Klasa 3 Technikum

Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.

Przykład: Suma liczb od 1 do 100: $S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050$.

Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy $r$.

Przykład: $a_1=3$, $r=4$: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.

Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez iloraz $q$.

Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot3^4=162$.

Logarytm to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $b$.

Przykład: $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$; $\log_3\frac{1}{9}=-2$.

Do czego służy: Opisuje zjawisko wybijania elektronów z metalu przez światło — dowód korpuskularnej natury światła (Einstein, Nagroda Nobla 1921).

Zmienne

• $E_k$ — energia kinetyczna wybitego elektronu (J)
• $h = 6{,}626 \times 10^{-34}$ J·s — stała Plancka
• $f$ — częstotliwość światła (Hz)
• $W$ — praca wyjścia elektronu z metalu (J) — zależy od materiału

Energia fotonu

$$E_{\text{fotonu}} = hf = \frac{hc}{\lambda}$$

Kiedy zachodzi fotoefekt?

Tylko gdy $hf \geq W$, czyli gdy częstotliwość światła $f \geq f_{\min} = W/h$. Natężenie światła nie ma znaczenia — liczy się tylko częstotliwość.

Jak stosować

1. Oblicz energię fotonu: $E = hf$ lub $E = hc/\lambda$
2. Sprawdź czy $E > W$ (czy zajdzie fotoefekt)
3. Oblicz energię kinetyczną: $E_k = hf - W$

Przykład

Światło $f = 10^{15}$ Hz pada na metal o $W = 3 \times 10^{-19}$ J. Energia elektronu?

1. $E = hf = 6{,}63\times10^{-34} \cdot 10^{15} = 6{,}63\times10^{-19}$ J
2. $E_k = 6{,}63\times10^{-19} - 3\times10^{-19} = 3{,}63\times10^{-19}$ J

⚠️ Częsty błąd: Zwiększenie natężenia (jasności) światła nie zwiększy $E_k$ elektronu — tylko więcej elektronów zostanie wybitych. Większa $E_k$ wymaga większej częstotliwości.

$a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna.

Przykład: Trójkąt 3–4–5, kąt naprzeciw boku 3: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.

Pozwala obliczyć jedną funkcję, znając drugą.

Przykład: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, kąt ostry: $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.

Liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.

Przykład: Rzut kostką, wypadnie liczba parzysta: $P=\frac36=\frac12$.

Liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego (kolejność nie ma znaczenia).

Przykład: Wybór 2 osób z 6: $\binom{6}{2}=15$.

Objętość kuli i pole sfery o promieniu $r$.

Przykład: $r=3$: $V=36\pi$, $P=36\pi$.

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.

Przykład: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$.

Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.

Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.

Miara rozproszenia danych wokół średniej.

Przykład: $\sigma^2=\frac83$: $\sigma=\sqrt{\frac83}\approx1{,}63$.

Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych.

Przykład: $A(1,2)$, $B(4,6)$: $|AB|=\sqrt{9+16}=5$.

Liczba sposobów ustawienia $n$ różnych elementów w kolejności.

Przykład: 5 osób w kolejce: $5!=120$ ustawień.

Do czego służy: Podstawowy związek łączący prędkość fali z jej długością i częstotliwością — dotyczy fal mechanicznych i elektromagnetycznych.

Zmienne

• $v$ — prędkość fali (m/s)
• $\lambda$ (lambda) — długość fali (m) — odległość między sąsiednimi grzbietami
• $f$ — częstotliwość (Hz = 1/s)
• $T = 1/f$ — okres drgań (s)

Stałe do zapamiętania

• Światło w próżni: $c = 3 \times 10^8$ m/s
• Dźwięk w powietrzu: $v \approx 340$ m/s

Jak stosować

1. Wypisz dane: dwie z trzech (v, λ, f)
2. Oblicz brakującą: $\lambda = v/f$, lub $f = v/\lambda$
3. Pamiętaj: $v = \lambda f = \lambda/T$

Przykład

Stacja radiowa nadaje na 100 MHz. Długość fali?

1. $f = 100 \times 10^6 = 10^8$ Hz, $v = c = 3 \times 10^8$ m/s
2. $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{3\times10^8}{10^8} = 3$ m

⚠️ Częsty błąd: Prędkość fali zależy od ośrodka, częstotliwość zależy od źródła. Gdy fala przechodzi do innego ośrodka — zmienia się $\lambda$ i $v$, ale $f$ pozostaje ta sama!

Potęgujemy każdy czynnik osobno.

Przykład: $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000$, $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.

Do czego służy: Opisuje co dzieje się ze światłem na granicy dwóch ośrodków optycznych.

Zmienne

• $\alpha$ — kąt padania (od normalnej do powierzchni)
• $\beta$ — kąt odbicia
• $n_1, n_2$ — współczynniki załamania obu ośrodków ($n_{\text{powietrze}} \approx 1$, $n_{\text{woda}} = 1{,}33$, $n_{\text{szkło}} \approx 1{,}5$)
• $\alpha_2$ — kąt załamania

Całkowite wewnętrzne odbicie

Gdy światło przechodzi z gęstszego do rzadszego ośrodka ($n_1 > n_2$) i kąt padania przekracza kąt graniczny $\alpha_c$:

$$\sin\alpha_c = \frac{n_2}{n_1}$$

Jak stosować

1. Narysuj normalną do powierzchni w punkcie padania
2. Mierz kąty od normalnej (nie od powierzchni!)
3. Zastosuj prawo Snella: $n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2$

Przykład

Promień świetlny pada z powietrza ($n_1 = 1$) na szkło ($n_2 = 1{,}5$) pod kątem 45°. Kąt załamania?

1. $\sin\alpha_2 = \frac{1 \cdot \sin 45°}{1{,}5} = \frac{0{,}707}{1{,}5} = 0{,}471$
2. $\alpha_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28°$

⚠️ Częsty błąd: Kąt padania mierz od normalnej do powierzchni, nie od samej powierzchni. Jeśli mierzysz od płaszczyzny, odejmij od 90°.

Do czego służy: Obliczanie ile jąder promieniotwórczych pozostanie po czasie $t$ oraz jak długo trwa rozpad do danego poziomu.

Zmienne

• $N(t)$ — liczba jąder po czasie $t$
• $N_0$ — liczba jąder na początku ($t = 0$)
• $T_{1/2}$ — okres połowicznego zaniku: czas, po którym $N$ spada o połowę
• $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$ — stała rozpadu

Jak stosować

1. Oblicz ile okresów połowicznych minęło: $n = t / T_{1/2}$
2. Pozostało: $N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$
3. Lub bezpośrednio: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Przykład

Jod-131 ma $T_{1/2} = 8$ dni. Ile pozostanie po 24 dniach z $N_0 = 10^{20}$ jąder?

1. $n = 24 / 8 = 3$ okresy
2. $N = 10^{20} \cdot (1/2)^3 = 10^{20} / 8 = 1{,}25 \times 10^{19}$

⚠️ Częsty błąd: Po każdym $T_{1/2}$ liczba jąder zmniejsza się o połowę, nie o $T_{1/2}$ procent! Każdy okres działa niezależnie.

Do czego służy: Zapis i analiza przemian jądrowych — rozpadów alfa, beta i reakcji syntezy/rozszczepienia.

Zasady zachowania w reakcjach jądrowych

• Liczba masowa A — suma przed = suma po
• Liczba atomowa Z — suma ładunków przed = suma po
• Energia: całkowita energia (masa + kinetyczna) jest zachowana

Trzy typy rozpadów

• Rozpad $\alpha$ ($^4_2$He): $^A_Z X \to \;{}^{A-4}_{Z-2}Y + \;{}^4_2\text{He}$ — A maleje o 4, Z maleje o 2
• Rozpad $\beta^-$ (elektron): $^A_Z X \to \;{}^A_{Z+1}Y + e^- + \bar{\nu}$ — A bez zmian, Z rośnie o 1
• Promieniowanie $\gamma$ (foton): A i Z bez zmian — tylko zmiana stanu energetycznego

Jak uzupełniać reakcje

1. Zsumuj liczby masowe ($A$) po obu stronach — muszą być równe
2. Zsumuj liczby atomowe ($Z$) po obu stronach — muszą być równe
3. Brakujące $A$ i $Z$ identyfikują pierwiastek (tablica układu okresowego)

Przykład

Uran $^{238}_{92}$U emituje cząstkę $\alpha$. Produkt?

1. $A: 238 - 4 = 234$; $Z: 92 - 2 = 90$
2. Element $Z = 90$ → Tor: $^{234}_{90}$Th

⚠️ Częsty błąd: Neutrina ($\nu$) w rozpadzie $\beta$ też mają zerową liczbę masową i atomową — pamiętaj o nich w bilansie, choć nie zmieniają A ani Z produktu głównego.

Opisuje także proste pionowe ($B=0$).

Przykład: $2x-y+3=0$ to $y=2x+3$; $x=4$ to prosta pionowa.

Okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$.

Przykład: $(x-2)^2+(y+1)^2=9$: środek $(2,-1)$, $r=3$.

Do czego służy: Wyznaczenie miejsca i cech obrazu przedmiotu umieszczonego przed soczewką.

Zmienne

• $f$ — ogniskowa (m): $f > 0$ — soczewka skupiająca, $f \lt 0$ — rozpraszająca
• $d_o$ — odległość przedmiotu od soczewki (m)
• $d_i$ — odległość obrazu (m): $d_i > 0$ — obraz rzeczywisty; $d_i \lt 0$ — pozorny
• $m$ — powiększenie: $|m| > 1$ — obraz większy; $m \lt 0$ — odwrócony

Zdolność skupiająca

$Z = \frac{1}{f}$ [dioptrie, D]; dla kombinacji soczewek: $Z = Z_1 + Z_2$

Jak stosować

1. Wypisz: $f$ (z zadania lub dioptrioów $D$), $d_o$
2. Oblicz $d_i$: $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}$
3. Oblicz powiększenie: $m = -\frac{d_i}{d_o}$
4. Interpretuj: czy obraz jest rzeczywisty ($d_i > 0$), prosty ($m > 0$), powiększony ($|m| > 1$)?

Przykład

Soczewka skupiająca $f = 20$ cm, przedmiot w odległości $d_o = 30$ cm. Obraz?

1. $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$ → $d_i = 60$ cm
2. $m = -\frac{60}{30} = -2$ — obraz rzeczywisty, odwrócony, 2× powiększony

⚠️ Częsty błąd: $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}$ — to odwrotności! Nie obliczaj $d_i = f - d_o$. Przelicz $f$ na metry jeśli masz cm.

Do czego służy: Masa i energia są wzajemnie przeliczalne — nawet mała masa odpowiada ogromnej energii (bo $c^2$ jest bardzo duże).

Zmienne

• $E$ — energia (J)
• $m$ — masa (kg)
• $c = 3 \times 10^8$ m/s — prędkość światła w próżni

Defekt masy w reakcjach jądrowych

Jądro waży mniej niż suma wolnych protonów i neutronów. Różnica masy $\Delta m$ zamienia się w energię wiązania:

$$E_b = \Delta m \cdot c^2$$

Jak stosować

1. Oblicz defekt masy: $\Delta m = m_{\text{reaktanty}} - m_{\text{produkty}}$ (w kg lub w u, gdzie $1 \text{ u} = 1{,}66 \times 10^{-27}$ kg)
2. Oblicz energię: $E = \Delta m \cdot c^2$

Przykład

Defekt masy w reakcji rozszczepienia: $\Delta m = 0{,}001$ u = $1{,}66 \times 10^{-30}$ kg.

1. $E = 1{,}66\times10^{-30} \cdot (3\times10^8)^2 = 1{,}66\times10^{-30} \cdot 9\times10^{16} \approx 1{,}5 \times 10^{-13}$ J

⚠️ Częsty błąd: Masa musi być w kilogramach. Jednostka atomowa masy: $1 \text{ u} = 1{,}66 \times 10^{-27}$ kg. Przelicz przed podstawieniem.

Pozwalają liczyć wartości dla kątów typu 75° czy 15°.

Przykład: $\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Każda wartość ma swoją wagę.

Przykład: Sprawdzian 5 (waga 3) i kartkówka 3 (waga 1): $\frac{15+3}{4}=4{,}5$.

Współrzędne środka to średnie współrzędnych końców.

Przykład: $A(2,6)$, $B(8,-2)$: $S=(5,2)$.

$l$ — tworząca stożka.

Przykład: $r=3$, $H=4$, $l=5$: $V=12\pi$, $P_c=9\pi+15\pi=24\pi$.

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.

Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.

Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.

Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.

Objętość i pole powierzchni walca o promieniu $r$ i wysokości $H$.

Przykład: $r=3$, $H=5$: $V=45\pi$, $P_c=18\pi+30\pi=48\pi$.

Cosinus: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$.

Przykład: Drabina 4 m oparta pod kątem 60°: wysokość $4\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\approx3{,}46$ m.

Sprowadzają funkcje kątów rozwartych do kątów ostrych.

Przykład: $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$, $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$.