Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie.
Przykład: $A(-1,1)$, $B(5,9)$: $|AB|=\sqrt{36+64}=10$.
Z $+$ na $-$: maksimum; z $-$ na $+$: minimum.
Przykład: $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime}=3x^2-3=0$ dla $x=\pm1$; max w $-1$, min w $1$.
Podstawą jest kwadrat o boku $a$.
Przykład: $a=3$, $H=4$: $V=36$, $P_c=66$, $d=\sqrt{34}$.
Liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
Przykład: Rzut kostką, wypadnie liczba parzysta: $P=\frac36=\frac12$.
Liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego (kolejność nie ma znaczenia).
Przykład: Wybór 2 osób z 6: $\binom{6}{2}=15$.
Miara rozproszenia danych wokół średniej.
Przykład: $\sigma^2=\frac83$: $\sigma=\sqrt{\frac83}\approx1{,}63$.
Liczba sposobów ustawienia $n$ różnych elementów w kolejności.
Przykład: 5 osób w kolejce: $5!=120$ ustawień.
Reguły różniczkowania wyrażeń złożonych z kilku funkcji.
Przykład: $(x^2\cdot x^3)^{\prime}=2x\cdot x^3+x^2\cdot3x^2=5x^4$.
Najczęściej używane wzory na pochodne.
Przykład: $(x^5)^{\prime}=5x^4$, $(7)^{\prime}=0$.
Dwa boki i kąt między nimi.
Przykład: $a=8$, $b=5$, $\gamma=30^\circ$: $P=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac12=10$.
Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.
Suma wartości podzielona przez ich liczbę.
Przykład: Oceny 4, 5, 3, 4: $\bar{x}=\frac{16}{4}=4$.
Każda wartość ma swoją wagę.
Przykład: Sprawdzian 5 (waga 3) i kartkówka 3 (waga 1): $\frac{15+3}{4}=4{,}5$.
Ciągi długości $k$ z $n$ elementów, które mogą się powtarzać.
Przykład: Kody PIN (4 cyfry): $10^4=10\,000$.
Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z $k$ niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy. Reguła dodawania: jeśli wybór to jeden z rozłącznych przypadków, liczby możliwości dodajemy.
$$P_n=n! \qquad\text{— permutacje (ustawienie wszystkich } n \text{ elementów)}$$
$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \qquad\text{— wariacje bez powtórzeń}$$
$$\overline{V}_n^k=n^k \qquad\text{— wariacje z powtórzeniami}$$
$$C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \qquad\text{— kombinacje}$$
Zadaj dwa pytania:
Przykład: „delegacja 3-osobowa z 5 osób” — kolejność nieistotna, więc $\binom53=10$. „Przewodniczący, zastępca, sekretarz z 5 osób” — kolejność istotna, więc $5\cdot4\cdot3=60$.
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$
Współczynniki tworzą kolejne wiersze trójkąta Pascala. Suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności.
Przyjmujemy $0!=1$. Mylenie kombinacji z wariacjami to najczęstszy błąd — zawsze zacznij od pytania o kolejność.
$$V=\pi r^2H,\qquad P_b=2\pi rH,\qquad P_c=2\pi r(r+H)$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach $2\pi r$ (obwód podstawy) na $H$. Przekrój osiowy to prostokąt $2r\times H$.
$$V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_b=\pi rl,\qquad P_c=\pi r(r+l)$$
gdzie $l$ to tworząca, powiązana z pozostałymi wymiarami przez twierdzenie Pitagorasa:
$$l=\sqrt{r^2+H^2}$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny.
$$V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2$$
Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.
Podwojenie promienia zwiększa pole $4$ razy, a objętość $8$ razy — bo pole zależy od $r^2$, a objętość od $r^3$.
W stożku do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. W zadaniach o przekroju osiowym będącym kwadratem (walec) zachodzi $H=2r$.
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le1$$
Wymaga, by wszystkie zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne.
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
$$P(A\,)=1-P(A)\quad\text{(zdarzenie przeciwne)}$$
Dla zdarzeń rozłącznych $P(A\cap B)=0$.
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
$$A,B\ \text{niezależne} \iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$
Niezależność i rozłączność to różne pojęcia — zdarzenia rozłączne o dodatnim prawdopodobieństwie są zawsze zależne.
$$P(B)=\sum_i P(B|A_i)P(A_i),\qquad P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
Warunki: $n$ prób niezależnych, stałe $p$, wynik dwuwartościowy (sukces/porażka).
Zwrot „co najmniej jeden” niemal zawsze wygodniej policzyć przez zdarzenie przeciwne: $1-P(\text{żaden})$. Pamiętaj, że $P(A|B)\ne P(B|A)$. Wzór Bernoulliego daje prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów — „co najmniej $k$” wymaga sumowania.
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a x^n=n\log_a x$$
$$\text{po zmianie o } p\%:\ a\left(1\pm\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{procent składany: } K_n=K_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^n$$
Podwyżka i obniżka o ten sam procent nie znoszą się — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad p=\frac{-b}{2a}$$
Postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ pokazuje wierzchołek $W=(p,\,q)$ wprost.
$$\text{arytmetyczny: } a_n=a_1+(n-1)r,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
$$\text{geometryczny: } a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \ (q\neq1)$$
$$c^2=a^2+b^2 \ \text{(Pitagoras)},\qquad P_{\triangle}=\tfrac12 ab\sin\gamma$$
Kąt wpisany jest połową środkowego opartego na tym samym łuku; kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad S=\left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\ \tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
$$k\parallel l \iff a_1=a_2,\qquad k\perp l \iff a_1a_2=-1$$
$$V_{gr}=P_p H,\qquad V_{ostr}=\tfrac13 P_p H,\qquad V_{walca}=\pi r^2H,\qquad V_{kuli}=\tfrac43\pi r^3$$
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad P(A\prime)=1-P(A)$$
Mediana jest odporna na wartości odstające, średnia nie. Przy grupach o różnej liczebności liczymy średnią ważoną, a nie zwykłą.
$3$–$4$–$5$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$ oraz ich wielokrotności (np. $9$–$12$–$15$).
Na maturze najwięcej punktów przepada nie na trudnych rachunkach, lecz na pominiętych warunkach: dziedzinie w równaniach wymiernych i logarytmicznych, warunku $\Delta\ge0$ przy wzorach Viete oraz odrzuceniu wyników bez sensu fizycznego (ujemny bok, ujemny wiek). Zawsze wracaj na koniec do pytania z treści zadania.
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
Informacja, że zaszło $B$, zawęża przestrzeń zdarzeń — dlatego dzielimy przez $P(B)$.
Praktycznie często wystarczy przeliczyć zdarzenia sprzyjające już wewnątrz $B$. Pytając o asa wśród kart czerwonych: asów czerwonych jest $2$, kart czerwonych $26$, więc $\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$.
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \iff P(A|B)=P(A)$$
Zajście jednego zdarzenia nie zmienia szans drugiego.
To dwa zupełnie różne pojęcia — mylenie ich jest bardzo częste.
Dla zdarzeń rozłącznych $P(A\cap B)=0$. Gdyby były niezależne, musiałoby zachodzić $P(A)P(B)=0$, czyli jedno z nich miałoby prawdopodobieństwo zero. Zdarzenia rozłączne o dodatnich prawdopodobieństwach nigdy nie są niezależne — przeciwnie, są maksymalnie zależne: gdy zaszło jedno, drugie na pewno nie zaszło.
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Odejmujemy część wspólną, bo inaczej policzylibyśmy ją dwa razy. Dla zdarzeń rozłącznych ten składnik znika.
$$P(A\prime)=1-P(A)$$
To najczęściej używany skrót w zadaniach z „co najmniej”. Zamiast sumować przypadki „dokładnie jeden”, „dokładnie dwa”, „trzy”, liczymy dopełnienie:
$$P(\text{co najmniej jeden orzeł w 3 rzutach})=1-\left(\tfrac12\right)^3=\tfrac78$$
Kolejne losowania są zależne — po wyjęciu kuli zmienia się zarówno licznik, jak i mianownik.
Dla $4$ białych z $10$ kul: $P(\text{dwie białe})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{2}{15}$.
$$P(A)=\sum_i P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$
Rysujemy drzewo stochastyczne i sumujemy iloczyny wzdłuż wszystkich ścieżek prowadzących do $A$.
Przykład — dwie linie produkcyjne: $P(W)=0{,}7\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}05=0{,}029$.
Kontrola: wynik zawsze mieści się między najmniejszym a największym z prawdopodobieństw warunkowych — to średnia ważona.
$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{P(A)}$$
Odwraca kierunek pytania: znamy skutek, pytamy o przyczynę.
Test wykrywa chorobę u $99\%$ chorych i myli się u $2\%$ zdrowych, a choruje $1\%$ populacji. Wtedy $P(T)=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297$, więc:
$$P(C|T)=\frac{0{,}0099}{0{,}0297}=\frac13$$
Dodatni wynik oznacza chorobę tylko w jednym przypadku na trzy. Powód: zdrowych jest $99$ razy więcej, więc nawet mały odsetek fałszywych alarmów daje w liczbach bezwzględnych dwa razy więcej wyników dodatnich niż prawdziwych wykryć.
Rozróżniaj $P(A|B)$ od $P(B|A)$ — to zwykle zupełnie różne liczby. Przy losowaniu sprawdzaj, czy jest ze zwracaniem, czy bez. I nie mnóż prawdopodobieństw, gdy zdarzenia nie są niezależne.
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają graniastosłup.
$$P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne będące trójkątami. Pole boczne to suma pól tych trójkątów.
Wysokość ostrosłupa $H$ jest prostopadła do podstawy i pada na jej środek. Apotema $h_b$ to wysokość ściany bocznej (trójkąta). To dwie różne wielkości — najczęstsze źródło błędów.
W ostrosłupie prawidłowym kluczowe są zależności z twierdzenia Pitagorasa:
Do apotemy używamy połowy boku, do krawędzi bocznej — połowy przekątnej.
Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ ścian, $n+1$ wierzchołków i $2n$ krawędzi.
Wszystkie cztery ściany to trójkąty równoboczne. Objętość o krawędzi $a$: $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}$.
Podwojenie wszystkich wymiarów zwiększa objętość ośmiokrotnie ($2^3$), a pole czterokrotnie ($2^2$).
Nie zapomnij o mnożniku $\frac13$ w objętości. Rozróżniaj apotemę od wysokości ostrosłupa.
To ciąg $n$ niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia, w którym rozróżniamy sukces (prawdopodobieństwo $p$) i porażkę ($q=1-p$).
$$P_n(k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$$
Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach. Symbol $\binom{n}{k}$ zlicza rozmieszczenia sukcesów, $p^k q^{n-k}$ to prawdopodobieństwo jednego takiego układu.
$$\sum_{k=0}^{n}P_n(k)=(p+q)^n=1$$
To wprost dwumian Newtona — wszystkie liczby sukcesów wyczerpują możliwości.
Przy pytaniach „co najmniej jeden” najłatwiej liczyć przez dopełnienie:
$$P(\ge1)=1-P(0)$$
Zamiast sumować wiele przypadków, odejmujemy jeden.
Gdy przestrzeń dzieli się na rozłączne zdarzenia $H_1,\dots,H_n$ pokrywające całość:
$$P(A)=\sum_i P(A|H_i)\cdot P(H_i)$$
Każda gałąź drzewa to iloczyn prawdopodobieństw wzdłuż drogi, a wyniki z różnych gałęzi dodajemy.
Pomaga uporządkować obliczenia: mnożymy wzdłuż gałęzi, dodajemy między gałęziami. Suma prawdopodobieństw wychodzących z każdego węzła wynosi $1$.
Sprawdź niezależność prób i stałość $p$. Przy zdarzeniach rzadkich fałszywe alarmy potrafią przeważać nad prawdziwymi wykryciami — licz ostrożnie.
Gdy wybór składa się z niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.
Gdy wybieramy jedną z rozłącznych grup możliwości (jedno albo drugie), liczby dodajemy. Np. książka fantasy albo kryminał: $6+4=10$.
Liczba $k$-elementowych ciągów ze zbioru $n$-elementowego (kolejność istotna, elementy mogą się powtarzać):
$$n^k$$
Podstawa to liczba dostępnych elementów, wykładnik — liczba pozycji.
Kody i PIN-y ($10^k$), ciągi binarne ($2^k$), tablice rejestracyjne, liczba funkcji ze zbioru $k$-elementowego w $n$-elementowy ($n^k$), liczba podzbiorów zbioru $n$-elementowego ($2^n$).
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem — trzeba to uwzględnić. Zaczynaj zliczanie od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
Mnożymy przy „i", dodajemy przy „albo". W $n^k$ nie zamień podstawy z wykładnikiem.
Permutacja to uporządkowanie wszystkich elementów zbioru.
$P_n=n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$; przyjmujemy $0!=1$.
$5$ osób ustawimy w rzędzie na $5!=120$ sposobów.
Gdy elementy się powtarzają, dzielimy przez silnie liczności powtórzeń.
Uporządkowany wybór $k$ różnych elementów z $n$-elementowego zbioru.
$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.
Przewodniczący i zastępca z $6$ osób: $6\cdot5=30$.
W wariacji kolejność ma znaczenie (inaczej niż w kombinacji).
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba $k$-elementowych kombinacji.
$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ oraz $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Kolejne wiersze to współczynniki dwumianu.
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ przy jednakowo prawdopodobnych wynikach.
$0\le P(A)\le1$; $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$.
$P(A')=1-P(A)$.
Rzut kostką: $P(\text{parzysta})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
Zajście jednego zdarzenia nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego.
Dwa rzuty kostką: $P(\text{dwie szóstki})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$.
Daje zdarzenia niezależne.
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dla $P(B)>0$.
Wiąże $P(A|B)$ z $P(B|A)$ i prawdopodobieństwami brzegowymi.
Rozkładamy przestrzeń na zdarzenia rozłączne pokrywające $\Omega$.
Diagnostyka, testy, aktualizacja prawdopodobieństwa po informacji.
Doświadczenie wieloetapowe przedstawiamy jako drzewo; na gałęziach zapisujemy prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwa mnożymy.
Prawdopodobieństwa rozłącznych ścieżek do zdarzenia dodajemy.
Suma prawdopodobieństw gałęzi z jednego węzła wynosi $1$.
Kula to zbiór punktów przestrzeni odległych od środka o nie więcej niż promień $r$; jej brzeg to sfera.
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$.
$P=4\pi r^2$.
Każdy przekrój płaszczyzną to koło.
Walec ma dwie równoległe podstawy będące kołami i powierzchnię boczną.
$V=\pi r^2\cdot H$.
$P_c=2\pi r^2+2\pi r H$.
To prostokąt o bokach $2r$ i $H$.
Kula wpisana w sześcian o krawędzi $a$ ma promień $\frac{a}{2}$; kula opisana ma promień $\frac{a\sqrt3}{2}$.
Promień podstawy walca wpisanego to $\frac{a}{2}$.
Środek kuli wpisanej i opisanej pokrywa się ze środkiem bryły.
Zadania o stosunku objętości i pól.
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole boczne.
Podstawą jest wielokąt foremny; obliczenia korzystają z jego pola i obwodu.
Przekątną bryły wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni.
Mogą być równoległe, przecinające się lub skośne.
Prosta może leżeć w płaszczyźnie, być z nią równoległa lub ją przebijać.
Równoległe albo przecinają się wzdłuż prostej.
Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt z jej rzutem; kąt dwuścienny mierzy nachylenie płaszczyzn.
Przecięcie bryły płaszczyzną daje figurę płaską (wielokąt).
W ostrosłupie daje figurę podobną do podstawy, w graniastosłupie — przystającą.
Przekątna ściany $a\sqrt2$, przekątna sześcianu $a\sqrt3$.
Obliczanie pól przekrojów i kątów.
Kąt nachylenia krawędzi do podstawy wyznaczamy z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość i rzut.
$\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ kąta ostrego jak w planimetrii.
Mierzymy go w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi.
W sześcianie przekątna ściany i krawędź tworzą kąt $45^\circ$.
$\Omega$ to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia.
Zdarzenie losowe to podzbiór $\Omega$; zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik.
Zdarzenie pewne to $\Omega$, niemożliwe to zbiór pusty.
Suma, iloczyn i różnica zdarzeń odpowiadają działaniom na zbiorach.
Reguła mnożenia (etapy „i") i dodawania (rozłączne „albo").
$P_n=n!$, wariacje bez powtórzeń $\frac{n!}{(n-k)!}$.
$\binom{n}{k}$ — wybór bez uwzględnienia kolejności.
Ustal, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$.
Suma kątów $180^\circ$; twierdzenia sinusów i cosinusów.
Trójkąt $\frac{1}{2}ab\sin C$; koło $\pi r^2$.
Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty; styczna prostopadła do promienia.
Stosunek pól figur podobnych to $k^2$.
$y=ax+b$; równoległe $a_1=a_2$, prostopadłe $a_1 a_2=-1$.
Punkt od prostej $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Iloczyn skalarny $a_1b_1+a_2b_2$; wektory prostopadłe mają iloczyn $0$.
W trójkącie prostokątnym i na okręgu jednostkowym.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Sumy i różnicy kątów, kąt podwójny, wzory redukcyjne.
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
$V=P_p H$, $P_c=2P_p+P_b$.
$V=\frac{1}{3}P_p H$.
Walec $V=\pi r^2 H$; kula $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, $P=4\pi r^2$.
Kąt między prostą a płaszczyzną oraz kąt dwuścienny.
$(x^n)'=nx^{n-1}$; pochodna sumy, iloczynu i złożenia.
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej.
Znak pochodnej wyznacza przedziały wzrostu i spadku.
W ekstremum $f'(x_0)=0$; stosujemy w zadaniach na wartość największą i najmniejszą.
Reguła mnożenia i dodawania; $P_n=n!$, $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$; $P(A')=1-P(A)$.
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
Średnia $\bar{x}$, mediana, dominanta.
$\frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$.
Rozstęp, wariancja i odchylenie standardowe $\sigma$.
Mniejsze $\sigma$ oznacza dane bardziej skupione.
Wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.
Dobierz twierdzenie lub wzór; rozbij problem na etapy.
Prowadź je starannie, kontroluj jednostki i dziedzinę.
Oszacuj wynik i sprawdź, czy ma sens w kontekście zadania.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Objętość walca o promieniu $4$ i wysokości $5$ wynosi:
Oblicz objętość stożka o promieniu podstawy $3$ i wysokości $7$.
Oblicz objętość i pole powierzchni kuli o promieniu $3$.
Tworząca stożka o promieniu $6$ i wysokości $8$ ma długość:
Oblicz pole powierzchni całkowitej walca o promieniu $2$ i wysokości $5$.
Przekrój osiowy walca o promieniu $3$ i wysokości $10$ jest:
Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o promieniu $5$ i tworzącej $13$.
Objętość kuli wynosi $\frac{500}{3}\pi$. Oblicz jej promień.
Jeśli promień kuli podwoimy, jej objętość:
Prostokąt o wymiarach $3\times8$ obrócono wokół dłuższego boku. Jaką bryłę otrzymano i jaka jest jej objętość?
Pole powierzchni bocznej stożka wyraża się wzorem:
Objętość walca wynosi $64\pi$, a jego wysokość $4$. Oblicz promień podstawy.
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$ obrócono wokół przyprostokątnej długości $8$. Oblicz objętość powstałej bryły.
Kula wpisana w walec zajmuje jego objętości:
Oblicz wysokość stożka o tworzącej $17$ i promieniu podstawy $8$.
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Jaki jest wtedy związek między tworzącą a promieniem?
Stożek ma promień podstawy $9$ i wysokość $12$. Oblicz tworzącą, objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
Do walca o promieniu $5$ i wysokości $12$ wlano wodę do połowy wysokości. Ile litrów wody wlano, jeśli wymiary podano w decymetrach? Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
Kula o promieniu $6$ została przetopiona na walec o tym samym promieniu. Jaka jest wysokość tego walca?
Porównaj objętości trzech brył o tym samym promieniu $r=3$ i tej samej wysokości $H=6$: walca, stożka oraz kuli o promieniu $3$. Uporządkuj je od najmniejszej.
Objętość walca o promieniu $r$ i wysokości $h$ to:
Oblicz objętość walca o promieniu $3$ i wysokości $5$ (z $\pi$).
Objętość stożka o promieniu $r$ i wysokości $h$ to:
Oblicz objętość stożka o promieniu $3$ i wysokości $4$ (z $\pi$).
Objętość kuli o promieniu $r$ to:
Oblicz objętość kuli o promieniu $3$ (z $\pi$).
Pole powierzchni kuli o promieniu $r$ to:
Oblicz pole powierzchni kuli o promieniu $5$ (z $\pi$).
Pole powierzchni bocznej walca to $2\pi r h$. Oblicz je dla $r=2$, $h=7$ (z $\pi$).
Oblicz pole powierzchni całkowitej walca o $r=3$ i $h=4$ (z $\pi$).
Stożek powstaje przez obrót wokół osi:
Walec ma objętość $50\pi$ i promień $5$. Oblicz jego wysokość.
Kula ma objętość $\frac{32}{3}\pi$. Oblicz promień.
Stożek i walec mają tę samą podstawę i wysokość. Objętość stożka to:
Stożek ma promień $6$ i wysokość $8$. Oblicz jego tworzącą (długość boku).
Objętość walca o $r=1$ i $h=1$ wynosi:
Ile litrów wody mieści cylindryczny zbiornik o promieniu $0{,}5$ m i wysokości $2$ m? (przyjmij $\pi\approx3{,}14$, $1$ m³ $=1000$ l)
Oblicz objętość stożka o tworzącej $13$ i promieniu $5$ (z $\pi$).
Kulę o promieniu $6$ przecięto płaszczyzną przez środek. Oblicz pole powstałego koła (przekroju) — z $\pi$.
Wykaż, że jeśli promień kuli podwoimy, to jej objętość wzrośnie ośmiokrotnie.
Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $12$ cm² i wysokości $5$ cm.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$ wynosi:
Prostopadłościan ma wymiary $3$ cm, $4$ cm i $5$ cm. Oblicz jego objętość.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie:
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach $2$ cm, $3$ cm i $4$ cm.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $10$. Oblicz jego objętość.
Sześcian ma objętość $27$ cm³. Jaka jest długość jego krawędzi?
Objętość prostopadłościanu wynosi $120$ cm³. Podstawa ma wymiary $4$ cm na $5$ cm. Oblicz wysokość.
Ile wierzchołków ma graniastosłup sześciokątny?
Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach $3$, $4$ i $12$.
Sześcian ma pole powierzchni całkowitej $96$ cm². Oblicz jego objętość.
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to:
Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $50$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?
Jeśli krawędź sześcianu podwoimy, to jego objętość wzrośnie:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $8$. Oblicz jego objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
Przekątna ściany sześcianu wynosi $5\sqrt2$. Oblicz objętość sześcianu.
Przekątna sześcianu ma długość $6\sqrt3$. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy wynosi $4$, a przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem $45^\circ$. Oblicz wysokość i objętość.
Ile wynosi $4!$ (silnia z $4$)?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $5$ różnych książek?
Rzucamy monetą i kostką. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
Ile dwucyfrowych liczb można utworzyć z cyfr $1$, $2$, $3$, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Ile dwucyfrowych liczb o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr $1$, $2$, $3$, $4$?
Ile wynosi $\binom{5}{2}$ (symbol Newtona)?
Na ile sposobów można wybrać $2$-osobową delegację z grupy $6$ osób?
Ile trzycyfrowych numerów PIN można utworzyć (cyfry $0$–$9$, mogą się powtarzać)?
Kiedy używamy kombinacji, a nie wariacji?
Na ile sposobów $3$ osoby mogą zająć miejsca na podium (I, II, III)?
Ile wynosi $\frac{6!}{4!}$?
Z talii $52$ kart losujemy $2$ karty. Na ile sposobów można to zrobić?
Ile różnych „słów” (ciągów liter) można ułożyć z liter wyrazu MATURA, przestawiając wszystkie litery? Uwaga: litera A powtarza się dwa razy.
Ile wynosi $\binom{n}{0}$ dla dowolnego $n$?
Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr $1$–$9$?
W szafie jest $4$ koszule i $3$ pary spodni. Na ile sposobów można dobrać strój (koszula + spodnie)?
Z grupy $10$ osób wybieramy $3$-osobowy zarząd, w którym role są jednakowe. Na ile sposobów można to zrobić?
Ile jest wszystkich możliwych wyników losowania $6$ liczb z $49$ (Lotto)? Zapisz działanie (nie licz wyniku).
Na ile sposobów $5$ osób może usiąść przy okrągłym stole, jeśli liczą się tylko wzajemne sąsiedztwa (obroty stołu uznajemy za to samo)?
W klasie jest $12$ dziewcząt i $8$ chłopców. Na ile sposobów można wybrać $2$ dziewczęta i $2$ chłopców do reprezentacji?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $5$ różnych książek?
Oblicz $\binom{6}{2}$ i wyjaśnij, co ta liczba oznacza.
Z grupy $8$ osób wybieramy $3$-osobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić?
Z grupy $8$ osób wybieramy przewodniczącego, zastępcę i sekretarza. Na ile sposobów?
Ile jest czterocyfrowych kodów PIN, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach?
Rozwiń wyrażenie $(a+b)^4$, korzystając z dwumianu Newtona.
Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby pierwszej wynosi:
Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki w dwóch rzutach kostką.
W urnie są $4$ kule białe i $6$ czarnych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.
Zdarzenia $A$ i $B$ spełniają $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}3$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Oblicz $P(A\cup B)$.
Rzucamy kostką. Zdarzenie $B$ to „wypadła liczba parzysta”, a $A$ to „wypadła szóstka”. Oblicz $P(A|B)$.
Zdarzenia rozłączne o dodatnim prawdopodobieństwie są:
Rzucamy monetą $5$ razy. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie $3$ orłów.
Prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi $0{,}8$. Strzelec oddaje $3$ niezależne strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi dokładnie dwa razy.
Ile wynosi $\binom{10}{8}$?
Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr $1,2,3,4,5$?
Na ile sposobów można rozdzielić $10$ osób na dwie drużyny po $5$ osób, jeśli drużyny są rozróżnialne (np. czerwona i niebieska)?
W klasie jest $12$ dziewczynek i $8$ chłopców. Losujemy $2$ osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą to osoby różnej płci.
W pudełku jest $5$ żarówek, w tym $2$ przepalone. Losujemy kolejno $2$ żarówki bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna będzie sprawna.
Ile wynosi $4!$ (cztery silnia)?
Oblicz $5!$.
Zgodnie z regułą mnożenia liczbę sposobów wykonania dwóch niezależnych czynności:
Ile dwucyfrowych „kodów” można ułożyć z cyfr $\{1,2,3\}$, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Na ile sposobów można ustawić $4$ osoby w rzędzie?
Ile wynosi $\frac{6!}{5!}$?
W restauracji są $3$ zupy i $4$ dania główne. Ile różnych zestawów (zupa + danie) można zamówić?
Ile liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr $\{1,2,3,4\}$?
Ile wynosi $0!$?
Na ile sposobów $3$ osoby mogą zająć miejsca na podium (I, II, III)?
Liczba wszystkich ustawień $n$ różnych elementów w rzędzie to:
Rzucamy monetą trzy razy. Ile jest wszystkich możliwych wyników?
Oblicz $\frac{7!}{5!}$.
Ile jest różnych „słów” (ciągów liter) z przestawienia liter wyrazu KOT?
Kod PIN składa się z $4$ cyfr (mogą się powtarzać). Ile jest możliwych kodów?
Ile wynosi $3!\cdot2!$?
Na ile sposobów można ustawić na półce $5$ różnych książek, jeśli $2$ konkretne mają stać obok siebie?
Ile liczb czterocyfrowych parzystych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr $\{1,2,3,4\}$?
Z $5$ osób wybieramy przewodniczącego, zastępcę i skarbnika (różne funkcje). Na ile sposobów?
Wykaż, że $n!=n\cdot(n-1)!$ i wykorzystaj to do obliczenia $\frac{10!}{9!}$.
Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy:
Dla niezależnych $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$ oblicz $P(A\cap B)$.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów przy dwóch rzutach monetą to:
Rzucamy kostką dwa razy. Oblicz $P$ wyrzucenia dwóch szóstek.
Dla niezależnych $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}5$ oblicz $P(A\cap B)$.
Prawdopodobieństwo trafienia w cel wynosi $0{,}8$. Oblicz $P$ dwóch trafień w dwóch niezależnych strzałach.
Dla niezależnych $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}6$ oblicz $P(A\cap B)$.
$P$ dwóch orłów w dwóch rzutach monetą?
Zdarzenia niezależne spełniają:
$P$ dwóch szóstek w dwóch rzutach kostką?
$P$ trafienia $=0{,}9$. $P$ dwóch trafień?
Dla niezależnych $P(A)=0{,}2$, $P(B)=0{,}5$: $P(A\cap B)$?
$P$ trzech orłów w trzech rzutach monetą?
$P$ wylosowania orła to (moneta symetryczna):
$P$ dwóch reszek pod rząd?
Dla niezależnych $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}25$: $P(A\cap B)$?
$P$ dwóch niezależnych zdarzeń o $P=0{,}5$ każde, że oba zajdą?
Rzut kostką i monetą — liczba wszystkich wyników:
$P$ wyrzucenia orła i szóstki (moneta+kostka)?
Prawdopodobieństwo trafienia $0{,}8$. Ile wynosi $P$ co najmniej jednego trafienia w dwóch strzałach?
Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru:
Oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy $30$ cm² i wysokości $9$ cm.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ cm i wysokość $10$ cm. Oblicz jego objętość.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie:
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej. Zapisz ten wzór.
Ile ścian ma ostrosłup o podstawie sześciokątnej?
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $8$ i wysokość ściany bocznej (apotemę) $5$. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Ostrosłup ma objętość $60$ cm³ i wysokość $5$ cm. Oblicz pole podstawy.
Czworościan foremny to ostrosłup, którego wszystkie ściany są:
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma pole podstawy $9\sqrt3$ i wysokość $8$. Oblicz objętość.
Ile krawędzi ma ostrosłup czworokątny?
Oblacz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $6$ i apotemie $4$.
Ostrosłup i graniastosłup mają jednakowe podstawy i jednakowe wysokości. Objętość graniastosłupa to $150$ cm³. Ile wynosi objętość ostrosłupa?
Wysokość ostrosłupa to odcinek łączący wierzchołek z:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma objętość $48$ i krawędź podstawy $6$. Oblicz jego wysokość.
Jeśli wszystkie wymiary ostrosłupa zwiększymy dwukrotnie, jego objętość wzrośnie:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$. Oblicz apotemę (wysokość ściany bocznej) oraz pole powierzchni bocznej.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $10$ i wysokość $12$. Oblicz długość krawędzi bocznej.
Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi $6$.
Wykaż, że objętość ostrosłupa o polu podstawy $P$ i wysokości $H$ nie zmieni się, jeśli podstawę zastąpimy inną figurą o tym samym polu (przy tej samej wysokości). Zilustruj to przykładem.
Ile wynosi $4!$ (silnia)?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $5$ różnych książek?
Liczba permutacji zbioru $n$-elementowego wynosi:
Oblicz $\dfrac{6!}{4!}$.
Ile wynosi $0!$?
Na ile sposobów $3$ osoby mogą usiąść na $3$ krzesłach?
Ile różnych „słów" (dowolnych ciągów liter) można utworzyć, przestawiając litery wyrazu KOT?
Oblicz $\dfrac{8!}{6!\cdot2!}$.
Ile wynosi $\dfrac{5!}{3!}$?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $4$ osoby, jeśli dwie konkretne muszą stać obok siebie?
Ile wynosi $\dfrac{(n+1)!}{n!}$?
Rozwiąż równanie $n!=6$.
Na ile sposobów można ustawić na półce $3$ książki matematyczne i $2$ fizyczne, tak aby matematyczne stały razem?
Ile permutacji ma zbiór $6$-elementowy?
Na ile sposobów $5$ osób może ustawić się w kolejce, jeśli jedna konkretna osoba musi być pierwsza?
Ile wynosi $3!\cdot2!$?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie litery wyrazu MAMA?
Na ile sposobów $4$ osoby mogą usiąść przy okrągłym stole (obroty traktujemy jako to samo ustawienie)?
Rozwiąż równanie $\dfrac{(n+2)!}{n!}=30$.
Wykaż, że liczba permutacji zbioru $n$-elementowego wynosi $n!$.
Ile wynosi $4!$?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $5$ różnych książek?
Ile trzycyfrowych kodów można utworzyć z cyfr od $0$ do $9$, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Ile wynosi $0!$?
Oblicz $\frac{6!}{4!}$ bez wypisywania wszystkich czynników.
Ile jest wariacji bez powtórzeń $3$-elementowych ze zbioru $5$-elementowego?
Ile różnych czterocyfrowych liczb można utworzyć z cyfr $1$, $2$, $3$, $4$, jeśli każda cyfra ma być użyta dokładnie raz?
Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego i zastępcę spośród $12$ uczniów?
Ile jest możliwych wyników rzutu trzema monetami?
Ile jest różnych sposobów rozdania $3$ różnych nagród między $7$ osób, jeśli jedna osoba może dostać najwyżej jedną nagrodę?
Ile jest ciągów pięcioliterowych złożonych z liter A i B?
Ile czterocyfrowych numerów PIN można ustawić, jeśli cyfry mogą się powtarzać? A ile, jeśli nie mogą?
Na ile sposobów $6$ osób może usiąść na $6$ krzesłach ustawionych w rzędzie?
Które obliczenie odpowiada wariacji z powtórzeniami?
Ile jest trzyliterowych „słów” (niekoniecznie sensownych) złożonych z różnych liter alfabetu $26$-literowego?
Ile wynosi $\frac{8!}{6!\cdot2!}$?
Ile czterocyfrowych liczb można utworzyć z cyfr $0$, $1$, $2$, $3$, używając każdej dokładnie raz?
Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $5$ osób, jeśli dwie konkretne osoby muszą stać obok siebie?
Ile jest liczb trzycyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych? Ile spośród nich ma wszystkie cyfry różne?
Z talii $52$ kart losujemy kolejno $3$ karty bez zwracania. Ile jest możliwych wyników, jeśli kolejność ma znaczenie? Ile, jeśli nie ma?
Dziedziną funkcji $f(x)=\frac{2}{x-5}$ jest zbiór:
Miejsce zerowe funkcji $f(x)=3x-12$ to:
Dla funkcji $f(x)=x^2-3x$ oblicz $f(-2)$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+3$ jest:
Oblicz $\sqrt{48}$ w postaci uproszczonej.
Funkcja liniowa $f(x)=-2x+5$ przecina oś OY w punkcie:
Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(0,\,-1)$ i $(2,\,5)$.
Ile wynosi $\log_2 8+\log_2 2$?
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-5x+6$.
Cena po podwyżce o $25\%$ wynosi $250$ zł. Cena przed podwyżką to:
Funkcja $f(x)=(x-3)^2+2$ ma wartość najmniejszą równą:
Rozwiąż nierówność $2x-6>0$ i zapisz przedziałem.
Oblicz odległość punktów $A=(2,\,-1)$ i $B=(6,\,2)$.
Funkcja $f(x)=2^x$ jest:
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(1,\,3)$ i $B=(7,\,9)$. Wyznacz $S$.
Wyrażenie $\frac{x^2-9}{x-3}$ dla $x\neq3$ upraszcza się do:
Wyznacz największą wartość funkcji $f(x)=-x^2+4x+1$.
Rozwiąż równanie $2^{x+1}=16$.
Prosta przechodzi przez punkt $A=(1,\,2)$ i jest równoległa do prostej $y=3x-4$. Wyznacz jej równanie.
Lokata $8000$ zł na $5\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach i ile wyniosą same odsetki?
Dziedziną funkcji $f(x)=\sqrt{x-3}$ jest:
Ile wynosi $5!$ i ile sposobów ustawienia w rzędzie ma $5$ różnych osób?
Rzucamy kostką dwa razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że za każdym razem wypadnie szóstka.
Funkcja $f(x)=-3x+7$ jest:
Ile jest różnych czterocyfrowych kodów PIN, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2-4$ jest:
Wyznacz miejsca zerowe i wierzchołek funkcji $f(x)=x^2-8x+15$.
Z grupy $10$ osób wybieramy trzyosobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić?
Rzucamy monetą cztery razy. Prawdopodobieństwo wyrzucenia samych orłów wynosi:
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$.
Ile wynosi $\binom{6}{2}$?
Funkcja liniowa przechodzi przez punkty $(1,\,3)$ i $(4,\,12)$. Wyznacz jej wzór.
W urnie jest $5$ kul białych i $7$ czarnych. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej oraz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
Funkcja $f(x)=2^x$ jest:
Ile jest liczb trzycyfrowych o wszystkich cyfrach różnych?
Funkcja $f(x)=\log_2 x$ jest określona dla:
Z talii $52$ kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest asem lub kierem.
Funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe $-2$ i $6$ oraz przechodzi przez punkt $(0,-12)$. Wyznacz jej wzór w postaci ogólnej.
W klasie jest $12$ dziewcząt i $14$ chłopców. Losujemy dwuosobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą to dwie dziewczyny.
Dana jest funkcja $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. Wyznacz dziedzinę, miejsce zerowe oraz asymptoty wykresu.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $8$ i $15$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 60^\circ+\cos 30^\circ$.
Oblicz odległość punktów $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Pole trójkąta równobocznego o boku $6$ wynosi:
Oblicz pole trójkąta o bokach $7$ i $10$ oraz kącie $30^\circ$ między nimi.
Kąt wpisany oparty na łuku, któremu odpowiada kąt środkowy $100^\circ$, ma miarę:
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,\,1)$ i $B=(3,\,7)$.
Oblicz pole koła o obwodzie $12\pi$.
Objętość walca o promieniu $3$ i wysokości $10$ wynosi:
W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $10$ jeden z kątów ostrych ma $30^\circ$. Oblicz pole tego trójkąta.
Środek odcinka o końcach $A=(-1,\,3)$ i $B=(5,\,7)$ to:
Przekątna kwadratu ma $8\sqrt2$. Oblicz bok i pole kwadratu.
Objętość ostrosłupa o polu podstawy $30$ i wysokości $9$ wynosi:
Oblicz odległość punktu $P=(2,\,3)$ od prostej $4x-3y+5=0$.
Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\frac{8}{17}$. Oblicz $\cos\alpha$.
Okrąg ma równanie $(x+2)^2+(y-5)^2=9$. Jaki jest jego środek?
W trapezie równoramiennym podstawy mają $10$ i $4$, a ramię $5$. Oblicz wysokość i pole.
Oblicz objętość i pole powierzchni kuli o promieniu $6$.
Trójkąt ma wierzchołki $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(0,\,8)$. Oblicz jego obwód i promień okręgu opisanego.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$. Oblicz objętość, pole powierzchni całkowitej i długość przekątnej bryły.
Rozwiązaniem równania $3x-12=0$ jest:
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=5$ i $r=3$. Oblicz $a_{12}$.
Rozwiązaniem nierówności $2x-6>0$ jest:
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=2$. Oblicz $a_5$.
Rozwiązaniem nierówności $-3x>9$ jest:
Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1=2$ i $r=3$.
Rozwiąż układ równań $\begin{cases}x+y=10\\ 2x-y=5\end{cases}$
Równanie $x^2+4=0$:
Liczby $x$, $8$, $32$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Suma szeregu geometrycznego $6+2+\frac23+\dots$ wynosi:
Rozwiąż nierówność $x^2-9\le0$.
W ciągu arytmetycznym $a_3=11$ i $a_7=27$. Wyznacz $a_1$ i $r$.
Rozwiązaniem równania $|x-2|=5$ jest:
Rozwiąż równanie $\frac{2x+1}{x-3}=3$.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2-6x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $27$, a ich iloczyn $585$. Wyznacz te wyrazy.
Rozwiąż nierówność $\frac{x-1}{x+2}\le0$.
Pan Kowalski wpłacił $10\,000$ zł na lokatę o oprocentowaniu $4\%$ w skali roku z coroczną kapitalizacją odsetek. Ile będzie miał po $3$ latach? (pomijamy podatek, zaokrąglij do pełnych złotych)
Średnia arytmetyczna liczb $4$, $7$, $10$, $11$ wynosi:
Wyznacz medianę zestawu: $3$, $8$, $5$, $12$, $7$.
Wyznacz dominantę zestawu: $2$, $5$, $5$, $7$, $9$, $5$, $2$.
Mediana zestawu $2$, $4$, $6$, $10$ wynosi:
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{5}{x-4}$.
Która miara jest odporna na wartości odstające?
Średnia pięciu liczb wynosi $12$. Po dołączeniu szóstej liczby średnia wzrosła do $13$. Jaka to liczba?
W klasie $10$ uczniów dostało ocenę $4$, a $15$ uczniów ocenę $5$. Oblicz średnią ocenę w klasie.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+3$ jest:
Oblicz rozstęp i medianę zestawu: $12$, $8$, $20$, $15$, $8$, $17$.
Funkcja $f(x)=-2x+6$ jest:
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=3x-15$ oraz punkt przecięcia jej wykresu z osią $OY$.
W zestawie $x$, $6$, $9$, $11$ mediana wynosi $7{,}5$. Wyznacz $x$, wiedząc, że $x\lt 6$.
Funkcja kwadratowa $f(x)=(x-2)^2+5$ ma wierzchołek w punkcie:
Średnia ocen ucznia z pięciu sprawdzianów wynosi $3{,}8$. Jaką ocenę musi dostać z szóstego, aby średnia wzrosła do $4$?
Funkcja parzysta ma wykres symetryczny względem:
W zestawie danych $2$, $4$, $4$, $6$, $9$ oblicz średnią, medianę i dominantę. Która z tych miar najlepiej opisuje „typową” wartość?
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+1}{x^2-9}$.
Funkcja kwadratowa dana jest wzorem $f(x)=x^2-6x+5$. Wyznacz miejsca zerowe, współrzędne wierzchołka i zbiór wartości.
Do zestawu $3$, $5$, $7$, $9$ dodano jedną liczbę i średnia się nie zmieniła. Jaką liczbę dodano? Jak zmieniła się mediana?
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.