$

Krok 2 — połowa tej odległości:

$$60:2=30$$

Krok 3 — szukana liczba:

$$140+30=170$$

Sprawdzenie średnią: $\frac{140+200}{2}=170$ ✔

Odpowiedź: $170$.

XIX: $\text{X}=10$, $\text{IX}=9$, razem $19$.

LXXV: $\text{L}=50$, $\text{XX}=20$, $\text{V}=5$, razem $75$.

CDL: $\text{CD}=500-100=400$, $\text{L}=50$, razem $450$.

Odpowiedź: $19$, $75$, $450$.

Potęga dziesiątki ma tyle zer, ile wynosi wykładnik:

$$10^4=10\cdot10\cdot10\cdot10=10\,000$$

Odpowiedź: A. $10\,000$.

Wszystkie mają tę samą cyfrę tysięcy, więc porównujemy setki:

• $2005$ — setki $0$, dziesiątki $0$
• $2050$ — setki $0$, dziesiątki $5$
• $2055$ — setki $0$, dziesiątki $5$, jedności $5$
• $2500$ — setki $5$

$$2005\lt 2050\lt 2055\lt 2500$$

Odpowiedź: $2005$, $2050$, $2055$, $2500$.

Patrzymy na cyfrę jedności — jest to $6$, więc zaokrąglamy w górę:

$$8496\approx8500$$

Uwaga: dziewiątka w rzędzie dziesiątek „przekręca się” na zero i podnosi setki.

Odpowiedź: C. $8500$.

Rozbijamy liczbę na rzędy:

$$47\,306=4\cdot10\,000+7\cdot1000+3\cdot100+0\cdot10+6$$

• cyfra setek: $3$
• cyfra tysięcy: $7$

Odpowiedź: setki $3$, tysiące $7$.

Krok 1 — pierwsza potęga:

$$3^3=3\cdot3\cdot3=27$$

Krok 2 — druga potęga:

$$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$$

Krok 3 — suma:

$$27+16=43$$

Odpowiedź: $43$.

W zapisie rzymskim znak I można powtórzyć najwyżej trzy razy. Liczbę $4$ zapisujemy jako IV, a nie IIII.

Pozostałe są poprawne: XIV $=14$, XC $=90$, MCM $=1900$.

Odpowiedź: B. IIII.

Największa — ustawiamy cyfry malejąco:

$$7530$$

Najmniejsza — ustawiamy rosnąco, ale zero nie może stać na początku (byłaby to liczba trzycyfrowa). Na pierwszym miejscu dajemy więc najmniejszą niezerową cyfrę, czyli $3$, a zero na drugie miejsce:

$$3057$$

Odpowiedź: najmniejsza $3057$, największa $7530$.

Wypisujemy: $48$, $49$, $50$, $51$, $52$ — pięć liczb.

Sprawdzenie wzorem: $53-47-1=5$ ✔

Odpowiedź: D. $5$.

Do dziesiątek — patrzymy na jedności ($8$, w górę):

$$16\,750$$

Do setek — patrzymy na dziesiątki oryginału ($4$, w dół):

$$16\,700$$

Do tysięcy — patrzymy na setki oryginału ($7$, w górę):

$$17\,000$$

Ważna zasada: każde zaokrąglenie wykonujemy na liczbie pierwotnej, nie na wyniku poprzedniego. Zaokrąglając kolejno wynik, dostalibyśmy do setek $16\,800$ — wartość błędną.

Odpowiedź: $16\,750$, $16\,700$, $17\,000$.

Krok 1 — długość odcinka:

$$68-20=48$$

Krok 2 — jedna część:

$$48:4=12$$

Krok 3 — kolejne punkty:

$$20+12=32,\qquad 32+12=44,\qquad 44+12=56$$

Sprawdzenie: $56+12=68$ ✔ — czwarta część kończy się w $B$.

Odpowiedź: $32$, $44$, $56$.

Najmniejsza. Zaokrąglamy w górę do $3400$, więc liczba musi zaczynać się co najmniej od połowy przedziału:

$$3350$$

Największa. Zaokrąglamy w dół do $3400$; jeszcze $3449$ daje $3400$, ale $3450$ zaokrągliłoby się już do $3500$:

$$3449$$

Sprawdzenie: $3350\approx3400$ ✔ oraz $3449\approx3400$ ✔, natomiast $3349\approx3300$ ✘

Odpowiedź: od $3350$ do $3449$.

Krok 1 — potęgi (mają pierwszeństwo):

$$5^3=125,\qquad 4^2=16$$

Krok 2 — mnożenie:

$$16\cdot2=32$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$125-32=93$$

Kolejność działań: najpierw nawiasy, potem potęgi, dalej mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Odpowiedź: $93$.

Kolejność działań: mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.

$$3\cdot4=12$$

$$2+12=14$$

Pułapka: liczenie od lewej ($2+3=5$, potem $5\cdot4=20$) daje błędną odpowiedź A. Mnożenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: C. $14$.

Krok 1 — nawias:

$$3+4=7$$

Krok 2 — mnożenie:

$$2\cdot7=14$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$20-14=6$$

Kolejność: najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Odpowiedź: $6$.

Porównujemy cyframi od lewej strony. Obie liczby mają tyle samo cyfr i zgadzają się na pozycji tysięcy ($3$) oraz setek ($0$).

Różnica jest na pozycji dziesiątek:

$$4\lt 9 \quad\Rightarrow\quad 3049\lt 3094$$

Odpowiedź: B. $3094$.

Krok 1 — znajdujemy cyfrę setek. To $5$ (w liczbie $4\underline{5}67$).

Krok 2 — patrzymy na cyfrę następną (dziesiątek): to $6$.

Krok 3 — reguła: cyfra $5$ lub większa oznacza zaokrąglenie w górę, a cyfry po zaokrąglanej pozycji zastępujemy zerami:

$$4567\approx4600$$

Odpowiedź: $4600$.

Kolejność działań: dzielenie przed odejmowaniem.

Krok 1 — dzielenie:

$$36:4=9$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$100-9=91$$

Pułapka: liczenie od lewej ($100-36=64$, potem $64:4=16$) daje błędny wynik. Dzielenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: $91$.

Liczba w połowie odcinka to średnia obu końców:

$$\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25$$

Sprawdzenie: od $20$ do $25$ jest $5$ kroków i od $25$ do $30$ też $5$ — punkt leży dokładnie pośrodku.

Odpowiedź: A. $25$.

Kolejność: oba mnożenia wykonujemy przed dodawaniem.

Krok 1:

$$5\cdot6=30,\qquad 8\cdot3=24$$

Krok 2 — dodajemy wyniki:

$$30+24=54$$

Odpowiedź: $54$.

Krok 1 — cyfra tysięcy: to $8$ (w liczbie $2\underline{8}\,764$).

Krok 2 — cyfra następna (setek): to $7$.

Krok 3 — zaokrąglamy w górę (bo $7\ge5$), pozostałe cyfry zerujemy:

$$28\,764\approx29\,000$$

Uwaga: zaokrąglenie w górę cyfry $8$ daje $9$ — gdyby było $9$, nastąpiłoby przeniesienie do kolejnej pozycji.

Odpowiedź: $29\,000$.

Krok 1 — nawias:

$$12+8=20$$

Krok 2 — dzielenie:

$$20:5=4$$

Rola nawiasu: bez nawiasu $12+8:5$ dałoby najpierw $8:5$, czyli zupełnie inny wynik. Nawias wymusza dodawanie jako pierwsze.

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — nawias:

$$2\cdot3=6$$

Krok 2 — dzielenie:

$$48:6=8$$

Krok 3 — dodawanie:

$$8+7=15$$

Odpowiedź: $15$.

Wypisujemy liczby spełniające warunek. Znak $\le$ oznacza, że $12$ należy, a znak $\lt $ oznacza, że $17$ nie należy:

$$12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16$$

Jest ich $5$.

Pułapka: dołączenie $17$ (błędna odpowiedź C) albo pominięcie $12$ (błędna odpowiedź A). Trzeba uważnie czytać znaki nierówności.

Odpowiedź: B. $5$.

Krok 1 — działanie w nawiasie. Wewnątrz też obowiązuje kolejność — najpierw mnożenie:

$$3\cdot4=12,\qquad 15-12=3$$

Krok 2 — mnożenie przed nawiasem:

$$2\cdot3=6$$

Krok 3 — dodawanie:

$$6+10=16$$

Odpowiedź: $16$.

Rozkładamy nazwę na pozycje:

• siedem tysięcy $=7000$
• pięćset $=500$
• trzy $=3$

$$7000+500+3=7503$$

Uwaga na zero: brak dziesiątek zapisujemy cyfrą $0$ — inaczej powstałoby błędne $753$.

Odpowiedź: $7503$.

Gdy występuje samo dzielenie, liczymy od lewej do prawej:

$$36:6=6$$

$$6:2=3$$

Pułapka: policzenie najpierw $6:2=3$, a potem $36:3=12$ daje błędną odpowiedź A. Dzielenie nie jest łączne — kolejność ma znaczenie.

Odpowiedź: C. $3$.

Krok 1 — liczba dostarczonych zeszytów:

$$8\cdot50=400$$

Krok 2 — łączna liczba:

$$1250+400=1650$$

Zapis jednym wyrażeniem: $1250+8\cdot50=1650$ — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem, więc nawias nie jest potrzebny.

Odpowiedź: w sklepie jest $1650$ zeszytów.

Krok 1 — cyfra dziesiątek: to $4$ (w liczbie $6\underline{4}9$).

Krok 2 — cyfra następna (jedności): to $9$.

Krok 3 — zaokrąglamy w górę (bo $9\ge5$):

$$649\approx650$$

Uwaga: patrzymy tylko na cyfrę jedności. Chociaż liczba jest „prawie $600$”, do dziesiątek zaokrąglamy do $650$, a nie do $600$.

Odpowiedź: A. $650$.

Kolejność działań: potęgowanie ma pierwszeństwo przed mnożeniem.

Krok 1 — potęga:

$$4^2=4\cdot4=16$$

Krok 2 — mnożenie:

$$3\cdot16=48$$

Pułapka: policzenie $3\cdot4=12$, a potem $12^2=144$ jest błędne — najpierw potęga, potem mnożenie.

Odpowiedź: $48$.

Krok 1 — łączna liczba osób:

$$28+2=30$$

Krok 2 — koszt biletów:

$$30\cdot23=690\ \text{zł}$$

Zapis jednym wyrażeniem: $(28+2)\cdot23$ — tutaj nawias jest konieczny, bo najpierw musimy dodać osoby.

Odpowiedź: trzeba zapłacić $690$ zł.

Kolejność: najpierw dzielenie i mnożenie, potem dodawanie i odejmowanie od lewej.

Krok 1 — dzielenie i mnożenie:

$$24:8=3,\qquad 3\cdot2=6$$

Krok 2 — wstawiamy wyniki:

$$56+3-6$$

Krok 3 — dodawanie i odejmowanie od lewej:

$$56+3=59,\qquad 59-6=53$$

Odpowiedź: $53$.

Krok 1 — liczba przywiezionych worków:

$$5\cdot144=720$$

Krok 2 — liczba rozwiezionych worków:

$$3\cdot160=480$$

Krok 3 — różnica:

$$720-480=240$$

Zapis jednym wyrażeniem: $5\cdot144-3\cdot160=720-480=240$ — oba mnożenia wykonujemy przed odejmowaniem.

Kontrola sensu: przywieziono więcej, niż rozwieziono, więc wynik dodatni jest sensowny.

Odpowiedź: w magazynie zostało $240$ worków.

Cyfra jedności to $7\ge5$, więc zaokrąglamy w górę:

$$47\approx50$$

Odpowiedź: B. $50$.

Cyfra dziesiątek to $2\lt 5$, zaokrąglamy w dół:

$$324\approx300$$

Odpowiedź: $300$.

$$234+567=801$$

Odpowiedź: $801$.

$$8\cdot7=56$$

Odpowiedź: C. $56$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$3\cdot4=12$$

Krok 2 — dodawanie:

$$2+12=14$$

Odpowiedź: $14$.

Cyfra setek to $2\lt 5$, więc w dół:

$$1250\approx1000$$

Odpowiedź: A. $1000$.

$$144:12=12$$

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — najpierw nawias:

$$15+5=20$$

Krok 2 — mnożenie:

$$20\cdot3=60$$

Odpowiedź: $60$.

Cyfra jedności $6\ge5$, więc w górę:

$$86\approx90$$

Odpowiedź: D. $90$.

$$500-127=373$$

Odpowiedź: $373$.

$$100:4=25$$

Odpowiedź: B. $25$.

Krok 1 — mnożenie:

$$6\cdot9=54$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$54-14=40$$

Odpowiedź: $40$.

Cyfra dziesiątek to $4\lt 5$, więc w dół:

$$7649\approx7600$$

Odpowiedź: $7600$.

Mnożenie przez zero zawsze daje zero.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — pozostało:

$$340-185=155$$

Krok 2 — zaokrąglenie do dziesiątek (cyfra jedności $5\ge5$ → w górę):

$$155\approx160$$

Odpowiedź: zostało $155$ jabłek, w zaokrągleniu $160$.

Krok 1 — mnożenie: $12\cdot0=0$.

Krok 2 — dodawanie: $0+12=12$.

Odpowiedź: C. $12$.

Krok 1 — pasażerowie razem:

$$35+10=45$$

Krok 2 — wolne miejsca:

$$48-45=3$$

Odpowiedź: $3$ wolne miejsca.

Krok 1 — nawias: $8+2=10$.

Krok 2 — mnożenie: $6\cdot10=60$.

Krok 3 — odejmowanie: $100-60=40$.

Odpowiedź: $40$.

Dzielimy zebraną kwotę przez cenę biletu:

$$256:8=32$$

Odpowiedź: $32$ bilety.

Krok 1 — zaokrąglenie do setek. Patrzymy na cyfrę dziesiątek: $9\ge5$, więc setki zaokrąglamy w górę: $24\to25$ setek, czyli $2500$.

Krok 2 — zaokrąglenie do tysięcy. Patrzymy na cyfrę setek: $4\lt 5$, więc tysiące w dół: $2000$.

Wniosek. Wynik zależy od tego, którą cyfrę „obserwujemy” — przy setkach decyduje cyfra dziesiątek, przy tysiącach cyfra setek. To ta sama liczba, ale różny stopień dokładności. $\quad∎$

Uwaga. Nie wolno zaokrąglać „etapami” (najpierw do setek, potem tysięcy) — daje to błędny wynik $2500\to3000$.

Godzina ma $60$ minut, więc:

$$3\cdot60=180\ \text{minut}$$

Odpowiedź: C. $180$ minut.

Krok 1 — zamieniamy minuty na godziny i minuty:

$$105\ \text{min}=1\ \text{h}\ 45\ \text{min}$$

Krok 2 — dodajemy godzinę:

$$16{:}30+1\ \text{h}=17{:}30$$

Krok 3 — dodajemy $45$ minut:

$$17{:}30+45\ \text{min}=18{:}15$$

(bo $30+45=75$ minut, czyli $1$ h $15$ min)

Odpowiedź: film skończył się o $18{:}15$.

Rok zwykły: luty ma $28$ dni.

Rok przestępny: luty ma $29$ dni.

Kiedy rok jest przestępny: gdy dzieli się przez $4$, ale pełne stulecia tylko wtedy, gdy dzielą się przez $400$. Dlatego rok $2000$ był przestępny, a $1900$ nie.

Odpowiedź: $29$ dni w roku przestępnym, $28$ w zwykłym.

Odejmujemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$50{,}00-34{,}60=15{,}40\ \text{zł}$$

Sprawdzenie dodawaniem: $34{,}60+15{,}40=50{,}00$ ✔

Odpowiedź: B. $15{,}40$ zł.

Dodajemy oba czasy:

$$45+10=55\ \text{minut}$$

Ciekawostka: $55$ minut to niecała godzina — brakuje jeszcze $5$ minut.

Odpowiedź: $55$ minut.

Liczymy miesiące po kolei: styczeń ($1$), luty ($2$), marzec ($3$), kwiecień ($4$), maj ($5$), czerwiec ($6$), lipiec ($7$), sierpień ($8$), wrzesień ($9$), październik ($10$).

Odpowiedź: D. październik.

Krok 1 — dodajemy pełne godziny:

$$7{:}40+3\ \text{h}=10{:}40$$

Krok 2 — dodajemy minuty:

$$40+35=75\ \text{minut}=1\ \text{h}\ 15\ \text{min}$$

$$10{:}40+35\ \text{min}=11{:}15$$

Uwaga: gdy suma minut przekroczy $59$, zamieniamy $60$ minut na godzinę. Zapis $10{:}75$ nie istnieje.

Odpowiedź: pociąg przyjedzie o $11{:}15$.

Mnożymy cenę przez liczbę biletów:

$$4\cdot12{,}50=50\ \text{zł}$$

Sposób w pamięci: $4\cdot12=48$ oraz $4\cdot0{,}50=2$, razem $50$ zł.

Odpowiedź: $50$ zł.

Podstawowe jednostki czasu:

• tydzień $=7$ dni
• doba $=24$ godziny
• godzina $=60$ minut
• minuta $=60$ sekund

Odpowiedź: A.

Krok 1 — łączny koszt zakupów:

$$34+6{,}50=40{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — ile zostało:

$$80-40{,}50=39{,}50\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40{,}50+39{,}50=80$ zł ✔

Odpowiedź: Ali zostało $39{,}50$ zł.

Doba ma $24$ godziny, więc:

$$3\cdot24=72\ \text{godziny}$$

Odpowiedź: C. $72$ godziny.

Krok 1 — pełne godziny. Od $8{:}15$ do $13{:}15$ mija $5$ godzin.

Krok 2 — pozostałe minuty. Od $13{:}15$ do $13{:}45$ mija $30$ minut.

Krok 3 — razem:

$$5\ \text{h}\ 30\ \text{min}$$

Wskazówka: najpierw dolicz pełne godziny, dopiero potem minuty — to prostsze niż odejmowanie „w słupku” godzin i minut naraz.

Odpowiedź: zajęcia trwają $5$ godzin $30$ minut.

Krok 1 — wykorzystujemy cykl tygodniowy. Co $7$ dni wraca ten sam dzień tygodnia, więc dzielimy z resztą:

$$10:7=1 \text{ reszty } 3$$

Krok 2 — liczy się tylko reszta. Po pełnym tygodniu znów jest poniedziałek, a potem doliczamy $3$ dni:

$$\text{poniedziałek} \to \text{wtorek} \to \text{środa} \to \text{czwartek}$$

Odpowiedź: za $10$ dni będzie czwartek.

Aby użyć jak najmniej nominałów, zaczynamy od największych.

$$23=20+2+1$$

To trzy elementy — mniej się nie da.

Porównanie: wariant A to $5$ elementów, D to $7$, a C aż $23$.

Odpowiedź: B.

Wypisujemy liczby dni w kolejnych miesiącach:

• styczeń — $31$
• luty — $28$ (rok zwykły)
• marzec — $31$
• kwiecień — $30$
• maj — $31$
• czerwiec — $30$

Sumujemy:

$$31+28+31+30+31+30=181$$

Kontrola: cały rok ma $365$ dni, więc drugie półrocze ma $365-181=184$ dni.

Odpowiedź: $181$ dni.

Krok 1 — zamieniamy minuty na sekundy:

$$2\cdot60=120\ \text{sekund}$$

Krok 2 — dodajemy pozostałe sekundy:

$$120+30=150\ \text{sekund}$$

Pułapka: odpowiedź B ($230$) to zwykłe „sklejenie” cyfr $2$ i $30$ — trzeba przeliczyć przez $60$, a nie przez $100$.

Odpowiedź: A. $150$ sekund.

Krok 1 — bilety dorosłe:

$$3\cdot28=84\ \text{zł}$$

Krok 2 — bilety ulgowe:

$$2\cdot15=30\ \text{zł}$$

Krok 3 — razem:

$$84+30=114\ \text{zł}$$

Odpowiedź: rodzina zapłaciła $114$ zł.

Krok 1 — do pełnej godziny:

$$15{:}00-14{:}50=10\ \text{minut}$$

Krok 2 — od pełnej godziny do celu:

$$15{:}20-15{:}00=20\ \text{minut}$$

Krok 3 — razem:

$$10+20=30\ \text{minut}$$

Wskazówka: przejście „przez pełną godzinę” jest prostsze niż odejmowanie w słupku, bo unikamy pożyczania $60$ minut.

Odpowiedź: za $30$ minut.

Krok 1 — całkowity czas wycieczki. Od $9{:}00$ do $16{:}30$:

$$7\ \text{h}\ 30\ \text{min}$$

Krok 2 — łączny czas przerw:

$$2\cdot20=40\ \text{minut}$$

Krok 3 — odejmujemy przerwy. Zamieniamy $7$ h $30$ min na $6$ h $90$ min, żeby móc odjąć minuty:

$$6\ \text{h}\ 90\ \text{min}-40\ \text{min}=6\ \text{h}\ 50\ \text{min}$$

Odpowiedź: zwiedzanie trwało $6$ godzin $50$ minut.

Krok 1 — liczba tygodni:

$$540:15=36\ \text{tygodni}$$

Krok 2 — zamiana na miesiące. Miesiąc to około $4$ tygodnie:

$$36:4=9\ \text{miesięcy}$$

Sprawdzenie: $36\cdot15=540$ zł ✔

Uwaga: wynik w miesiącach jest przybliżony, bo miesiące mają po $4$ lub trochę ponad $4$ tygodnie.

Odpowiedź: $36$ tygodni, czyli około $9$ miesięcy.

Godzina ma $60$ minut:

$$2\cdot60=120$$

Uwaga: czas dzieli się szesćdziesiątkowo, a nie dziesiętnie — dlatego nie $100$.

Odpowiedź: B. $120$.

Krok 1 — zamieniamy czas trwania:

$$95\ \text{min}=1\ \text{h}\ 35\ \text{min}$$

Krok 2 — dodajemy godzinę:

$$17{:}45+1\ \text{h}=18{:}45$$

Krok 3 — dodajemy minuty. $45+35=80$ min, czyli $1$ h $20$ min:

$$18{:}45+35\ \text{min}=19{:}20$$

Odpowiedź: o $19{:}20$.

Rok zwykły: $28$ dni.

Rok przestępny: $29$ dni.

Kiedy rok jest przestępny: gdy dzieli się przez $4$ (np. $2024$), z wyjątkiem pełnych stuleci niedzielących się przez $400$ — dlatego $1900$ nie był przestępny, a $2000$ był.

Odpowiedź: $29$ dni w przestępnym, $28$ w zwykłym.

Część ułamkową mnożymy przez $60$:

$$0{,}5\cdot60=30\ \text{min}$$

$$2\ \text{h}\ 30\ \text{min}=120+30=150\ \text{min}$$

Pułapka: $2{,}5$ h to nie $2$ h $50$ min.

Odpowiedź: C. $150$ min.

Krok 1 — razem:

$$4{,}50+3{,}20=7{,}70\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$10-7{,}70=2{,}30\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $2{,}30$ zł.

Tydzień to $7$ dób po $24$ godziny:

$$7\cdot24=168$$

Odpowiedź: A. $168$.

Krok 1 — do pełnej godziny:

$$8{:}40\ \to\ 9{:}00 \quad\text{to } 20\ \text{min}$$

Krok 2 — pełne godziny:

$$9{:}00\ \to\ 12{:}00 \quad\text{to } 3\ \text{h}$$

Krok 3 — reszta:

$$12{:}00\ \to\ 12{:}15 \quad\text{to } 15\ \text{min}$$

Krok 4 — razem:

$$20+15=35\ \text{min},\qquad \text{czyli } 3\ \text{h}\ 35\ \text{min}$$

Odpowiedź: $3$ godziny $35$ minut.

Krok 1 — ile dni minęło:

$$15-1=14\ \text{dni}$$

Krok 2 — pełne tygodnie:

$$14:7=2 \ \text{tygodnie, reszta } 0$$

Reszta zero oznacza ten sam dzień tygodnia.

Odpowiedź: poniedziałek.

Złotówka ma $100$ groszy:

$$7{,}05\cdot100=705\ \text{gr}$$

Uwaga na zero: $7{,}05$ zł to $7$ zł i $5$ groszy, a nie $50$ groszy.

Odpowiedź: D. $705$ gr.

Krok 1 — do końca marca:

$$31-25=6\ \text{dni}$$

Krok 2 — w kwietniu:

$$8\ \text{dni}$$

Krok 3 — razem:

$$6+8=14\ \text{dni}$$

Odpowiedź: $14$ dni.

Krok 1 — do północy:

$$24-19=5\ \text{godzin}$$

Krok 2 — po północy:

$$7-5=2\ \text{godziny}$$

Doba ma $24$ godziny, więc po $24{:}00$ liczymy od nowa.

Odpowiedź: B. $2{:}00$.

Krok 1 — bilety ulgowe:

$$3\cdot12{,}50=37{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — bilety normalne:

$$2\cdot25=50\ \text{zł}$$

Krok 3 — razem:

$$37{,}50+50=87{,}50\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $87{,}50$ zł.

Krok 1 — pół godziny w minutach:

$$30\ \text{min}$$

Krok 2 — na sekundy:

$$30\cdot60=1800\ \text{s}$$

Odpowiedź: $1800$ sekund.

Miesiące $31$-dniowe: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień — siedem miesięcy.

Miesiące $30$-dniowe: kwiecień, czerwiec, wrzesień, listopad.

Luty: $28$ lub $29$ dni.

Sprawdzenie: $7\cdot31+4\cdot30+28=217+120+28=365$ ✔

Odpowiedź: C. styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień.

Krok 1 — łączny czas:

$$3\cdot12=36\ \text{godzin}$$

Krok 2 — doby:

$$36:24=1 \ \text{doba i } 12\ \text{godzin}$$

Odpowiedź: $36$ godzin, czyli $1$ doba i $12$ godzin.

$$50-34{,}80=15{,}20\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $34{,}80+15{,}20=50$ zł ✔

Odpowiedź: A. $15{,}20$ zł.

Krok 1 — ile odstępów. Od pierwszego do piątego są cztery odstępy, nie pięć:

$$4\cdot25=100\ \text{min}$$

Krok 2 — zamiana:

$$100\ \text{min}=1\ \text{h}\ 40\ \text{min}$$

Krok 3 — godzina odjazdu:

$$6{:}00+1\ \text{h}\ 40\ \text{min}=7{:}40$$

Sprawdzenie: $6{:}00$, $6{:}25$, $6{:}50$, $7{:}15$, $7{:}40$ ✔

Odpowiedź: o $7{:}40$.

Krok 1 — oszczędności:

$$15\cdot8=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — porównanie z ceną:

$$120\lt 150$$

Krok 3 — brakująca kwota:

$$150-120=30\ \text{zł}$$

Dodatkowo: $30:15=2$, więc potrzeba jeszcze dwóch tygodni.

Odpowiedź: zaoszczędzi $120$ zł — nie wystarczy, zabraknie $30$ zł.

Krok 1 — co składa się na czas. Do końca czwartej lekcji mija $4$ lekcje i $3$ przerwy (po ostatniej lekcji przerwy już nie liczymy):

$$4\cdot45=180\ \text{min},\qquad 3\cdot10=30\ \text{min}$$

Krok 2 — razem:

$$180+30=210\ \text{min}=3\ \text{h}\ 30\ \text{min}$$

Krok 3 — godzina zakończenia:

$$8{:}00+3\ \text{h}\ 30\ \text{min}=11{:}30$$

Najczęstszy błąd: policzenie czterech przerw zamiast trzech — dałoby $11{:}40$.

Odpowiedź: o $11{:}30$.

Krok 1 — liczba dni. Liczymy oba końce, więc dodajemy jedynkę:

$$19-5+1=15\ \text{dni}$$

Krok 2 — liczba nocy. Nocy jest zawsze o jedną mniej niż dni — ostatniego dnia uczestnicy wracają:

$$15-1=14\ \text{nocy}$$

Sprawdzenie na małym przykładzie: wyjazd od $5$ do $6$ lipca to $2$ dni i $1$ noc ✔

Odpowiedź: $15$ dni i $14$ nocy.

Jedna godzina to $60$ minut, więc:

$$2\cdot60=120\ \text{minut}$$

Uwaga: czas liczymy w systemie sześćdziesiątkowym, nie dziesiętnym — dlatego nie $100$.

Odpowiedź: B. $120$.

Krok 1 — zamieniamy czas trwania:

$$95\ \text{min}=1\ \text{godz}\ 35\ \text{min}$$

Krok 2 — dodajemy do godziny rozpoczęcia:

$$17{:}30+1{:}35=19{:}05$$

Uwaga: $30+35=65$ minut, czyli $1$ godzina i $5$ minut — stąd przeniesienie do godzin.

Odpowiedź: o $19{:}05$.

W roku zwykłym luty ma $28$ dni, w przestępnym — $29$.

Kiedy rok jest przestępny: co do zasady co cztery lata, gdy liczba roku dzieli się przez $4$ (np. $2024$).

Odpowiedź: $29$ dni w przestępnym, $28$ w zwykłym.

Krok 1 — suma zakupów:

$$4{,}50+3{,}20=7{,}70\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$10-7{,}70=2{,}30\ \text{zł}$$

Odpowiedź: C. $2{,}30$ zł.

Jedna minuta to $60$ sekund:

$$3\cdot60=180\ \text{sekund}$$

Odpowiedź: $180$ sekund.

Krok 1 — dodajemy godziny:

$$8{:}45+2\ \text{godz}=10{:}45$$

Krok 2 — dodajemy minuty:

$$10{:}45+40\ \text{min}$$

$$45+40=85\ \text{min}=1\ \text{godz}\ 25\ \text{min}$$

$$10{:}45+40\ \text{min}=11{:}25$$

Uwaga: zapis $10{:}85$ jest niepoprawny — minut nie może być więcej niż $59$.

Odpowiedź: A. $11{:}25$.

Krok 1 — trzy lekcje i dwie przerwy między nimi:

$$3\cdot45+2\cdot10=135+20=155\ \text{min}$$

Krok 2 — zamiana na godziny:

$$155\ \text{min}=2\ \text{godz}\ 35\ \text{min}$$

Krok 3 — dodajemy do $8{:}00$:

$$8{:}00+2{:}35=10{:}35$$

Uwaga: między trzema lekcjami są tylko dwie przerwy, nie trzy. Trzecia przerwa jest już po trzeciej lekcji.

Odpowiedź: o $10{:}35$.

Krok 1 — do końca marca:

$$31-15=16\ \text{dni}$$

Krok 2 — ile dni zostaje na kwiecień:

$$40-16=24\ \text{dni}$$

Krok 3 — data. Dwudziesty czwarty dzień kwietnia to $24$ kwietnia.

Uwaga: od $15$ marca $16$ dni to koniec marca ($31$), więc pozostałe $24$ dni odliczamy już w kwietniu.

Odpowiedź: $24$ kwietnia.

Jedna złotówka to $100$ groszy, więc:

$$3{,}75\ \text{zł}=3{,}75\cdot100=375\ \text{groszy}$$

Odpowiedź: D. $375$ groszy.

Krok 1 — suma wydatków:

$$12+6{,}50+24{,}90=43{,}40\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$50-43{,}40=6{,}60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $6{,}60$ zł.

Doba ma $24$ godziny, więc po północy zaczynamy liczyć od zera:

$$22{:}00+3\ \text{godz}=25{:}00-24{:}00=1{:}00$$

Uwaga: nie ma godziny $25{:}00$ — po $23{:}59$ następuje $0{:}00$ (północ) nowego dnia.

Odpowiedź: B. $1{:}00$.

Tydzień ma $7$ dni, więc dzielimy z resztą:

$$45:7=6\ \text{reszty}\ 3$$

$$45=6\cdot7+3$$

To $6$ tygodni i $3$ dni.

Sprawdzenie: $6\cdot7+3=42+3=45$ ✔

Odpowiedź: $6$ tygodni i $3$ dni.

Krok 1 — od $6{:}30$ do $21{:}30$ minęłoby $15$ godzin.

Krok 2 — ale zamykają o $21{:}00$, czyli $30$ minut wcześniej:

$$15\ \text{godz}-30\ \text{min}=14\ \text{godz}\ 30\ \text{min}$$

Sposób sprawdzenia: od $6{:}30$ do $20{:}30$ to $14$ godzin, a do $21{:}00$ jeszcze $30$ minut — razem $14$ godz $30$ min ✔

Odpowiedź: $14$ godzin $30$ minut.

Krok 1 — bilet dziecka:

$$18:2=9\ \text{zł}$$

Krok 2 — dwoje dorosłych:

$$2\cdot18=36\ \text{zł}$$

Krok 3 — dwoje dzieci:

$$2\cdot9=18\ \text{zł}$$

Krok 4 — razem:

$$36+18=54\ \text{zł}$$

Odpowiedź: C. $54$ zł.

Krok 1 — luty w roku zwykłym ma $28$ dni, więc po $28$ lutego następuje od razu $1$ marca — to $1$ dzień.

Krok 2 — liczymy dalej:

$$28\ \text{lut}\to1\ \text{mar}\to2\to3\to4\to5\ \text{mar}$$

To $5$ kroków, czyli $5$ dni.

Uwaga: w roku przestępnym byłby jeszcze $29$ lutego, więc odpowiedź wynosiłaby $6$ dni. Rok ma tu znaczenie.

Odpowiedź: $5$ dni.

Kwadrans to $15$ minut, czyli $\frac14$ godziny — w każdej godzinie mieszczą się $4$ kwadranse:

$$3\cdot4=12$$

Odpowiedź: A. $12$.

Krok 1 — ile odstępów. Między pierwszym a szóstym autobusem jest pięć odstępów, nie sześć:

$$6-1=5\ \text{odstępów}$$

Krok 2 — łączny czas:

$$5\cdot20=100\ \text{min}=1\ \text{godz}\ 40\ \text{min}$$

Krok 3 — godzina odjazdu:

$$6{:}00+1{:}40=7{:}40$$

Klasyczna pułapka. Pierwszy autobus odjeżdża o czasie zero, więc do szóstego mija pięć odstępów. Mnożenie przez $6$ dałoby błędne $8{:}00$.

Odpowiedź: o $7{:}40$.

Krok 1 — łączna liczba godzin:

$$8+6+7=21\ \text{godzin}$$

Krok 2 — zarobek:

$$21\cdot30=630\ \text{zł}$$

Sposób alternatywny. Można liczyć dzień po dniu: $240+180+210=630$ zł — ten sam wynik. Sumowanie godzin najpierw jest szybsze.

Odpowiedź: $630$ zł.

Krok 1 — pełne godziny od $9{:}15$ do $14{:}15$:

$$14{:}15-9{:}15=5\ \text{godzin}$$

Krok 2 — ale koniec to $14{:}05$, czyli $10$ minut wcześniej:

$$5\ \text{godz}-10\ \text{min}=4\ \text{godz}\ 50\ \text{min}$$

Krok 3 — zamiana na minuty:

$$4\cdot60+50=290\ \text{min}$$

Sprawdzenie. Od $9{:}15$ dodajemy $290$ min $=4$ godz $50$ min: $9{:}15\to13{:}15\to14{:}05$ ✔

Odpowiedź: $4$ godz $50$ min, czyli $290$ minut.

Zasada. Aby użyć jak najmniej sztuk, bierzemy zawsze największy nominał, który się mieści.

Krok po kroku:

$$37=20+10+5+2$$

• $20$ zł — jeden banknot, zostaje $17$ zł
• $10$ zł — jeden banknot, zostaje $7$ zł
• $5$ zł — jedna moneta, zostaje $2$ zł
• $2$ zł — jedna moneta, zostaje $0$

Razem $4$ sztuki.

Dlaczego nie inaczej. Gdybyśmy zaczęli od mniejszych nominałów, sztuk byłoby więcej — np. same monety $1$ zł to aż $37$ sztuk. Metoda „od największego” daje minimum.

Odpowiedź: $4$ sztuki ($20+10+5+2$).

Kwadrat ma cztery równe boki:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Pułapka: odpowiedź C ($49$) to pole, a nie obwód.

Odpowiedź: B. $28$ cm.

$$P=a\cdot a=7\cdot7=49\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostkę: pole zapisujemy w cm$^2$, obwód w cm.

Odpowiedź: $49$ cm$^2$.

Prostokąt ma dwa boki po $9$ cm i dwa po $4$ cm:

$$O=2\cdot9+2\cdot4=18+8=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

Kwadrat o boku $1$ m to kwadrat o boku $100$ cm:

$$1\ \text{m}^2=100\cdot100=10\,000\ \text{cm}^2$$

Uwaga: przy jednostkach pola przelicznik jest kwadratem przelicznika długości — nie $100$, lecz $10\,000$.

Odpowiedź: A. $10\,000$.

$$P=12\cdot5=60\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Obwód to cztery jednakowe boki, więc dzielimy:

$$a=32:4=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $4\cdot8=32$ cm ✔

Odpowiedź: C. $8$ cm.

Dzielimy przez przelicznik:

$$500:100=5\ \text{arów}$$

Odpowiedź: $5$ arów.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=56:8=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(8+7)=30\ \text{cm}$$

Sprawdzenie pola: $8\cdot7=56$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $7$ cm, obwód $30$ cm.

$$30\,000:10\,000=3\ \text{ha}$$

Odpowiedź: D. $3$ ha.

Obwód:

$$O=2(40+25)=2\cdot65=130\ \text{m}$$

Pole:

$$P=40\cdot25=1000\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: obwód $130$ m, pole $1000$ m$^2$.

Pole prostokąta: $7\cdot3=21$ cm$^2$.

Bok kwadratu: $20:4=5$ cm, więc pole $=25$ cm$^2$.

Kwadrat ma większe pole ($25>21$).

Reguła: spośród prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: B. kwadrat.

Krok 1 — wymiary powstałego prostokąta. Trzy kwadraty w rzędzie tworzą prostokąt $12$ cm na $4$ cm.

Krok 2 — obwód:

$$O=2(12+4)=32\ \text{cm}$$

Uwaga: obwód nie jest sumą obwodów trzech kwadratów ($48$ cm) — boki stykowe znajdują się wewnątrz figury i nie liczą się do obwodu.

Odpowiedź: $32$ cm.

Krok 1 — pole podłogi w centymetrach kwadratowych. Zamieniamy metry na cm: $200$ cm na $300$ cm:

$$P=200\cdot300=60\,000\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole jednego kafelka:

$$20\cdot20=400\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — liczba kafelków:

$$60\,000:400=150$$

Odpowiedź: potrzeba $150$ kafelków.

$$70\,000:10\,000=7\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $7$ m$^2$.

Siatka to obwód:

$$O=4\cdot15=60\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=15\cdot15=225\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $60$ m siatki, powierzchnia $225$ m$^2$.

Sprawdzamy iloczyny:

$$6\cdot6=36 \ ✔,\qquad 9\cdot4=36 \ ✔,\qquad 12\cdot3=36 \ ✔$$

$$8\cdot5=40\neq36$$

Odpowiedź: C. $8$ cm i $5$ cm.

Krok 1 — powierzchnia podłogi:

$$P=4\cdot5=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$20\cdot39=780\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $780$ zł.

Krok 1 — pole dużego kwadratu:

$$P_1=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole wycięcia:

$$P_2=4\cdot4=16\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=100-16=84\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $84$ cm$^2$.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$36:2=18\ \text{cm}$$

Krok 2 — podział. Krótszy bok to $1$ część, dłuższy $2$ części, razem $3$:

$$18:3=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — wymiary: $6$ cm i $2\cdot6=12$ cm.

Krok 4 — pole:

$$P=6\cdot12=72\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(6+12)=36$ cm ✔

Odpowiedź: $6$ cm na $12$ cm, pole $72$ cm$^2$.

Krok 1 — pole całej działki:

$$P=50\cdot40=2000\ \text{m}^2$$

Krok 2 — powierzchnia ogrodu:

$$\frac14\cdot2000=500\ \text{m}^2$$

Krok 3 — zamiana na ary ($1$ ar $=100$ m$^2$):

$$500:100=5\ \text{arów}$$

Odpowiedź: ogród ma $5$ arów.

Rodzaje kątów:

• ostry — mniej niż $90^\circ$
• prosty — dokładnie $90^\circ$
• rozwarty — między $90^\circ$ a $180^\circ$
• półpełny — $180^\circ$
• pełny — $360^\circ$

Odpowiedź: B. prostym.

Rodzaj: $47^\circ\lt 90^\circ$, więc kąt jest ostry.

Brakuje:

$$90^\circ-47^\circ=43^\circ$$

Odpowiedź: kąt ostry, brakuje $43^\circ$.

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Odpowiedź: $115^\circ$.

Suma kątów trójkąta to $180^\circ$, a w trójkącie równobocznym wszystkie są równe:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: C. $60^\circ$.

$$180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$$

Odpowiedź: $65^\circ$.

Prostopadłe — przecinają się pod kątem $90^\circ$; oznaczamy $k\perp l$.

Równoległe — nigdy się nie przecinają; oznaczamy $k\parallel l$.

Odpowiedź: A. przecinają się pod kątem prostym.

Rodzaj: dwa boki są równe, trzeci inny — to trójkąt równoramienny.

Obwód:

$$O=5+5+8=18\ \text{cm}$$

Odpowiedź: równoramienny, obwód $18$ cm.

Krok 1 — kąt prosty zabiera $90^\circ$:

$$180^\circ-90^\circ=90^\circ \ \text{dla obu kątów ostrych}$$

Krok 2 — drugi kąt:

$$90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

Reguła: w trójkącie prostokątnym kąty ostre zawsze sumują się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $55^\circ$.

Warunek trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

$$2+3=5\lt 9$$

Takie odcinki nie zamkną się w trójkąt — dwa krótsze nie sięgną do siebie.

Sprawdzenie pozostałych: $3+4=7>5$ ✔, $6+6=12>6$ ✔, $7+8=15>10$ ✔

Odpowiedź: D. o bokach $2$, $3$, $9$.

Kąt wierzchołkowy jest zawsze równy danemu:

$$38^\circ$$

Kąt przyległy dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-38^\circ=142^\circ$$

Odpowiedź: wierzchołkowy $38^\circ$, przyległy $142^\circ$.

Prostokąt ma cztery kąty i każdy z nich jest prosty:

$$4\cdot90^\circ=360^\circ$$

To zgadza się z sumą kątów każdego czworokąta.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-50^\circ=130^\circ$$

Krok 2 — kąty przy podstawie są równe:

$$130^\circ:2=65^\circ$$

Sprawdzenie: $50^\circ+65^\circ+65^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: oba pozostałe kąty mają po $65^\circ$.

Krok 1 — podział na części. $CB$ to $1$ część, $AC$ to $3$ części, razem $4$ części:

$$12:4=3\ \text{cm}$$

Krok 2 — długości:

$$CB=3\ \text{cm},\qquad AC=3\cdot3=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $3+9=12$ cm ✔

Odpowiedź: $AC=9$ cm, $CB=3$ cm.

Kąt pełny to pełny obrót — wskazówka zegara wraca do punktu wyjścia.

$$360^\circ$$

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — jedna godzina na tarczy. Pełny obrót to $360^\circ$, a godzin jest $12$:

$$360^\circ:12=30^\circ$$

Krok 2 — o godzinie $3{:}00$ wskazówki dzielą trzy takie odstępy:

$$3\cdot30^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $90^\circ$ — kąt prosty.

Ze względu na kąty: jeden kąt ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ze względu na boki: wszystkie kąty są różne, więc i boki są różne — trójkąt jest różnoboczny.

Odpowiedź: A. prostokątny i różnoboczny.

Krok 1 — liczba części:

$$1+2+3=6\ \text{części}$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:6=30^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$30^\circ,\qquad 60^\circ,\qquad 90^\circ$$

Sprawdzenie: $30+60+90=180$ ✔

Odpowiedź: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — trójkąt prostokątny.

Godzina $5{:}00$ — pięć odstępów po $30^\circ$:

$$5\cdot30^\circ=150^\circ$$

Godzina $8{:}00$ — licząc krótszą drogą, to cztery odstępy:

$$4\cdot30^\circ=120^\circ$$

Uwaga: liczymy zawsze mniejszy z dwóch kątów. Od strony ósmej godziny „w drugą stronę” wyszłoby $240^\circ$, ale kąt między wskazówkami podajemy jako ten nieprzekraczający $180^\circ$.

Odpowiedź: $150^\circ$ oraz $120^\circ$.

Krok 1 — suma ramion:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię (oba są równe):

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Krok 3 — sprawdzenie warunku trójkąta: $10+10=20>12$ ✔ Taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Krok 1 — podział na części. Mniejszy kąt to $1$ część, większy $4$ części, razem $5$ części. Kąty przyległe dają w sumie $180^\circ$:

$$180^\circ:5=36^\circ$$

Krok 2 — miary kątów:

$$36^\circ \qquad\text{oraz}\qquad 4\cdot36^\circ=144^\circ$$

Sprawdzenie: $36^\circ+144^\circ=180^\circ$ ✔ oraz $144:36=4$ ✔

Odpowiedź: $36^\circ$ i $144^\circ$.

Odcinek ma dwa końce i określoną długość.

Prosta nie ma końców i jest nieskończona w obie strony.

Półprosta ma jeden koniec (początek) i biegnie w nieskończoność w jedną stronę.

Odpowiedź: B. odcinek.

Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Dla porównania: przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

Odpowiedź: dokładnie jedną.

Obwód:

$$O=2(8+5)=26\ \text{cm}$$

Pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: obwód $26$ cm, pole $40$ cm$^2$.

Promień to połowa średnicy:

$$r=12:2=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $6$ cm.

Prosta nie ma początku ani końca — biegnie w nieskończoność w obie strony. Nie da się zmierzyć jej długości.

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami. Ma określoną długość, którą można zmierzyć linijką.

Odpowiedź: prosta jest nieskończona, odcinek ma dwa końce i mierzalną długość.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=36:4=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=9\cdot9=81\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $81$ cm$^2$.

Zasada. Punkt leży wewnątrz koła, gdy jego odległość od środka jest mniejsza od promienia.

Punkt $A$: $3\lt 4$ — leży wewnątrz ✔

Punkt $B$: $6>4$ — leży na zewnątrz ✘

Uwaga: punkt oddalony dokładnie o $4$ cm leżałby na okręgu.

Odpowiedź: punkt $A$.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=48:6=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(6+8)=28\ \text{cm}$$

Sprawdzenie pola: $6\cdot8=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $28$ cm.

Oznaczmy punkty jako $A$, $B$, $C$. Odcinki to każda para punktów:

$$AB,\qquad BC,\qquad AC$$

Są trzy takie pary.

Uwaga: $AB$ i $BA$ to ten sam odcinek, więc nie liczymy go dwa razy.

Odpowiedź: D. $3$.

Obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Pole:

$$P=7\cdot7=49\ \text{cm}^2$$

Dlaczego różne jednostki. Obwód to długość linii — mierzymy go w centymetrach. Pole to powierzchnia — liczymy, ile kwadracików o boku $1$ cm mieści się w figurze, więc jednostką jest cm$^2$.

Odpowiedź: obwód $28$ cm, pole $49$ cm$^2$.

Proste równoległe zachowują stałą odległość i nie mają punktów wspólnych. Oznaczamy je symbolem $\parallel$.

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem $90^\circ$ — oznaczamy je $\perp$.

Odpowiedź: B. równoległe.

Krok 1 — długość $CB$:

$$15-6=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — czy $C$ jest środkiem. Środek dzieliłby odcinek na dwie równe części po $7{,}5$ cm. Tutaj $6\neq9$, więc $C$ nie jest środkiem — środek leży w odległości $7{,}5$ cm od $A$.

Odpowiedź: $CB=9$ cm; $C$ nie jest środkiem.

Sposób 1 — liczymy wzdłuż boków:

$$10:2=5,\qquad 6:2=3$$

$$5\cdot3=15\ \text{kwadratów}$$

Sposób 2 — przez pola:

$$\frac{10\cdot6}{2\cdot2}=\frac{60}{4}=15 \ ✔$$

Uwaga: oba sposoby dają ten sam wynik, bo wymiary dzielą się przez $2$ bez reszty. Gdyby tak nie było, drugi sposób zawyżyłby wynik.

Odpowiedź: $15$ kwadratów.

Promień to odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu. Punktów na okręgu jest nieskończenie wiele, więc promieni również.

Ważne: wszystkie promienie jednego okręgu mają tę samą długość — na tym polega definicja okręgu.

Odpowiedź: A. nieskończenie wiele.

Siatka to obwód:

$$O=2(12+9)=42\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=12\cdot9=108\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $42$ m siatki, powierzchnia $108$ m$^2$.

Średnica to najdłuższa cięciwa — jedyna, która przechodzi przez środek okręgu.

Jest dwa razy dłuższa od promienia: $d=2r$.

Odpowiedź: C. średnica.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot8=80\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole wycięcia:

$$P_2=3\cdot3=9\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pozostała część:

$$80-9=71\ \text{cm}^2$$

Czy obwód się zmniejszył. Nie — jeśli kwadrat wycięto z rogu, obwód pozostaje taki sam. Usuwamy dwa odcinki po $3$ cm z brzegu, ale w ich miejsce pojawiają się dwa nowe odcinki po $3$ cm wewnątrz wcięcia. Bilans wynosi zero.

Odpowiedź: pole $71$ cm$^2$; obwód się nie zmienił.

Krok 1 — z każdego punktu. Z jednego punktu prowadzimy odcinki do czterech pozostałych:

$$5\cdot4=20$$

Krok 2 — dzielimy przez dwa. Każdy odcinek policzyliśmy dwukrotnie — raz z jednego końca, raz z drugiego:

$$\frac{20}{2}=10$$

Sprawdzenie dla trzech punktów: wzór daje $\frac{3\cdot2}{2}=3$, co zgadza się z wypisaniem $AB$, $BC$, $AC$ ✔

Odpowiedź: $10$ odcinków.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$30:2=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — wyznaczamy krótszy bok. Gdyby oba boki były równe, miałyby po $7{,}5$ cm. Nadwyżka $3$ cm rozkłada się po połowie:

$$\text{krótszy}=\frac{15-3}{2}=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — dłuższy bok:

$$6+3=9\ \text{cm}$$

Krok 4 — pole:

$$P=6\cdot9=54\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(6+9)=30$ cm ✔

Odpowiedź: $6$ cm na $9$ cm, pole $54$ cm$^2$.

Krok 1 — wymiary w tych samych jednostkach:

$$4\ \text{m}=400\ \text{cm},\qquad 3\ \text{m}=300\ \text{cm}$$

Krok 2 — liczba paneli wzdłuż każdego boku:

$$400:50=8,\qquad 300:50=6$$

Krok 3 — łączna liczba:

$$8\cdot6=48\ \text{paneli}$$

Krok 4 — koszt:

$$48\cdot12=576\ \text{zł}$$

Kontrola przez pola: podłoga ma $12$ m$^2$, panel $0{,}25$ m$^2$, a $12:0{,}25=48$ ✔

Odpowiedź: $48$ paneli za $576$ zł.

Dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę — tutaj przez $3$:

$$\frac{6:3}{9:3}=\frac23$$

Zapamiętaj: skracanie nie zmienia wartości ułamka, tylko jego zapis.

Odpowiedź: C. $\frac23$.

Krok 1 — przez ile mnożymy mianownik:

$$20:5=4$$

Krok 2 — mnożymy licznik i mianownik przez $4$:

$$\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$

Odpowiedź: $\frac{12}{20}$.

Mianowniki są równe, więc porównujemy liczniki:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \frac57>\frac37$$

Dlaczego tak: obie całości podzielono na tyle samo części, a w drugim ułamku bierzemy ich więcej.

Odpowiedź: $\frac57$.

Liczniki są równe, więc decyduje mianownik — ale odwrotnie niż przy licznikach.

Im większy mianownik, tym na więcej części dzielimy całość, więc każda część jest mniejsza:

$$\frac14>\frac16$$

Obrazowo: ćwiartka tortu to więcej niż jedna szósta tego samego tortu.

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Krok 1 — szukamy największego wspólnego dzielnika. Dla $12$ i $18$ jest to $6$.

Krok 2 — dzielimy:

$$\frac{12:6}{18:6}=\frac23$$

Sprawdzenie: $2$ i $3$ nie mają już wspólnego dzielnika większego od $1$ — ułamek jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac23$.

Ułamek równa się połowie, gdy licznik jest dwa razy mniejszy od mianownika:

$$\frac{5}{10}=\frac{5:5}{10:5}=\frac12$$

Pozostałe: $\frac46=\frac23$, a $\frac25$ i $\frac35$ nie skracają się do połowy.

Odpowiedź: D. $\frac{5}{10}$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejsza liczba dzieląca się przez $3$ i $4$ to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy oba ułamki:

$$\frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porównujemy liczniki:

$$9>8 \quad\Rightarrow\quad \frac34>\frac23$$

Odpowiedź: $\frac34$ jest większy.

Krok 1 — wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku. Dopisanie zera na końcu nie zmienia wartości:

$$0{,}7=0{,}70$$

Krok 2 — porównujemy:

$$0{,}70>0{,}65$$

Częsty błąd: uznanie $0{,}65$ za większe, bo „ma więcej cyfr”. Liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: $0{,}7$ jest większy.

Największy wspólny dzielnik $8$ i $12$ to $4$:

$$\frac{8:4}{12:4}=\frac23$$

Uwaga: $\frac46$ jest równe $\frac23$, ale nie jest jeszcze skrócone do końca.

Odpowiedź: B. $\frac23$.

Wszystkie mają licznik $1$, więc decyduje mianownik — im większy, tym ułamek mniejszy.

Porządkujemy mianowniki malejąco: $8$, $5$, $3$, $2$.

$$\frac18\lt \frac15\lt \frac13\lt \frac12$$

Odpowiedź: $\frac18$, $\frac15$, $\frac13$, $\frac12$.

Ułamek niewłaściwy ma licznik większy lub równy mianownikowi — jego wartość jest co najmniej $1$.

$$7>4 \quad\Rightarrow\quad \frac74 \ \text{jest niewłaściwy}$$

$$\frac74=1\frac34$$

Odpowiedź: C. $\frac74$.

Krok 1 — wspólny mianownik: $12$.

Krok 2 — rozszerzamy:

$$\frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{4}{12}>\frac{3}{12} \quad\Rightarrow\quad \frac13>\frac14$$

Odpowiedź: $\frac13$ jest większy.

Krok 1 — wspólny mianownik. Sprowadzamy do ósemek:

$$\frac14=\frac{2}{8}$$

Krok 2 — porównanie:

$$\frac38>\frac28$$

Odpowiedź: więcej zjadła Ania.

Największy wspólny dzielnik $15$ i $25$ to $5$:

$$\frac{15:5}{25:5}=\frac35$$

Odpowiedź: A. $\frac35$.

Ułamek o mianowniku $10$ zapisujemy z jedną cyfrą po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Liczba $0{,}25$ ma dwie cyfry po przecinku, więc mianownik to $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{25:25}{100:25}=\frac14$$

Odpowiedź: $0{,}7$ oraz $\frac14$.

Ułamek jest nieskracalny, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$.

Liczby $7$ i $9$ takiego dzielnika nie mają.

Pozostałe skracają się: $\frac68=\frac34$, $\frac{9}{12}=\frac34$, $\frac{10}{15}=\frac23$.

Odpowiedź: D. $\frac79$.

Krok 1 — przez ile rozszerzamy:

$$35:5=7$$

Krok 2 — tym samym mnożymy licznik:

$$4\cdot7=28$$

$$\frac45=\frac{28}{35}$$

Dlaczego to działa: mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę to w istocie mnożenie ułamka przez $1$ zapisane jako $\frac77$ — wartość się nie zmienia.

Sprawdzenie skracaniem: $\frac{28}{35}$ podzielone przez $7$ daje z powrotem $\frac45$ ✔

Odpowiedź: licznik $28$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Szukamy liczby dzielącej się przez $3$, $6$, $2$ i $4$ — to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy wszystkie:

$$\frac23=\frac{8}{12},\quad \frac56=\frac{10}{12},\quad \frac12=\frac{6}{12},\quad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porządkujemy liczniki:

$$6\lt 8\lt 9\lt 10$$

Krok 4 — wracamy do postaci wyjściowej:

$$\frac12\lt \frac23\lt \frac34\lt \frac56$$

Odpowiedź: $\frac12$, $\frac23$, $\frac34$, $\frac56$.

Krok 1 — liczba dziewcząt. Dzielimy klasę na $5$ części po $6$ osób:

$$30:5=6,\qquad 3\cdot6=18\ \text{dziewcząt}$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 3 — jaką część stanowią:

$$\frac{12}{30}=\frac{12:6}{30:6}=\frac25$$

Kontrola: $\frac35+\frac25=\frac55=1$ ✔ — obie grupy dają całość.

Odpowiedź: $12$ chłopców, czyli $\frac25$ klasy.

Krok 1 — wspólny mianownik:

$$\frac14=\frac{2}{8},\qquad \frac12=\frac{4}{8}$$

Krok 2 — środek. Między licznikami $2$ i $4$ leży $3$:

$$\frac{3}{8}$$

Krok 3 — sprawdzenie. Ułamek $\frac38$ jest nieskracalny ($3$ i $8$ nie mają wspólnego dzielnika) oraz spełnia:

$$\frac28\lt \frac38\lt \frac48 \ ✔$$

Inna droga. Środek to średnia obu liczb:

$$\left(\frac14+\frac12\right):2=\frac34:2=\frac38 \ ✔$$

Odpowiedź: $\frac38$.

Mianownik $10$ oznacza jedno miejsce po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Reguła: mianownik $10$ to jedno miejsce, $100$ — dwa, $1000$ — trzy.

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Mianownik $100$ oznacza dwa miejsca po przecinku:

$$\frac{23}{100}=0{,}23$$

Odpowiedź: $0{,}23$.

Dodajemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$2{,}3+1{,}5=3{,}8$$

Odpowiedź: $3{,}8$.

Uzupełniamy zerami do tej samej liczby miejsc:

$$0{,}50 \quad \text{i} \quad 0{,}45$$

Teraz porównujemy jak liczby całkowite: $50>45$, więc $0{,}5>0{,}45$.

Częsty błąd: uznanie $0{,}45$ za większą, „bo ma więcej cyfr”. Liczba cyfr nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: C. $0{,}5$.

Odejmujemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$5{,}8-2{,}3=3{,}5$$

Odpowiedź: $3{,}5$.

Druga cyfra po przecinku to setne, ale cała część ułamkowa $0{,}47$ to $\frac{47}{100}$, czyli $47$ setnych.

Rozbicie: $0{,}47=4$ dziesiąte $+7$ setnych $=47$ setnych.

Odpowiedź: A. $47$.

Jedno miejsce po przecinku oznacza mianownik $10$:

$$3{,}6=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}=3\frac35$$

Odpowiedź: $\frac{36}{10}=3\frac35$.

Uzupełniamy zerem, aby liczby miały tyle samo miejsc:

$$4{,}25+3{,}80$$

Dodajemy:

$$4{,}25+3{,}80=8{,}05$$

Częsty błąd: potraktowanie $3{,}8$ jako $3{,}08$. Zero dopisujemy na końcu, bo $3{,}8=3{,}80$.

Odpowiedź: $8{,}05$.

Uzupełniamy zerami: $0{,}30$; $0{,}25$; $0{,}50$.

Porównujemy: $25\lt 30\lt 50$, więc:

$$0{,}25\lt 0{,}3\lt 0{,}5$$

Odpowiedź: D.

Dodajemy ceny:

$$4{,}50+6{,}30=10{,}80\ \text{zł}$$

Odpowiedź: trzeba zapłacić $10{,}80$ zł.

Rozszerzamy ułamek do mianownika $100$:

$$\frac14=\frac{25}{100}=0{,}25$$

Warto zapamiętać: $\frac12=0{,}5$, $\frac14=0{,}25$, $\frac34=0{,}75$.

Odpowiedź: B. $0{,}25$.

Uzupełniamy zerami:

$$10{,}0-3{,}7=6{,}3$$

Sprawdzenie: $6{,}3+3{,}7=10{,}0$ ✔

Odpowiedź: $6{,}3$.

$1$ cm to $0{,}01$ m, więc $45$ cm $=0{,}45$ m:

$$3\ \text{m}\ 45\ \text{cm}=3{,}45\ \text{m}$$

Odpowiedź: $3{,}45$ m.

Szukamy liczby większej od $0{,}2$ i mniejszej od $0{,}3$.

$$0{,}2\lt 0{,}25\lt 0{,}3 \ ✔$$

Pozostałe leżą poza tym przedziałem.

Odpowiedź: A. $0{,}25$.

Krok 1 — koszt zakupów:

$$3{,}50+2{,}80=6{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$20-6{,}30=13{,}70\ \text{zł}$$

Odpowiedź: Ali zostało $13{,}70$ zł.

Liczba $2{,}8$ to $2$ całości i $8$ dziesiątych. W całości mieszczą się $20$ dziesiątych, więc razem:

$$2{,}8=\frac{28}{10}=28 \text{ dziesiątych}$$

Odpowiedź: C. $28$.

Uzupełniamy zerami do dwóch miejsc:

$$1{,}25+2{,}50+0{,}75$$

Dodajemy po kolei:

$$1{,}25+2{,}50=3{,}75,\qquad 3{,}75+0{,}75=4{,}50$$

Odpowiedź: $4{,}5$.

„Trzy setne” to $0{,}03$ — trzeba pamiętać o zerze na miejscu dziesiątych:

$$2\ \text{całe}\ 3\ \text{setne}=2{,}03$$

Częsty błąd: zapis $2{,}3$ oznaczałby $2$ całe i $3$ dziesiąte — to co innego niż setne.

Odpowiedź: $2{,}03$.

Krok 1 — dystans biegu:

$$3\cdot0{,}4=1{,}2\ \text{km}$$

Krok 2 — dodajemy marsz:

$$1{,}2+0{,}75=1{,}95\ \text{km}$$

Odpowiedź: Kasia pokonała łącznie $1{,}95$ km.

Krok 1 — suma opadów. Uzupełniamy zerami do dwóch miejsc:

$$2{,}40+0{,}80+3{,}25=6{,}45\ \text{mm}$$

Krok 2 — różnica między trzecim a drugim dniem:

$$3{,}25-0{,}80=2{,}45\ \text{mm}$$

Odpowiedź: łącznie $6{,}45$ mm; trzeciego dnia o $2{,}45$ mm więcej niż drugiego.

Mianownik $10$ oznacza jedną cyfrę po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Podobnie: mianownik $100$ daje dwie cyfry ($\frac{7}{100}=0{,}07$), a $1000$ — trzy.

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Krok 1 — wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku:

$$2{,}8=2{,}80$$

Krok 2 — dodajemy, pisząc przecinek pod przecinkiem:

$$3{,}45+2{,}80=6{,}25$$

Odpowiedź: $6{,}25$.

Metr ma $100$ centymetrów:

$$2{,}5\cdot100=250\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $250$ cm.

Wyrównujemy zapis do trzech miejsc po przecinku:

$$0{,}900;\quad 0{,}850;\quad 0{,}089;\quad 0{,}099$$

Największa jest $0{,}900$.

Uwaga: liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości — $0{,}9$ jest większe od $0{,}85$, choć ma mniej cyfr.

Odpowiedź: A. $0{,}9$.

Zapisujemy $10$ jako $10{,}00$ i odejmujemy pisemnie:

$$10{,}00-4{,}37=5{,}63$$

Sprawdzenie: $5{,}63+4{,}37=10$ ✔

Odpowiedź: $5{,}63$.

Kilogram ma $1000$ gramów:

$$1{,}25\cdot1000=1250\ \text{g}$$

Odpowiedź: D. $1250$ g.

Liczba zer w mianowniku wyznacza liczbę miejsc po przecinku:

$$\frac{3}{100}=0{,}03$$

$$\frac{45}{100}=0{,}45$$

$$\frac{7}{1000}=0{,}007$$

Uwaga: w pierwszym i trzecim przypadku trzeba dopisać zera przed cyfrą znaczącą.

Odpowiedź: $0{,}03$; $0{,}45$; $0{,}007$.

Krok 1 — w metrach:

$$3\cdot1000+250=3250\ \text{m}$$

Krok 2 — w kilometrach:

$$3250:1000=3{,}25\ \text{km}$$

Odpowiedź: $3250$ m, czyli $3{,}25$ km.

$$0{,}4+0{,}6=1{,}0=1$$

Uwaga: cztery dziesiąte plus sześć dziesiątych daje dziesięć dziesiątych, czyli całość — nie $0{,}10$.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — razem:

$$4{,}80+3{,}50=8{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$10-8{,}30=1{,}70\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłaciła $8{,}30$ zł, reszty $1{,}70$ zł.

Centymetr ma $10$ milimetrów:

$$4{,}7\cdot10=47\ \text{mm}$$

Odpowiedź: B. $47$ mm.

Krok 1 — wyrównujemy do dwóch miejsc po przecinku:

$$0{,}50;\quad 0{,}45;\quad 0{,}54;\quad 0{,}05$$

Krok 2 — porównujemy jak liczby całkowite (setne części):

$$5\lt 45\lt 50\lt 54$$

Krok 3 — wracamy do zapisu wyjściowego:

$$0{,}05\lt 0{,}45\lt 0{,}5\lt 0{,}54$$

Odpowiedź: $0{,}05$; $0{,}45$; $0{,}5$; $0{,}54$.

Krok 1 — na gramy:

$$0{,}75\cdot1000=750\ \text{g}$$

Krok 2 — na dekagramy ($1$ dag $=10$ g):

$$750:10=75\ \text{dag}$$

Skrót: $1$ kg $=100$ dag, więc $0{,}75\cdot100=75$ dag ✔

Odpowiedź: $75$ dag.

Krok 1 — dwie cyfry po przecinku dają mianownik $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}$$

Krok 2 — skracamy przez $25$:

$$\frac{25:25}{100:25}=\frac14$$

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Krok 1 — wyrównujemy:

$$7{,}20-3{,}85$$

Krok 2 — odejmujemy pisemnie z pożyczaniem:

$$7{,}20-3{,}85=3{,}35$$

Sprawdzenie: $3{,}35+3{,}85=7{,}20$ ✔

Odpowiedź: $3{,}35$.

Dzielimy przez $1000$:

$$2500:1000=2{,}5\ \text{kg}$$

Kontrola sensu: kilogram to więcej niż gram, więc liczba kilogramów musi być mniejsza od liczby gramów ✔

Odpowiedź: D. $2{,}5$ kg.

Krok 1 — wszystko w centymetrach:

$$2{,}4\ \text{m}=240\ \text{cm},\qquad 1{,}2\ \text{m}=120\ \text{cm}$$

Krok 2 — odcięta długość:

$$85+120=205\ \text{cm}$$

Krok 3 — reszta:

$$240-205=35\ \text{cm}$$

Kluczowa uwaga: przed dodawaniem trzeba sprowadzić wszystkie wielkości do tej samej jednostki. Dodanie „$85+1{,}2$” byłoby bez sensu.

Odpowiedź: zostało $35$ cm.

Krok 1 — masa jednej paczki w gramach:

$$1000+350=1350\ \text{g}$$

Krok 2 — trzy paczki:

$$3\cdot1350=4050\ \text{g}$$

Krok 3 — na kilogramy:

$$4050:1000=4{,}05\ \text{kg}$$

Uwaga na zapis: $4{,}05$ kg to $4$ kg i $50$ g — zero po przecinku jest istotne. Zapis $4{,}5$ oznaczałby $4$ kg $500$ g.

Odpowiedź: $4{,}05$ kg.

Krok 1 — długość odciętych kawałków:

$$3\cdot1{,}15=3{,}45\ \text{m}$$

Krok 2 — reszta:

$$5-3{,}45=1{,}55\ \text{m}$$

Krok 3 — zamiana na metry i centymetry:

$$1{,}55\ \text{m}=1\ \text{m}\ 55\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $3{,}45+1{,}55=5$ m ✔

Odpowiedź: $1{,}55$ m, czyli $1$ m i $55$ cm.

Krok 1 — szacunek. Zaokrąglamy cenę do $3{,}50$ zł:

$$2\cdot3{,}50=7\ \text{zł}$$

Krok 2 — rachunek dokładny:

$$2\cdot3{,}49=6{,}98\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$7-6{,}98=0{,}02\ \text{zł}$$

Wniosek. Szacunek zawyżył wynik o $2$ grosze — bo cenę zaokrągliliśmy w górę o $1$ grosz, a kupujemy dwa kilogramy. Do sprawdzenia, czy wystarczy nam pieniędzy, taki szacunek w zupełności wystarcza.

Odpowiedź: zapłacimy $6{,}98$ zł; szacunek dawał $7$ zł.