Klasa 2 Technikum

Do czego służy: Obliczanie energii potrzebnej do zmiany stanu skupienia (topnienie, parowanie) lub oddawanej przy krzepnięciu/skraplaniu — bez zmiany temperatury!

Zmienne

• $Q$ — ciepło (J)
• $m$ — masa (kg)
• $L_t$ — ciepło topnienia substancji [J/kg]; lód: $L_t = 334\,000$ J/kg
• $L_p$ — ciepło parowania [J/kg]; woda: $L_p = 2\,260\,000$ J/kg

Uwaga kluczowa

Podczas topnienia i parowania temperatura nie zmienia się! Ciepło jest zużywane wyłącznie na zmianę stanu skupienia (zrywanie wiązań między cząsteczkami).

Pełny bilans (ogrzewanie + topnienie)

$$Q = mc(T_t - T_0) + mL_t + mc'(T_f - T_t)$$

Przykład

Ile ciepła potrzeba do stopienia 500 g lodu w 0°C?

1. $Q = 0{,}5 \cdot 334\,000 = 167\,000$ J $= 167$ kJ

⚠️ Częsty błąd: Ciepło topnienia/parowania to dodatkowe ciepło, ponad to, które zużywasz na samo ogrzewanie. Jeśli lód jest w −20°C, najpierw ogrzejesz do 0°C ($Q = mc\Delta T$), potem dopiero roztopisz ($Q = mL_t$).

Do czego służy: Oblicza ile ciepła (J) trzeba dostarczyć (lub ile zostanie oddane) by zmienić temperaturę ciała o $\Delta T$.

Zmienne

• $Q$ — ciepło (J); $Q > 0$ — pobrane, $Q \lt 0$ — oddane
• $m$ — masa ciała (kg)
• $c$ — ciepło właściwe substancji [J/(kg·K)]; woda: $c = 4200$, żelazo: $c = 450$
• $\Delta T = T_k - T_p$ — zmiana temperatury (K lub °C, wartości różnicy są równe)

Bilans cieplny

W układzie izolowanym: $\sum Q_i = 0$ (ciepło oddane = ciepłu pobranemu):

$$m_1 c_1 (T_k - T_1) + m_2 c_2 (T_k - T_2) = 0$$

Przykład

Ile energii trzeba do podgrzania 2 kg wody od 20°C do 100°C?

1. $\Delta T = 100 - 20 = 80 \text{ K}$
2. $Q = 2 \cdot 4200 \cdot 80 = 672\,000 \text{ J} = 672 \text{ kJ}$

⚠️ Częsty błąd: $\Delta T$ możesz liczyć w stopniach Celsjusza (różnica jest taka sama jak w Kelwinach). Ale $c$ jest dla konkretnej substancji — nie używaj wartości dla wody do obliczania metalu!

Logarytm to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $b$.

Przykład: $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$; $\log_3\frac{1}{9}=-2$.

Funkcja odwrotna do wykładniczej; wykres przechodzi przez $(1,0)$.

Przykład: $f(x)=\log_3 x$: $f(9)=2$, $f\left(\frac{1}{3}\right)=-1$.

Dla $a>1$ rosnąca, dla $0

Przykład: $f(x)=2^x$: $f(3)=8$, $f(-1)=\frac{1}{2}$.

$a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna.

Przykład: Trójkąt 3–4–5, kąt naprzeciw boku 3: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.

Do czego służy: Zasada zachowania energii dla układów termodynamicznych — energia wewnętrzna układu zmienia się gdy dostarcza się ciepło lub wykonuje się nad nim pracę.

Zmienne

• $\Delta U$ — zmiana energii wewnętrznej (J)
• $Q$ — ciepło dostarczone do układu ($Q > 0$) lub oddane ($Q \lt 0$)
• $W$ — praca wykonana nad układem ($W > 0$) lub przez układ ($W \lt 0$)

Uwaga o konwencji

Niektóre podręczniki piszą $\Delta U = Q - W$, gdzie $W$ to praca wykonana przez układ. Sprawdź konwencję w swoim podręczniku!

Dla przemiany izochorycznej ($V = \text{const}$)

Gaz nie zmienia objętości → nie wykonuje pracy → $W = 0$, więc $\Delta U = Q$

Sprawność silnika cieplnego

$$\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \leq 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ gdzie $Q_1$ — ciepło pobrane, $Q_2$ — oddane, $T_1, T_2$ — temperatury źródeł.

Przykład

Gaz pobiera $Q = 500$ J i wykonuje pracę $W = 200$ J. Zmiana energii wewnętrznej?

1. $\Delta U = Q - W_{\text{przez układ}} = 500 - 200 = 300 \text{ J}$

⚠️ Częsty błąd: Konwencja znaku! Praca przez układ to ujemna praca nad układem. Czytaj uważnie czy zadanie mówi o pracy „wykonanej przez gaz" czy „nad gazem".

Pozwala obliczyć jedną funkcję, znając drugą.

Przykład: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, kąt ostry: $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.

Objętość kuli i pole sfery o promieniu $r$.

Przykład: $r=3$: $V=36\pi$, $P=36\pi$.

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.

Przykład: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$.

Do czego służy: Obliczanie mocy urządzenia elektrycznego oraz energii zużytej w czasie. Podstawa rachunków za prąd.

Zmienne

• $P$ — moc (W = watt = V·A)
• $U$ — napięcie (V), $I$ — natężenie (A), $R$ — opór (Ω)
• $W$ — energia elektryczna (J)
• $t$ — czas (s)

Który wzór na moc wybrać?

• Znasz $U$ i $I$: $P = UI$
• Znasz $I$ i $R$: $P = I^2 R$
• Znasz $U$ i $R$: $P = U^2/R$

Przykład

Żarówka 60 W przy napięciu 230 V. Opór i natężenie prądu?

1. $I = \frac{P}{U} = \frac{60}{230} \approx 0{,}26 \text{ A}$
2. $R = \frac{U^2}{P} = \frac{230^2}{60} \approx 882 \text{ Ω}$
3. Energia w 1 h: $W = 60 \cdot 3600 = 216\,000 \text{ J} = 0{,}06 \text{ kWh}$

⚠️ Częsty błąd: $1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \text{ J}$ — nie mylić kilowatogodzin z kilodżulami. Prąd elektryczny rachunki płacimy w kWh, nie w dżulach.

Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.

Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.

Do czego służy: Natężenie pola $E$ opisuje „siłę" pola w danym punkcie; potencjał $V$ to energia przypadająca na jednostkowy ładunek.

Zmienne

• $E$ — natężenie pola elektrycznego (V/m = N/C)
• $F$ — siła na ładunek próbny $q$ (N)
• $U$ — napięcie między okładkami (V)
• $d$ — odległość między okładkami (m)
• $V$ — potencjał (V)
• $k \approx 9 \times 10^9$, $Q$ — ładunek źródłowy, $r$ — odległość

Kondensator

• Pojemność: $C = \frac{Q}{U}$ (F — farad)
• Energia: $E_C = \frac{1}{2}CU^2$

Przykład

Kondensator: $d = 5$ mm, napięcie 100 V. Natężenie pola?

1. $E = \frac{U}{d} = \frac{100}{0{,}005} = 20\,000 \text{ V/m}$

⚠️ Częsty błąd: $d$ w metrach (5 mm = 0,005 m). I nie mylić natężenia pola elektrycznego $E$ [V/m] z energią $E$ [J] — to dwa różne $E$!

Od razu widać miejsca zerowe.

Przykład: $f(x)=2(x+1)(x-4)$ — miejsca zerowe $-1$ i $4$.

Potęgujemy każdy czynnik osobno.

Przykład: $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000$, $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.

Do czego służy: Obliczanie siły elektrostatycznej między dwoma ładunkami punktowymi — odpowiednik prawa grawitacji dla ładunków.

Zmienne

• $F$ — siła (N)
• $k \approx 9 \times 10^9 \text{ N·m}^2/\text{C}^2$ — stała Coulomba
• $q_1, q_2$ — ładunki (C — kulombów)
• $r$ — odległość między ładunkami (m)

Kierunek siły

• Ładunki jednoimienne (++ lub −−): odpychają się
• Ładunki różnoimienne (+−): przyciągają się

Jak stosować

1. Zidentyfikuj ładunki $q_1, q_2$ i odległość $r$
2. Podstaw wartości bezwzględne do wzoru, oblicz $F$
3. Określ kierunek (odpychanie/przyciąganie) z znaków ładunków

Przykład

Dwa ładunki $q_1 = 2 \times 10^{-6}$ C i $q_2 = 3 \times 10^{-6}$ C w odległości 0,1 m. Siła?

1. $F = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2\times10^{-6} \cdot 3\times10^{-6}}{0{,}01} = 9 \times 10^9 \cdot 6\times10^{-10} = 5{,}4 \text{ N}$

⚠️ Częsty błąd: Odległość do kwadratu — gdy $r = 0{,}1$ m, $r^2 = 0{,}01$ m², nie 0,1! I ładunki w kulombach (nie mikrokulambach).

Do czego służy: Prawo Ohma łączy napięcie, prąd i opór w obwodzie elektrycznym — podstawa każdej analizy obwodów.

Zmienne

• $U$ — napięcie elektryczne (V — wolt)
• $I$ — natężenie prądu (A — amper)
• $R$ — opór (Ω — om)
• $\rho$ — oporność właściwa (Ω·m, zależy od materiału)
• $l$ — długość przewodnika (m)
• $S$ — pole przekroju poprzecznego (m²)

Połączenia rezystorów

• Szeregowe: $R = R_1 + R_2 + R_3$ (natężenie takie samo, napięcia się dodają)
• Równoległe: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ (napięcie takie samo, prądy się dodają)

Przykład

Bateria 9 V, opór 30 Ω. Natężenie prądu?

1. $I = \frac{U}{R} = \frac{9}{30} = 0{,}3 \text{ A}$

⚠️ Częsty błąd: Przy połączeniu równoległym $R$ wypadkowy jest mniejszy niż najmniejszy z oporów — nie dodajesz po prostu $R_1 + R_2$. Dodajesz odwrotności!

Do czego służy: Uproszczone prawa dla gazu stałej masy, gdy jedna z wielkości ($T$, $p$ lub $V$) pozostaje stała.

Trzy przemiany

• Izotermiczna ($T = \text{const}$): $p_1 V_1 = p_2 V_2$ — prawo Boyle'a-Mariotte'a
  Przykład: ściskanie strzykawki w stałej temperaturze
• Izobaryczna ($p = \text{const}$): $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ — prawo Gay-Lussaca
  Przykład: ogrzewanie balonika przy stałym ciśnieniu
• Izochoryczna ($V = \text{const}$): $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ — prawo Charlesa
  Przykład: ogrzewanie butli gazowej (zamkniętej)

Jak stosować

1. Zidentyfikuj przemianę: co jest stałe ($T$, $p$ czy $V$)?
2. Przelicz temperaturę na Kelwiny
3. Zastosuj odpowiedni wzór — skrócona forma z $p_1 V_1/T_1 = p_2 V_2/T_2$

⚠️ Częsty błąd: Temperatura koniecznie w Kelwinach! I pamiętaj który parametr jest stały — to on jest po lewej i prawej stronie bez zmian.

Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.

Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.

Do czego służy: Opisuje każdy stan gazu doskonałego (idealnego) — ciśnienie, objętość i temperaturę w jednym równaniu.

Zmienne

• $p$ — ciśnienie (Pa = N/m²)
• $V$ — objętość (m³)
• $n$ — liczba moli (mol)
• $R = 8{,}314 \text{ J/(mol·K)}$ — uniwersalna stała gazowa
• $T$ — temperatura bezwzględna (K); $T = t[°C] + 273$

Dla stałej masy gazu (forma przejściowa)

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} = nR = \text{const}$$

Jak stosować

1. Przelicz temperaturę: $T = t + 273$ K — ZAWSZE!
2. Przelicz ciśnienie na Pa, objętość na m³
3. Zastosuj $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$ do znalezienia nieznanej wielkości

Przykład

Gaz w 27°C, 1 atm, 2 L. Ogrzano do 127°C przy stałym ciśnieniu. Objętość?

1. $T_1 = 300 \text{ K}$, $T_2 = 400 \text{ K}$, $p_1 = p_2$
2. $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = 2 \cdot \frac{400}{300} = 2{,}67 \text{ L}$

⚠️ Częsty błąd: Temperatura MUSI być w Kelwinach! $0°C = 273 K$. Wstawienie stopni Celsjusza (np. 0°C do licznika) da błędny wynik.

Do czego służy: Siła Lorentza — działanie pola magnetycznego na poruszający się ładunek. Indukcja — wytwarzanie napięcia przez ruch przewodnika w polu magnetycznym.

Siła Lorentza

• $F$ — siła (N)
• $q$ — ładunek (C)
• $v$ — prędkość ładunku (m/s)
• $B$ — indukcja pola magnetycznego (T — tesla)
• $\alpha$ — kąt między $\vec{v}$ a $\vec{B}$
• Max gdy $\alpha = 90°$ (prostopadle); zero gdy $\alpha = 0°$ (równolegle)

Indukcja elektromagnetyczna

• SEM przewodnika długości $L$ poruszającego się z prędkością $v$ prostopadle do $B$: $\mathcal{E} = BLv$
• Prawo Faradaya: $\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ (zmiana strumienia $\Phi = BA$ indukuje SEM)

Przykład

Elektron ($q = 1{,}6 \times 10^{-19}$ C) porusza się z $v = 10^6$ m/s prostopadle do pola $B = 0{,}1$ T. Siła?

1. $F = qvB\sin 90° = 1{,}6\times10^{-19} \cdot 10^6 \cdot 0{,}1 = 1{,}6\times10^{-14}$ N

⚠️ Częsty błąd: Siła Lorentza jest prostopadła zarówno do prędkości, jak i do pola — używaj reguły prawej dłoni lub reguły śruby do wyznaczenia kierunku.

Pozwalają liczyć wartości dla kątów typu 75° czy 15°.

Przykład: $\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

$l$ — tworząca stożka.

Przykład: $r=3$, $H=4$, $l=5$: $V=12\pi$, $P_c=9\pi+15\pi=24\pi$.

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.

Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.

Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.

Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.

Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania jednocześnie.

Przykład: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=3,\ y=2$.

Objętość i pole powierzchni walca o promieniu $r$ i wysokości $H$.

Przykład: $r=3$, $H=5$: $V=45\pi$, $P_c=18\pi+30\pi=48\pi$.

Cosinus: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$.

Przykład: Drabina 4 m oparta pod kątem 60°: wysokość $4\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\approx3{,}46$ m.

Decyduje o liczbie miejsc zerowych: 2 ($\Delta>0$), 1 ($\Delta=0$), 0 ($\Delta<0$).

Przykład: $x^2-6x+9$: $\Delta=36-36=0$ — jedno miejsce zerowe.

$a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — punkt przecięcia z osią $Oy$: $(0,b)$.

Przykład: $f(x)=2x-3$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$.

Sprowadzają funkcje kątów rozwartych do kątów ostrych.

Przykład: $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$, $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$.

Związki między pierwiastkami a współczynnikami (dla $\Delta\ge0$).

Przykład: $x^2-7x+10=0$: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$, czyli $2$ i $5$.