Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Suma kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego wynosi:
Trzy kąty czworokąta wypukłego mają $90^\circ$, $100^\circ$ i $80^\circ$. Oblicz czwarty.
Czworokąt wypukły to taki, w którym:
Ile wspólnych stycznych mają dwa okręgi rozłączne zewnętrznie?
Ile wspólnych stycznych mają dwa okręgi styczne zewnętrznie?
W trapezie kąty przy jednym ramieniu wynoszą $70^\circ$ i $x$. Ile wynosi $x$?
Kąty czworokąta wypukłego są w stosunku $1:2:3:4$. Oblicz je.
Dwa okręgi o promieniach $3$ i $5$ mają środki oddalone o $10$. Ile mają wspólnych stycznych?
Ile wspólnych stycznych mają dwa okręgi przecinające się?
W czworokącie wypukłym trzy kąty są równe, a czwarty jest o $30^\circ$ większy od każdego z nich. Oblicz wszystkie kąty.
Ile wspólnych stycznych ma okrąg leżący wewnątrz drugiego, bez punktów wspólnych?
Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Wyjaśnij, dlaczego suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$.
Dwa okręgi o promieniach $4$ i $2$ są styczne wewnętrznie. Oblicz odległość ich środków i podaj liczbę wspólnych stycznych.
W równoległoboku suma dwóch sąsiednich kątów wynosi:
Zestaw liczby wspólnych stycznych w zależności od wzajemnego położenia dwóch okręgów.
Który czworokąt ma wszystkie kąty równe, ale niekoniecznie równe boki?
Dwa okręgi o promieniach $6$ i $2$ mają środki oddalone o $4$. Określ ich wzajemne położenie i liczbę wspólnych stycznych.
W czworokącie wypukłym $ABCD$ kąt $A=90^\circ$, $B=120^\circ$, a kąty $C$ i $D$ są równe. Oblicz $C$ i $D$.
Oblicz długość wspólnej stycznej zewnętrznej dwóch okręgów o promieniach $5$ i $2$, których środki są oddalone o $25$ (odcinek między punktami styczności).
Wykaż, że suma kątów zewnętrznych czworokąta wypukłego (po jednym przy każdym wierzchołku) wynosi $360^\circ$.
Skróć wyrażenie $\dfrac{2x}{x^2}$ (dla $x\neq0$).
Wykonaj mnożenie $\dfrac{3}{x}\cdot\dfrac{x}{5}$ (dla $x\neq0$).
Dodaj: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x}$ (dla $x\neq0$).
Dzielenie przez ułamek $\dfrac{a}{b}$ zastępujemy:
Wykonaj dzielenie $\dfrac{4}{x}:\dfrac{2}{x}$ (dla $x\neq0$).
Skróć $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ (dla $x\neq2$).
Dodaj $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ i podaj dziedzinę.
Wykonaj mnożenie $\dfrac{x+3}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x+3}$ (dla $x\neq0$, $x\neq-3$).
Ile wynosi $\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{x}$ sprowadzone do wspólnego mianownika (dla $x\neq0$)?
Skróć wyrażenie $\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ i podaj dziedzinę.
Wynik działania $\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{4}{x^2}$ (dla $x\neq0$) to:
Odejmij $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}$ i uprość (dla $x\neq1$).
Wykonaj dzielenie $\dfrac{x^2-1}{x}:\dfrac{x+1}{x^2}$ (dla $x\neq0$, $x\neq-1$).
Odwrotnością wyrażenia $\dfrac{x+2}{x-3}$ jest:
Dodaj $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+1}$ i podaj dziedzinę.
Wyrażenie $\dfrac{x^2+x}{x+1}$ po skróceniu (dla $x\neq-1$) to:
Uprość wyrażenie $\dfrac{x^2-4}{x^2-x-6}$ i podaj dziedzinę.
Wykonaj działanie $\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}$ i uprość.
Uprość wyrażenie $\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right):\dfrac{x+y}{xy}$ (dla $x,y\neq0$, $x\neq-y$).
Wykaż, że dla $x\neq0$, $x\neq1$ wyrażenie $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x^2-x}$ jest równe $\dfrac{x+1}{x}$.
Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-a)$ jest równa:
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3-2x+5$ przez $(x-1)$.
Sprawdź, czy $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x)=x^3-3x^2+4$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oblicz $W(-1)$ dla $W(x)=2x^3+x^2-x+3$ i podaj resztę z dzielenia przez $(x+1)$.
Reszta z dzielenia $W(x)=x^4+1$ przez $(x-1)$ wynosi:
Wykonaj dzielenie $\left(x^2+5x+6\right):(x+2)$.
Dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x)=x^3+mx-6$ dzieli się przez $(x-2)$?
Jeśli $W(3)=0$, to wielomian $W(x)$ dzieli się przez:
Wielomiany $W(x)=ax^2+3x+1$ oraz $P(x)=2x^2+bx+1$ są równe. Wyznacz $a$ i $b$.
Stopień ilorazu przy dzieleniu wielomianu stopnia $5$ przez wielomian stopnia $2$ wynosi:
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)$ wynosi $3$, a przez $(x+2)$ wynosi $-6$. Oblicz $W(1)$ i $W(-2)$.
Wykonaj dzielenie $\left(x^3-1\right):(x-1)$.
Wielomian $W(x)=x^3+2x^2-x-2$ ma pierwiastek $x=1$, bo:
Dla jakich $a$ i $b$ wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny zarówno przez $(x-1)$, jak i przez $(x-2)$?
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ jest wielomianem stopnia:
Wielomian $W(x)=x^3-4x^2+ax+b$ przy dzieleniu przez $(x-1)$ daje resztę $2$, a przez $(x+1)$ resztę $-6$. Wyznacz $a$ i $b$.
Rozłóż wielomian $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$ na czynniki, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest $x=1$.
Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu $W(x)=x^3-2x^2-5x+6$.
Wykaż, że dla dowolnego $n$ naturalnego wielomian $x^n-1$ dzieli się przez $(x-1)$.
Dziedziną funkcji $f(x)=\dfrac{2}{x}$ jest zbiór:
Oblicz wartość funkcji $f(x)=\dfrac{6}{x}$ dla $x=3$ oraz $x=-2$.
Wykresem funkcji $f(x)=\dfrac{a}{x}$ (dla $a\neq0$) jest:
Podaj równania asymptot funkcji $f(x)=\dfrac{3}{x}$.
Funkcja $f(x)=\dfrac{5}{x}$ jest w każdym z przedziałów swojej dziedziny:
Wyznacz dziedzinę funkcji homograficznej $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$.
Podaj asymptotę pionową funkcji $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ oraz jej dziedzinę.
Funkcja $f(x)=\dfrac{1}{x}+3$ powstaje z $\dfrac{1}{x}$ przez przesunięcie:
Sprawdź, czy punkt $P=(2,\ 3)$ należy do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{6}{x}$.
Dla jakiego $a$ wykres funkcji $f(x)=\dfrac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(4,\ 5)$?
W której ćwiartce NIE leży żadna gałąź hiperboli $f(x)=\dfrac{-4}{x}$?
Podaj obie asymptoty funkcji $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+3$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{6}{x}=2$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=\dfrac{2}{x}$ jest:
Prostokąt ma pole $24$ cm². Zapisz zależność długości boku $y$ od boku $x$ i podaj, jakim typem funkcji jest ta zależność.
Funkcja $f(x)=\dfrac{1}{x}$ jest funkcją:
Zapisz funkcję $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$ w postaci $\dfrac{a}{x+1}+c$ i podaj asymptoty.
Rozwiąż równanie $\dfrac{x+2}{x-1}=3$.
Wykres funkcji $f(x)=\dfrac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(2,\ 6)$. Oblicz $a$, a następnie sprawdź, czy punkt $(-3,\ -4)$ też leży na wykresie.
Wykaż, że funkcja $f(x)=\dfrac{a}{x}$ (dla $a>0$) jest malejąca w przedziale $(0,+\infty)$.
Wyróżnik funkcji $y=x^2-5x+6$ wynosi:
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
Odcięta wierzchołka $y=x^2-6x+5$ to:
Podaj wierzchołek paraboli $y=(x-2)^2-1$.
Ile miejsc zerowych ma funkcja $y=x^2+1$?
Wyznacz wartość najmniejszą funkcji $y=(x-1)^2+3$.
Wyróżnik $y=x^2-4x+3$?
Rozwiąż $x^2-4x+3=0$.
Odcięta wierzchołka $y=x^2-8x+1$?
Liczba miejsc zerowych, gdy $\Delta=0$:
Wierzchołek $y=x^2-6x+5$?
Rozwiąż $x^2=25$.
Dla $\Delta\lt 0$ liczba pierwiastków:
Wartość najmniejsza $y=(x-2)^2+5$?
Rozwiąż $x^2-x-6=0$.
Ramiona $y=-x^2+3$ skierowane:
Miejsca zerowe $y=x^2-9$?
Oś symetrii $y=x^2-6x+5$:
Wartość największa $y=-(x-1)^2+4$?
Piłka: $h(t)=-5t^2+20t$. Po jakim czasie osiąga maksimum?
Dziedziną funkcji $f(x)=\log_2 x$ jest:
Oblicz $f(8)$ dla $f(x)=\log_2 x$.
Wykres funkcji $f(x)=\log_a x$ przechodzi przez punkt:
Funkcja $f(x)=\log_3 x$ jest:
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log_2(x-3)$.
Rozwiąż równanie $\log_2 x=4$.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do:
Oblicz $\log_3 27+\log_3 1$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=\log_2 x$ jest:
Rozwiąż równanie $\log_5(2x)=2$.
Ile wynosi $\log_{10}100$?
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log_3(2x-4)$.
Oblicz $\log_2 32-\log_2 4$.
Funkcja $f(x)=\log_{1/2}x$ (podstawa $\frac12$) jest:
Rozwiąż równanie $\log_2(x-1)=3$.
Ile wynosi $\log_7 7$?
Oblicz $\log_2 6+\log_2\frac{2}{3}$.
Rozwiąż równanie $\log_3(x+2)=\log_3 7$.
Skala Richtera jest logarytmiczna. Trzęsienie o magnitudzie $6$ jest ile razy silniejsze (w amplitudzie) od magnitudy $4$? (każda jednostka to $\times10$)
Wykaż, że funkcja logarytmiczna $f(x)=\log_a x$ i wykładnicza $g(x)=a^x$ są wzajemnie odwrotne, sprawdzając $f(g(x))=x$.
Funkcja $f(x)=3^x$ jest:
Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f(x)=2^x$.
Przez jaki punkt przechodzi wykres każdej funkcji $f(x)=a^x$?
Czy funkcja $f(x)=\left(\frac13\right)^x$ jest rosnąca czy malejąca? Uzasadnij.
Oblicz $f(-2)$ dla funkcji $f(x)=2^x$.
Asymptotą poziomą wykresu funkcji $f(x)=2^x$ jest prosta:
Porównaj liczby $2^{100}$ i $2^{99}$ bez ich obliczania. Która jest większa i ile razy?
Wykres funkcji $f(x)=2^x$ przesunięto o $3$ jednostki w górę. Podaj wzór nowej funkcji i jej asymptotę poziomą.
Która nierówność jest prawdziwa?
Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji logarytmicznej $f(x)=\log_2 x$.
Ile wynosi $\left(\frac{2}{3}\right)^0$?
Rozwiąż nierówność $3^x>27$.
Rozwiąż nierówność $\left(\frac12\right)^x>\frac18$.
Wykres funkcji $f(x)=2^{x-1}$ powstaje z wykresu $y=2^x$ przez przesunięcie:
Uporządkuj rosnąco liczby: $2^3$, $3^2$, $2^{-1}$, $1$.
Funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości:
Populacja bakterii rośnie według wzoru $N(t)=200\cdot2^t$, gdzie $t$ to czas w godzinach. Po ilu godzinach populacja przekroczy $3000$?
Wykres funkcji $y=2^x$ odbito symetrycznie względem osi OY. Podaj wzór otrzymanej funkcji i określ jej monotoniczność.
Wartość samochodu maleje o $20\%$ rocznie. Początkowo kosztował $60\,000$ zł. Zapisz wzór na wartość po $t$ latach i oblicz wartość po $2$ latach.
Dla funkcji $f(x)=2^x-4$ wyznacz miejsce zerowe, asymptotę poziomą i zbiór wartości.
Ile wynosi $\log_2 16$?
Oblicz $\log_3 9$.
Ile wynosi $\log_a 1$?
Rozwiąż równanie $2^x=32$.
Oblicz $\log_2 8+\log_2 4$.
Wyznacz dziedzinę funkcji $y=\log_2(x-1)$.
Oblicz $\log_2 64$.
Rozwiąż $2^x=128$.
$\log_a a$ wynosi:
Oblicz $\log_4 16$.
Oblicz $\log_2 16-\log_2 4$.
Dziedzina $y=\log_3(x+2)$?
Funkcja $y=a^x$ ($a>1$) jest:
Rozwiąż $3^x=27$.
Oblicz $\log_2 6+\log_2\tfrac23$.
Zbiór wartości $y=2^x$?
Rozwiąż $\log_2 x=6$.
Logarytm jest odwrotny do:
Oblicz $\log_{10}100+\log_{10}10$.
Rozwiąż $2^{x+1}=16$.
Oblicz $\log_3 81$.
Oblicz $\log_2 8+\log_2 4$ na dwa sposoby.
Oblicz $\log_5 100-\log_5 4$.
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\log_2 x$?
Rozwiąż równanie $2^x=32$.
Rozwiąż równanie $3^{2x-1}=27$.
Funkcja $f(x)=\left(\frac12\right)^x$ jest:
Rozwiąż równanie $\log_2(x-1)=3$.
Ile wynosi $\log_a 1$ dla dowolnej dopuszczalnej podstawy $a$?
Oblicz $\log_2 5\cdot\log_5 8$, korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu.
Rozwiąż równanie $4^x=8$.
Wykres funkcji $f(x)=a^x$ (dla $a>0$, $a\neq1$) zawsze przechodzi przez punkt:
Rozwiąż nierówność $2^x>16$.
Oblicz $\log_3 \frac{1}{9}$ oraz $\log_{\frac13} 9$.
Które wyrażenie jest równe $\log_a x^3$?
Rozwiąż równanie $\log_3 x+\log_3(x-2)=1$.
Bakterie podwajają się co godzinę. Początkowo było ich $500$. Zapisz wzór na liczbę bakterii po $t$ godzinach i oblicz, ile będzie ich po $6$ godzinach.
Ile wynosi $\log_{10} 1000$?
Rozwiąż równanie $9^x-4\cdot3^x+3=0$.
Kapitał $10\,000$ zł ulokowano na $5\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Zapisz wzór na kwotę po $n$ latach i oblicz, po ilu pełnych latach kapitał przekroczy $12\,000$ zł. Przyjmij $1{,}05^4\approx1{,}216$ oraz $1{,}05^3\approx1{,}158$.
Funkcja wykładnicza ma postać:
Oblicz wartość funkcji $f(x)=2^x$ dla $x=5$.
Oblicz $f(0)$ dla $f(x)=7^x$.
Wykres każdej funkcji $f(x)=a^x$ przechodzi przez punkt:
Funkcja $f(x)=3^x$ jest:
Funkcja $f(x)=\left(\frac12\right)^x$ jest:
Rozwiąż równanie $2^x=16$.
Rozwiąż równanie $3^x=\frac{1}{9}$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=2^x$ jest:
Rozwiąż równanie $5^x=125$.
Ile wynosi $\left(\frac13\right)^{-2}$?
Rozwiąż równanie $2^{x+1}=8$.
Rozwiąż równanie $4^x=2$.
Równanie $2^x=-4$:
Rozwiąż równanie $3^{2x-1}=27$.
Ile wynosi $2^{-3}$?
Rozwiąż równanie $2^x\cdot2^3=32$.
Substancja promieniotwórcza rozpada się o połowę co rok. Zapisz funkcję ilości i oblicz, ile zostanie z $80$ g po $3$ latach.
Rozwiąż równanie $9^x=27$.
Wykaż, że funkcja $f(x)=2^x$ spełnia zależność $f(x+1)=2f(x)$.
Dla kąta rozwartego (między $90^\circ$ a $180^\circ$) cosinus jest:
Ile wynosi $\sin90^\circ$?
Dla kąta rozwartego sinus jest:
Ile wynosi $\cos90^\circ$?
Korzystając ze wzoru redukcyjnego, oblicz $\sin150^\circ$.
Oblicz $\cos120^\circ$.
Oblicz $\sin120^\circ$.
Oblicz $\cos150^\circ$.
Dla kąta rozwartego tangens jest:
Oblicz $\sin180^\circ$.
Oblicz $\cos180^\circ$.
Oblicz $\sin135^\circ$.
Oblicz $\cos135^\circ$.
$\sin90^\circ$ wynosi:
Oblicz $\sin150^\circ+\cos150^\circ$.
Jeśli $\cos\alpha=-\tfrac12$ i $\alpha$ rozwarty, podaj $\alpha$.
Sprawdź jedynkę dla $\alpha=120^\circ$: $\sin^2+\cos^2$.
Dla $\alpha=90^\circ$ tangens:
Oblicz $\operatorname{tg}135^\circ$.
Jeśli $\sin\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha$ rozwarty, oblicz $\cos\alpha$.
Ile wynosi $\log_2 8$?
Populacja bakterii podwaja się co godzinę. Początkowo jest $100$. Ile po $3$ godzinach?
Ile wynosi $\log_{10}1000$?
Oblicz $\log_3 27$.
Kapitał $1000$ zł rośnie o $10\%$ rocznie. Ile wyniesie po $2$ latach?
Rozwiąż równanie $2^x=16$.
Oblicz $\log_2 32$.
Bakterie podwajają się co godzinę, początkowo $200$. Ile po $2$ h?
$\log_{10}10000$ wynosi:
Rozwiąż $3^x=81$.
Kapitał $2000$ zł, $5\%$ rocznie. Ile po roku?
Oblicz $\log_5 25$.
Substancja rozpada się o połowę co godzinę, początkowo $80$ g. Ile po $3$ h?
$\log_a 1$ wynosi:
Rozwiąż $2^x=64$.
Oblicz $\log_2 8+\log_2 2$.
Kapitał $1000$ zł, $10\%$ rocznie. Ile po $2$ latach?
Rozwiąż $\log_2 x=5$.
Trzęsienie magnitudy $7$ vs $5$ — ile razy silniejsze (×10 na jednostkę)?
Populacja rośnie o $20\%$ rocznie, początkowo $500$. Ile po $2$ latach?
Dziedziną funkcji $y=\tfrac{1}{x-3}$ jest:
Oblicz wartość funkcji $y=\tfrac{6}{x}$ dla $x=3$.
Asymptota pionowa funkcji $y=\tfrac{1}{x-2}$ to:
Podaj asymptotę poziomą funkcji $y=\tfrac{1}{x}+4$.
W których ćwiartkach leżą gałęzie $y=\tfrac{2}{x}$?
Oblicz $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}$.
Dziedzina $y=\tfrac{1}{x+3}$?
Wartość $y=\tfrac{8}{x}$ dla $x=4$?
Asymptota pozioma $y=\tfrac1x+2$:
Oblicz $\tfrac23\cdot\tfrac34$.
Oblicz $\tfrac34:\tfrac12$.
Asymptota pionowa $y=\tfrac{1}{x-5}$?
Wykresem $y=\tfrac{a}{x}$ jest:
Oblicz $\tfrac16+\tfrac13$.
Uprość $\tfrac{2x}{4}$.
Odwrotność $\tfrac35$?
Dla jakiego $x$ funkcja $y=\tfrac{6}{x}$ ma wartość $3$?
Gałęzie $y=\tfrac{2}{x}$ ($a>0$) leżą w ćwiartkach:
Oblicz $\tfrac{x}{y}\cdot\tfrac{y}{x}$ ($x,y\neq0$).
Prędkość $v=\tfrac{120}{t}$. Ile wynosi $v$ dla $t=3$ h? Co opisuje?
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{3}{x}$?
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$.
Dla funkcji $f(x)=\frac{6}{x}$ oblicz $f(2)$, $f(3)$ i $f(-6)$.
Wykresem funkcji $f(x)=\frac{a}{x}$ dla $a>0$ jest hiperbola leżąca w ćwiartkach:
Skróć wyrażenie $\frac{6x}{9x^2}$ i podaj założenia.
Wykonaj dodawanie $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}$ (dla $x\neq0$).
Oblicz $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{x}$ (dla $x\neq0$).
Wykonaj dzielenie $\frac{x}{4}:\frac{x}{8}$ (dla $x\neq0$).
Rozwiąż równanie $\frac{6}{x}=3$.
Wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ ma asymptoty:
Wykonaj odejmowanie $\frac{3}{x}-\frac{1}{x+1}$ (dla $x\neq0$ i $x\neq-1$).
Rozwiąż równanie $\frac{x+2}{x-1}=2$.
Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, a ich wykres to hiperbola $y=\frac{a}{x}$. Jeśli $y=4$ dla $x=3$, to ile wynosi współczynnik $a$?
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+5}{x^2-9}$.
Skróć wyrażenie $\frac{x^2-4}{x+2}$ i podaj założenia.
Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{1}{x-3}+2$ powstaje z $y=\frac{1}{x}$ przez przesunięcie:
Rozwiąż równanie $\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{4}$.
Rozwiąż równanie $\frac{x}{x-2}=\frac{4}{x-2}$.
Dwaj malarze mają pomalować ścianę. Pierwszy zrobiłby to sam w $6$ godzin, drugi w $12$ godzin. W ile godzin pomalują ścianę razem?
Rozwiąż równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}$ (podaj założenia).
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $30^\circ$ ma miarę:
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu. Ile ma stopni?
Dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają miary $x$ i $40^\circ$. Ile wynosi $x$?
Styczna do okręgu w punkcie styczności jest do promienia:
Kąt środkowy ma $100^\circ$. Jaki jest kąt wpisany oparty na tym samym łuku?
Z punktu poza okręgiem poprowadzono dwie styczne. Odcinki styczne od tego punktu do punktów styczności są:
Promień okręgu wynosi $5$, a odległość punktu $P$ od środka to $13$. Oblicz długość odcinka stycznej od $P$ do punktu styczności.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Kąt $A$ ma $85^\circ$, kąt $B$ ma $95^\circ$. Oblicz kąty $C$ i $D$.
Ile punktów wspólnych ma styczna z okręgiem?
Kąt między styczną a cięciwą wynosi $50^\circ$. Ile wynosi kąt wpisany oparty na tej cięciwie po drugiej stronie?
Prosta jest styczna do okręgu, gdy jej odległość od środka jest:
W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przy wierzchołkach $A$ i $C$ wynoszą $3x$ i $x$. Oblicz oba kąty.
Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg, a bok $AB$ jest średnicą. Kąt $A$ ma $35^\circ$. Oblicz pozostałe kąty trójkąta.
Twierdzenie Ptolemeusza dotyczy czworokąta:
Kąt wpisany oparty na łuku stanowiącym $\frac14$ okręgu ma ile stopni?
W kwadracie wpisanym w okrąg twierdzenie Ptolemeusza daje związek (bok $a$, przekątna $d$):
Z punktu $P$ odległego o $10$ od środka okręgu o promieniu $6$ poprowadzono styczną. Oblicz długość odcinka stycznej oraz pole trójkąta utworzonego przez $P$, środek okręgu i punkt styczności.
Czworokąt wpisany w okrąg ma boki $a=3$, $b=5$, $c=6$, $d=4$ (w kolejności) oraz jedną przekątną $e=7$. Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza, oblicz drugą przekątną $f$.
Dwa kąty wpisane w okrąg oparte są na łukach, które razem tworzą cały okrąg. Jeden kąt środkowy ma $140^\circ$. Oblicz oba kąty wpisane oparte na tych łukach.
Wykaż, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty (twierdzenie Talesa o okręgu).
Ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$ — widać $c$, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.
Kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ — widać wierzchołek $W=(p,q)$.
Iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — widać miejsca zerowe (istnieje przy $\Delta\ge0$).
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}$$
W praktyce bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — np. znaki: oba dodatnie gdy suma i iloczyn są dodatnie, różnych znaków gdy iloczyn jest ujemny. Przydatna tożsamość: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.
Wyznaczamy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy przedziały. Dla $a>0$: nierówność $>0$ daje dwa przedziały zewnętrzne, $\lt 0$ — jeden wewnętrzny.
Równania niezupełne rozwiązuj bez delty: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — stracisz rozwiązanie $x=0$. W zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek na $\Delta$.
Wielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.
$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$
Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:
$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$
Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.
Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).
W trójkącie prostokątnym, dla kąta $\alpha$:
$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy kącie}}$$
$\sin30^\circ=\frac12$, $\ \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \cos60^\circ=\frac12$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
Ponadto $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — stąd nazwa „cosinus” (co-sinus, sinus kąta dopełniającego).
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa — dla $\gamma=90^\circ$ mamy $\cos90^\circ=0$ i wzór redukuje się do $c^2=a^2+b^2$.
$$P=\frac12ab\sin\gamma,\qquad P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad P=\frac{abc}{4R}=sr$$
gdzie $s=\frac{a+b+c}{2}$ (wzór Herona).
We wzorze $\frac12ab\sin\gamma$ kąt musi leżeć między podanymi bokami. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, a sinus wciąż dodatni. Przy danych bok-bok-kąt mogą istnieć dwa różne trójkąty.
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1$$
Dziedzina: $\mathbb{R}$. Zbiór wartości: $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie przyjmuje wartości $0$ ani ujemnych. Zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, a oś $OX$ jest asymptotą poziomą.
Dla $a>1$ rośnie, dla $0\lt a\lt 1$ maleje.
$$f(x)=\log_ax$$
Jest funkcją odwrotną do wykładniczej — jej wykres to odbicie wykresu $a^x$ względem prostej $y=x$. Dziedzina: $(0,+\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$, przechodzi przez $(1,0)$, oś $OY$ jest asymptotą pionową.
Podstawowa metoda: sprowadzenie obu stron do tej samej podstawy.
$$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$
Przykład: $2^x=32=2^5$, więc $x=5$.
Równania typu $a^{2x}+pa^x+q=0$ sprowadzamy do kwadratowego, podstawiając $t=a^x>0$.
Przykład: $4^x-5\cdot2^x+4=0$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$.
Kierunek zależy od podstawy: dla $a>1$ zostaje bez zmian, dla $0\lt a\lt 1$ odwraca się.
Po podstawieniu odrzuć rozwiązania $t\le0$ — funkcja wykładnicza takich wartości nie przyjmuje. W równaniach logarytmicznych zawsze zacznij od dziedziny.
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\ne0,\ x\ne0$$
Dla $a>0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ — w II i IV. Osie układu są asymptotami.
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\ne0,\ ad-bc\ne0$$
$$\text{asymptota pionowa: } x=-\frac{d}{c},\qquad \text{pozioma: } y=\frac{a}{c}$$
Warunek $ad-bc\ne0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.
Wyznaczamy ją zawsze na początku: mianownik musi być różny od zera. Dla $f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$ mamy $x\ne\pm3$.
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \iff P(x)=0 \ \land\ Q(x)\ne0$$
Ułamek jest zerem, gdy licznik się zeruje, a mianownik nie.
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0 \iff P(x)\cdot Q(x)>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc nierówność wymierną sprowadzamy do iloczynowej i rozwiązujemy metodą siatki znaków.
Nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika. Na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\beta_{\text{wpisany}}$$
gdy oba są oparte na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe.
Wniosek: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$ (twierdzenie Talesa o okręgu).
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu zewnętrznego są równe.
Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków; środek okręgu wpisanego — punkt przecięcia dwusiecznych kątów.
W trójkącie prostokątnym $R=\frac{c}{2}$, bo przeciwprostokątna jest średnicą.
$$\text{okrąg opisany} \iff \alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ$$
$$\text{okrąg wpisany} \iff a+c=b+d \quad\text{(twierdzenie Pitota)}$$
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Warunki na okrąg opisany i wpisany w czworokąt są niezależne. Prostokąt zawsze ma okrąg opisany, ale wpisany tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
W równaniu lub nierówności występuje dodatkowa litera (parametr, zwykle $m$). Pytamy, dla jakich jej wartości spełniony jest zadany warunek. Kluczem jest zwykle delta.
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne pierwiastki}$$
$$\Delta=0 \Rightarrow \text{jeden pierwiastek podwójny}$$
$$\Delta\lt 0 \Rightarrow \text{brak pierwiastków rzeczywistych}$$
Przykład: $x^2+mx+4=0$ ma dwa pierwiastki, gdy $m^2-16>0$, czyli $m\lt -4$ lub $m>4$.
Zanim policzysz deltę, sprawdź, czy funkcja w ogóle jest kwadratowa — współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera. Dla $f(x)=(m-1)x^2+3x+1$ potrzeba $m\ne1$.
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Wyrażenie $ax^2+bx+c>0$ jest prawdziwe dla wszystkich $x$ dokładnie wtedy, gdy $a>0$ i $\Delta\lt 0$ — parabola leży w całości nad osią.
Warunki trzeba łączyć: najpierw dziedzina parametru (np. $a\ne0$), potem warunek na deltę, na końcu ewentualne warunki Viète’a. Rozwiązaniem jest część wspólna wszystkich, a nie tylko ostatni otrzymany przedział.
Dla $a>0$ (ramiona w górę):
Dla $a\lt 0$ obszary zamieniają się miejscami — to najczęstsze źródło błędów.
Nierówność $x^2-5x+6\ge0$. Miejsca zerowe to $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc wartości nieujemne leżą na zewnątrz:
$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$
Gdy $\Delta\lt 0$, parabola nie przecina osi OX. Wtedy dla $a>0$ cała leży nad osią (np. $x^2+1>0$ jest spełnione zawsze), a dla $a\lt 0$ — pod osią.
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania. Wymagają jednak, aby pierwiastki istniały, czyli $\Delta\ge0$ — ten warunek trzeba sprawdzać zawsze.
Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ przy warunku $t\ge0$. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania w $x$: $x=\pm\sqrt{t}$.
Sama dodatnia suma pierwiastków nie gwarantuje, że oba są dodatnie — potrzebny jest jeszcze dodatni iloczyn. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak. Odpowiedź $x\le3$ dla nierówności $x^2\le9$ jest błędna: brakuje ograniczenia od dołu.
To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku. Przez to pojawia się ograniczenie dziedziny, którego nie wolno pominąć.
Krok pierwszy i czwarty są równie ważne jak sam rachunek.
$$\frac{W(x)}{M(x)}=0 \iff W(x)=0 \ \text{ oraz } \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje wyłącznie licznik — mianownik odpowiada tylko za dziedzinę.
Równanie $\frac{x+2}{x-1}=2$. Dziedzina: $x\neq1$.
$$x+2=2(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Wynik $4$ należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.
Równanie $\frac{x+3}{x-2}=1$ prowadzi do $x+3=x-2$, czyli $3=-2$ — sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań.
Wykresem $f(x)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola z asymptotami $x=0$ i $y=0$. Postać $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ przesuwa ją o wektor $[p,\,q]$, a asymptoty stają się $x=p$ i $y=q$.
Mnożenie równania przez wyrażenie z niewiadomą może wprowadzić rozwiązania obce — dlatego końcowe sprawdzenie dziedziny jest obowiązkowe. Po skróceniu wyrażenia założenia nadal obowiązują: $\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$, ale wyłącznie dla $x\neq-2$.
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
$(x-1)(x-2)(x-3)\lt 0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zanim cokolwiek policzymy, wykluczamy miejsca zerowe mianownika.
Dla $\frac{x}{x^2-16}$ mamy $x\neq4$ i $x\neq-4$. Pominięcie wartości ujemnej to najczęstszy błąd.
Skracać wolno wyłącznie wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy składnik sumy.
$$\frac{x(x+2)}{x}=x+2 \ ✔ \qquad \frac{x+3}{x+5}\neq\frac{3}{5} \ ✘$$
Test liczbowy rozstrzyga wątpliwości: dla $x=1$ mamy $\frac{4}{6}=\frac23$, a nie $\frac35$.
$$\frac{x^2-4}{x+2}=x-2 \quad\text{ale tylko dla } x\neq-2$$
Skrócenie nie „naprawia” dziedziny — wyrażenie po lewej stronie dla $x=-2$ nie istnieje, choć prawa strona dałaby $-4$.
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność. Przy dzieleniu dochodzi dodatkowy warunek: dzielnik też nie może być zerem.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Dla $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$ wspólnym mianownikiem jest $x(x+1)$:
$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$
Przy odejmowaniu uwaga na minus przed nawiasem: $\frac{3x-(x-2)}{\dots}=\frac{2x+2}{\dots}$, a nie $3x-x-2$.
Po wyznaczeniu dziedziny mnożymy przez mianownik (wolno, bo w dziedzinie jest niezerowy) i rozwiązujemy. Na końcu obowiązkowo sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny — inaczej ryzykujemy rozwiązanie obce.
Gdy jeden malarz kończy w $4$ h, a drugi w $6$ h, ich wydajności to $\frac14$ i $\frac16$ pokoju na godzinę. Razem: $\frac14+\frac16=\frac{5}{12}$, więc czas to odwrotność, czyli $\frac{12}{5}=2{,}4$ h.
Nigdy nie uśredniaj czasów — średnia z $4$ i $6$ dałaby $5$ h, czyli dłużej niż praca szybszego malarza samego. To oczywisty nonsens.
Trzy pułapki: skracanie składników zamiast czynników, pominięcie ujemnego pierwiastka w dziedzinie oraz zapomnienie o sprawdzeniu wyniku równania.
Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.
Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.
$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$
gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.
Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.
$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$
Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔
$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$
Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.
Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.
$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$
Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.
Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
$$a+c=b+d$$
Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.
W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.
To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.
$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$
Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).
Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.
Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na iloczyn, który jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik. To najskuteczniejsza metoda rozwiązywania równań wyższych stopni.
Przykład pełnego rozkładu: $2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$.
$$x^3-3x^2+2x-6=x^2(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x^2+2)$$
Grupujemy wyrazy tak, by po wyłączeniu powstał ten sam nawias.
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
W drugim czynniku różnicy sześcianów wszystkie znaki są dodatnie.
Suma kwadratów $x^2+a^2$ (dla $a\neq0$) nie ma pierwiastków rzeczywistych — nie rozkłada się na czynniki liniowe.
W $(x-1)^2(x+3)$ pierwiastek $1$ jest podwójny, $-3$ pojedynczy — dwie różne wartości, ale trzy czynniki liniowe.
Zawsze doprowadzaj rozkład do końca. Pominięcie wyłączenia wspólnego czynnika daje rozkład niepełny.
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\neq0$$
Wykresem jest hiperbola — dwie gałęzie. Dla $a>0$ leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ w II i IV.
Podstawowa hiperbola $\frac ax$ ma asymptotę pionową $x=0$ i poziomą $y=0$. To proste, do których wykres się zbliża, ale ich nie dotyka.
Dziedzina i zbiór wartości to $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Funkcja jest nieparzysta (wykres symetryczny względem początku układu) i malejąca w każdym przedziale osobno (dla $a>0$).
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\neq0$$
Dziedzinę wyznacza warunek $cx+d\neq0$. To przesunięta i przeskalowana hiperbola.
$$f(x)=\frac{1}{x-p}+q$$
To hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$. Asymptoty przesuwają się razem: pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
W liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy: $\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$. Stąd od razu widać asymptoty.
Gdy iloczyn dwóch wielkości jest stały ($xy=\text{const}$), zależność jednej od drugiej to proporcjonalność odwrotna — np. bok prostokąta o ustalonym polu.
Zawsze wyklucz z dziedziny miejsce zerowania mianownika. Monotoniczność rozpatruj w każdym przedziale osobno — między gałęziami jest asymptota.
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
$$\frac{L(x)}{M(x)}=0 \iff L(x)=0 \ \text{i} \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
Dla równania $ax^2+bx+c=0$ o pierwiastkach $x_1$, $x_2$:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Dla $a=1$ upraszcza się to do: suma $=-b$, iloczyn $=c$.
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — poznać ich sumę, iloczyn, znaki czy wartości wyrażeń symetrycznych.
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$
Każde wyrażenie symetryczne w pierwiastkach da się zapisać przez sumę i iloczyn.
Znając sumę $s$ i iloczyn $p$ pierwiastków, równanie (o wiodącym $1$) to:
$$x^2-sx+p=0$$
Wzory zakładają istnienie pierwiastków. W zadaniach z parametrem trzeba osobno sprawdzić warunek $\Delta\ge0$ — sam znak sumy i iloczynu go nie gwarantuje.
Pamiętaj o minusie w sumie ($-\frac ba$) i o dzieleniu przez $a$, gdy współczynnik wiodący jest różny od $1$.
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \Rightarrow \text{jeden podwójny},\quad \Delta\lt 0 \Rightarrow \text{brak}$$
Warunki na parametr zaczynamy zwykle od odpowiedniej nierówności na $\Delta$.
Gdy parametr stoi przy $x^2$, trzeba osobno rozważyć przypadek, gdy jest zerem — wtedy równanie przestaje być kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie.
Aby oba pierwiastki były dodatnie, potrzeba trzech warunków naraz:
$$\Delta\ge0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1 x_2>0$$
Dla dwóch ujemnych zmienia się tylko warunek na sumę (musi być ujemna). Dla różnych znaków wystarcza $x_1 x_2\lt 0$ (wyróżnik jest wtedy automatycznie dodatni).
Nierówność $ax^2+bx+c>0$ zachodzi dla każdego $x$, gdy $a>0$ i $\Delta\lt 0$ (parabola w górę, bez pierwiastków). Dla nieostrej $\ge0$ dopuszczamy $\Delta=0$.
Gdy zadanie daje kilka warunków, rozwiązaniem jest ich przecięcie. Warto wyznaczyć każdy osobno i nanieść na oś.
Parabola jest styczna do osi $OX$ dokładnie wtedy, gdy $\Delta=0$ — ma wtedy jeden punkt wspólny z osią (pierwiastek podwójny).
Nie zapomnij o przypadku zerowego współczynnika wiodącego. Przy „co najmniej jeden pierwiastek” bierz $\Delta\ge0$, przy „dwa różne” — $\Delta>0$.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
To układy, w których co najmniej jedno równanie jest stopnia drugiego — najczęściej jedno liniowe i jedno kwadratowe (np. prosta i parabola albo prosta i okrąg).
Z równania liniowego wyznaczamy jedną zmienną i wstawiamy do drugiego, otrzymując równanie kwadratowe z jedną niewiadomą. Przykład: $y=x^2$ i $y=x+2$ dają $x^2=x+2$.
Rozwiązania układu to współrzędne punktów wspólnych wykresów. Prosta i parabola mogą mieć $0$, $1$ (styczność) lub $2$ punkty wspólne — decyduje o tym wyróżnik równania powstałego po podstawieniu.
$$ax^4+bx^2+c=0$$
Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\ge0$. Rozwiązujemy równanie kwadratowe, a potem wracamy do $x$. Ujemne wartości $t$ odrzucamy — nie dają pierwiastków rzeczywistych.
Układy typu $x+y=s$, $xy=p$ rozwiązujemy, traktując $x$ i $y$ jako pierwiastki równania $t^2-st+p=0$. To skrót oparty na wzorach Viète'a.
Przy podstawieniu $t=x^2$ nie zapomnij o warunku $t\ge0$. Sprawdzaj liczbę punktów wspólnych wyróżnikiem — $\Delta=0$ oznacza styczność.
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze na początku i pilnujemy jej przez całe zadanie.
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, a potem skracamy wspólne. Przykład: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ (dla $x\neq2$).
Dziedzina zostaje z pierwotnego wyrażenia — punkt wykluczony nie znika po skróceniu.
Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik (najlepiej skracając przed mnożeniem). Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki. Przy odejmowaniu pamiętaj o nawiasie: $\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$, a nie $\frac{a-b}{m}$ z pominiętym znakiem przy $b$.
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $4$ dni.
Najczęstszy błąd to pominięcie nawiasu przy odejmowaniu licznika oraz zapomnienie o dziedzinie po skróceniu.
$$\log_a b=c \iff a^c=b \qquad (a>0,\ a\neq1,\ b>0)$$
Logarytm to wykładnik, do którego podnosimy podstawę.
$$\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \quad\text{(iloczyn → suma)}$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \quad\text{(iloraz → różnica)}$$
$$\log_a x^n=n\log_a x \quad\text{(potęga → mnożnik)}$$
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
Pozwala sprowadzić dowolny logarytm do wygodnej podstawy. Wniosek: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$, więc $\log_a b\cdot\log_b a=1$.
Trudne logarytmy często upraszczają się dopiero po połączeniu: $\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4$, choć każdy z osobna nie jest „ładny".
$\log_a x^n=n\log_a x$ to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik schodzi przed logarytm. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.
Kąt środkowy oparty na danym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\alpha_{\text{wpisany}}$$
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty. To narzędzie do rozpoznawania trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.
Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. To warunek konieczny i wystarczający wpisania czworokąta w okrąg.
Styczna ma z okręgiem jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Prosta jest styczna, gdy odległość środka od niej równa się promieniowi ($d=r$).
Dwa odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe.
$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$
Dla czworokąta wpisanego w okrąg iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów boków przeciwległych.
Kąt wpisany to połowa środkowego (nie odwrotnie). Prostopadłość stycznej do promienia tworzy trójkąt prostokątny — klucz do zadań ze styczną.
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\neq1$$
Dziedzina to $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0,+\infty)$. Dla $a>1$ funkcja rośnie, dla $0\lt a\lt 1$ maleje. Zawsze przechodzi przez $(0,\ 1)$, a osią $OX$ ($y=0$) jest asymptota pozioma.
$$f(x)=\log_a x,\qquad a>0,\ a\neq1$$
Dziedzina to $(0,+\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$. Przechodzi przez $(1,\ 0)$, asymptota pionowa to oś $OY$ ($x=0$).
$\log_a x$ jest funkcją odwrotną do $a^x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$, a punkty charakterystyczne zamienione: $(0,1)$ i $(1,0)$.
Dodanie stałej do funkcji ($a^x+q$) przesuwa wykres w pionie — asymptota pozioma przechodzi na $y=q$. Zmiana argumentu ($\log_a(x-p)$) przesuwa w poziomie i zmienia dziedzinę oraz asymptotę pionową.
Model wzrostu wykładniczego opisuje procent składany $K(t)=K_0(1+p)^t$, rozpad promieniotwórczy i wzrost populacji.
Funkcja wykładnicza nigdy nie jest ujemna ani zerowa. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich — zawsze wyznacz dziedzinę.
Jeśli ułamek nieskracalny $\frac{p}{q}$ jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to $p$ dzieli wyraz wolny, a $q$ — współczynnik wiodący.
Dla wielomianu unormowanego (wiodący $=1$) pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny — to zawęża listę kandydatów.
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego i sprawdzamy je kolejno. Znaleziony pierwiastek $a$ daje czynnik $(x-a)$ (twierdzenie Bézouta) — dzielimy i szukamy dalej wśród reszty.
Czynnik $(x-a)^k$ oznacza pierwiastek $a$ o krotności $k$. Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków (licząc z krotnościami).
W pierwiastku o krotności nieparzystej wykres przecina oś $OX$, zmieniając znak. W pierwiastku o krotności parzystej — dotyka osi i odbija się.
Dla stopnia nieparzystego ramiona idą w przeciwnych kierunkach, dla parzystego — w tę samą stronę. Kierunek zależy od znaku współczynnika wiodącego.
Pierwiastek $a$ daje czynnik $(x-a)$ — uważaj na znak. Suma kwadratów (np. $x^2+1$) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wyrażenie postaci $a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$. Stopień to najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Redukujemy wyrazy podobne — o tej samej potędze $x$.
Zmieniamy znaki wszystkich wyrazów odjemnika, a potem dodajemy.
Nie przekracza większego ze stopni; może się obniżyć, gdy skasują się wyrazy najwyższego stopnia.
Każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.
Równy sumie stopni czynników.
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $(a\pm b)^3$, $a^3\pm b^3$.
$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$.
Okrąg to zbiór punktów odległych od środka o promień $r$; koło to okrąg wraz z wnętrzem.
$L=2\pi r$ oraz $P=\pi r^2$.
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$: $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$.
Czworokąt wypukły ma wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od $180^\circ$, a jego przekątne leżą wewnątrz figury.
Wynosi $360^\circ$.
Równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat i trapez — każdy ma własne własności boków i przekątnych.
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty i zsumować ich pola.
Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ definiujemy sinus, cosinus i tangens.
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ oraz $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.
W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
$y=ax^2+bx+c$ opisuje zależności z ekstremum, np. lot ciała lub pole figury.
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta=b^2-4ac$.
Dla $a>0$ najmniejsza wartość to $q$, dla $a\lt 0$ największa to $q$.
Prostokąt o danym obwodzie ma największe pole, gdy jest kwadratem.
Ogólna $ax^2+bx+c$, kanoniczna $a(x-p)^2+q$, iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$.
$\Delta=b^2-4ac$, a pierwiastki $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Wartość największą lub najmniejszą znajdujemy w wierzchołku paraboli.
Znak trójmianu zależy od znaku $a$ oraz od wyróżnika $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie pierwiastków: $\Delta>0$ dwa, $\Delta=0$ jeden, $\Delta\lt 0$ brak pierwiastków rzeczywistych.
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ oraz $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.
$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.
Równania i nierówności kwadratowe oraz zadania optymalizacyjne.
$y=a\cdot b^x$ modeluje wzrost lub rozpad (np. procent składany, rozpad promieniotwórczy).
$\log_a b=c$ oznacza $a^c=b$. Skale logarytmiczne to m.in. pH i decybele.
$K_n=K_0(1+p)^n$, gdzie $p$ to oprocentowanie, a $n$ liczba okresów.
Wzrost populacji, odsetki bankowe, natężenie dźwięku.
Prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny; jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Dwa okręgi mają do czterech wspólnych stycznych — zewnętrznych i wewnętrznych.
Zależy od odległości środków $d$ oraz sumy i różnicy promieni.
Przekładnie pasowe, koła zębate, konstrukcje geometryczne.
Okrąg to zbiór punktów płaszczyzny odległych od środka o promień $r$.
$L=2\pi r=\pi d$.
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Pole prostokąta $a\cdot b$, kwadratu $a^2$.
Równoległobok $a\cdot h$; romb $\frac{1}{2}d_1 d_2$.
$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$.
Dzielimy przekątną na dwa trójkąty i sumujemy ich pola.
Dla $a>0$ definiujemy potęgi o wykładniku całkowitym, wymiernym i rzeczywistym; $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
$8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4$.
Podstawa funkcji wykładniczej i logarytmicznej.
$y=\log_a x$ ma dziedzinę $x>0$ i asymptotę pionową $x=0$.
$y=\log_a(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$; asymptota to $x=p$.
Dla $a>1$ funkcja rosnąca, dla $0\lt a\lt 1$ malejąca.
Logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej o tej samej podstawie.
$y=\frac{a}{x}$ to hiperbola o asymptotach $x=0$ i $y=0$.
$y=\frac{a}{x-p}+q$ ma asymptoty $x=p$ i $y=q$.
Wykluczamy argument zerujący mianownik.
Znak $a$ decyduje o położeniu gałęzi hiperboli.
$y=\frac{a}{x-p}+q$ powstaje z $y=\frac{a}{x}$ przez przesunięcie o wektor $[p,q]$.
Pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
Punkt przecięcia asymptot $(p,q)$ jest środkiem symetrii hiperboli.
$y=\frac{2}{x-1}+3$ ma asymptoty $x=1$, $y=3$.
$|x|$ to odległość $x$ od zera na osi liczbowej.
$|x|=a$ (dla $a\ge0$) ma rozwiązania $x=a$ lub $x=-a$.
$|x|\lt a$ oznacza $-a\lt x\lt a$; $|x|>a$ oznacza $x\lt -a$ lub $x>a$.
$|x-c|$ to odległość $x$ od punktu $c$.
Sprowadzamy do wspólnej podstawy: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ daje $f(x)=g(x)$.
Korzystamy z definicji i dziedziny: $\log_a x=b$ oznacza $x=a^b$, przy $x>0$.
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
W logarytmie argument i podstawa muszą być dodatnie, podstawa $\neq1$.
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik.
Rozwiązujemy, mnożąc przez mianownik i sprawdzając dziedzinę.
Pionowe w miejscach zerowania mianownika, pozioma zależna od stopni.
Po skróceniu punkt wykluczony pozostaje poza dziedziną.
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
$P=\frac{1}{2}ab\sin C$.
Promienie wiążą się z bokami i polem trójkąta.
To najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Współczynnik przy najwyższej potędze; wyraz wolny to $a_0$.
$W(0)$ równa się wyrazowi wolnemu.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach.
Każda liczba to suma dwóch nad nią; brzegi to jedynki.
Wiersz $n$ zawiera $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Wiersze dają współczynniki rozwinięcia $(a+b)^n$.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — współczynniki $1,2,1$.
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
$a^2+b^2=c^2$.
Znając bok i kąt, obliczamy pozostałe boki z odpowiednich funkcji.
Przeciwprostokątna $10$, kąt $30^\circ$: przyprostokątna $10\sin30^\circ=5$.
Rozwiązujemy przez rozkład na czynniki i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (dzielniki wyrazu wolnego).
$x_0$ jest pierwiastkiem $\iff (x-x_0)$ dzieli wielomian.
Sprowadzamy do iloczynu czynników niższych stopni.
Pozwala rozwiązać równanie trzeciego stopnia postaci $x^3+px+q=0$.
$|ax+b|=c$ (dla $c\ge0$) rozbijamy na $ax+b=c$ oraz $ax+b=-c$.
$|ax+b|\lt c$ oznacza $-c\lt ax+b\lt c$; $|ax+b|>c$ daje alternatywę.
$|x-a|$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.
Równania z kilkoma modułami rozwiązujemy przedziałami.
$a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
Przyprostokątne równe, przeciwprostokątna $a\sqrt2$.
Boki w stosunku $1:\sqrt3:2$.
Obliczamy wysokości i odległości niedostępne bezpośrednio.
Z tangensa wyznaczamy nachylenie stoku lub drogi.
Twierdzenie sinusów i cosinusów rozwiązują dowolny trójkąt.
Wysokość drzewa: $h=d\cdot\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $d$ to odległość, $\alpha$ kąt.
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i kąty równe.
W $n$-kącie foremnym każdy kąt ma $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
$n$-kąt foremny ma $n$ osi symetrii.
W każdy wielokąt foremny można wpisać i opisać okrąg o wspólnym środku.
$y=a^x$ dla $a>0$ i $a\neq1$.
Rosnąca dla $a>1$, malejąca dla $0\lt a\lt 1$.
Przechodzi przez $(0,1)$; asymptota pozioma $y=0$.
Wartości dodatnie: $y>0$.
Współczynnik kierunkowy $a=\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $OX$.
$a>0$ — kąt ostry (prosta rosnąca), $a\lt 0$ — kąt rozwarty (malejąca).
$a=0$, kąt $0^\circ$.
Prosta o $a=1$ nachylona jest pod kątem $45^\circ$.
To pierwiastki wielomianu; w nich wykres przecina lub dotyka osi $OX$.
Krotność nieparzysta — przecięcie osi; parzysta — dotknięcie.
Zależy od stopnia i znaku współczynnika wiodącego.
Ustalamy pierwiastki, ich krotności i kierunek ramion.
Wielomiany opisują objętości, pola i zależności w zadaniach.
Rozwiązujemy je, rozkładając na czynniki.
Ekstrema wyznaczamy, badając wielomian i jego wykres.
Objętość pudełka jako funkcja długości boku prowadzi do wielomianu trzeciego stopnia.
Wynikają z pięciokąta foremnego i związane są z liczbą złotą.
$\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}$.
$\sin18^\circ=\cos72^\circ$ oraz $\cos54^\circ=\sin36^\circ$ (kąty dopełniające).
Konstrukcje pięciokąta i obliczenia w wielokątach foremnych.
$(p,q)$, gdzie $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
W górę dla $a>0$, w dół dla $a\lt 0$.
Z $\Delta$: dwa, jedno lub brak.
Prosta $x=p$.
$y=a^{x-p}+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$; asymptota $y=q$.
$y=a^{-x}$ to odbicie względem osi $OY$; $y=-a^x$ względem osi $OX$.
$y=c\cdot a^x$ rozciąga wykres pionowo.
Cały zbiór liczb rzeczywistych.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ dla $\cos\alpha\neq0$.
Znając jedną funkcję i ćwiartkę, wyznaczamy pozostałe.
Jeśli $\sin\alpha=\frac35$ i $\alpha$ ostry, to $\cos\alpha=\frac45$.
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$.
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ oraz $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$.
Rozkład wielomianów na czynniki i upraszczanie wyrażeń.
Ułamki algebraiczne dodajemy po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.
Wykluczamy wartości zerujące mianowniki.
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$ dla $x\neq0,-1$.
Wynik upraszczamy, o ile to możliwe.
$|x|\lt a\iff -a\lt x\lt a$ (dla $a>0$).
$|x|>a\iff x\lt -a \lor x>a$.
$|x-c|\lt a$ oznacza $x\in(c-a,c+a)$.
$|x-c|$ to odległość $x$ od $c$ na osi liczbowej.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Sumy i różnicy kątów, kąt podwójny, wzory redukcyjne.
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Wyznaczanie odległości i wysokości w zadaniach praktycznych.
Dodawanie, mnożenie i dzielenie wielomianów (z resztą).
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ równa się $W(a)$.
Szukamy ich wśród dzielników wyrazu wolnego.
Postać iloczynowa ułatwia rozwiązywanie równań wielomianowych.
Do czego służy: Obliczanie energii potrzebnej do zmiany stanu skupienia (topnienie, parowanie) lub oddawanej przy krzepnięciu/skraplaniu — bez zmiany temperatury!
Podczas topnienia i parowania temperatura nie zmienia się! Ciepło jest zużywane wyłącznie na zmianę stanu skupienia (zrywanie wiązań między cząsteczkami).
$$Q = mc(T_t - T_0) + mL_t + mc'(T_f - T_t)$$
Ile ciepła potrzeba do stopienia 500 g lodu w 0°C?
⚠️ Częsty błąd: Ciepło topnienia/parowania to dodatkowe ciepło, ponad to, które zużywasz na samo ogrzewanie. Jeśli lód jest w −20°C, najpierw ogrzejesz do 0°C ($Q = mc\Delta T$), potem dopiero roztopisz ($Q = mL_t$).
Do czego służy: Oblicza ile ciepła (J) trzeba dostarczyć (lub ile zostanie oddane) by zmienić temperaturę ciała o $\Delta T$.
W układzie izolowanym: $\sum Q_i = 0$ (ciepło oddane = ciepłu pobranemu):
$$m_1 c_1 (T_k - T_1) + m_2 c_2 (T_k - T_2) = 0$$
Ile energii trzeba do podgrzania 2 kg wody od 20°C do 100°C?
⚠️ Częsty błąd: $\Delta T$ możesz liczyć w stopniach Celsjusza (różnica jest taka sama jak w Kelwinach). Ale $c$ jest dla konkretnej substancji — nie używaj wartości dla wody do obliczania metalu!
Logarytm to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $b$.
Przykład: $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$; $\log_3\frac{1}{9}=-2$.
Obwód koła o promieniu $r$ (średnicy $d$).
Przykład: $r=5$ cm: $L=10\pi\approx31{,}4$ cm.
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki.
Przykład: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$.
Asymptota pionowa $x=-\frac{d}{c}$, pozioma $y=\frac{a}{c}$.
Przykład: $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$: asymptoty $x=3$, $y=2$.
Funkcja odwrotna do wykładniczej; wykres przechodzi przez $(1,0)$.
Przykład: $f(x)=\log_3 x$: $f(9)=2$, $f\left(\frac{1}{3}\right)=-1$.
Dla $a>1$ rosnąca, dla $0 Przykład: $f(x)=2^x$: $f(3)=8$, $f(-1)=\frac{1}{2}$.
$a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna.
Przykład: Trójkąt 3–4–5, kąt naprzeciw boku 3: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.
Do czego służy: Zasada zachowania energii dla układów termodynamicznych — energia wewnętrzna układu zmienia się gdy dostarcza się ciepło lub wykonuje się nad nim pracę.
Niektóre podręczniki piszą $\Delta U = Q - W$, gdzie $W$ to praca wykonana przez układ. Sprawdź konwencję w swoim podręczniku!
Gaz nie zmienia objętości → nie wykonuje pracy → $W = 0$, więc $\Delta U = Q$
$$\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \leq 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ gdzie $Q_1$ — ciepło pobrane, $Q_2$ — oddane, $T_1, T_2$ — temperatury źródeł.
Gaz pobiera $Q = 500$ J i wykonuje pracę $W = 200$ J. Zmiana energii wewnętrznej?
⚠️ Częsty błąd: Konwencja znaku! Praca przez układ to ujemna praca nad układem. Czytaj uważnie czy zadanie mówi o pracy „wykonanej przez gaz" czy „nad gazem".
Do czego służy: Obliczanie okresu obiegu planety lub promienia jej orbity — bez znajomości mas, tylko z porównania z inną planetą.
Mars ma $a = 1{,}52$ j.a. Jaki jest jego rok?
⚠️ Częsty błąd: Wzór to $T^2 \propto a^3$, nie $T \propto a^3$. Stosunek kwadratów okresu = stosunkowi sześcianów półosi. Pomylenie potęg to częsty błąd na sprawdzianach.
Pozwala obliczyć jedną funkcję, znając drugą.
Przykład: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, kąt ostry: $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
Objętość kuli i pole sfery o promieniu $r$.
Przykład: $r=3$: $V=36\pi$, $P=36\pi$.
Kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, podwojony iloczyn i kwadrat drugiego wyrazu.
Przykład: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.
Przykład: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$.
Do czego służy: Obliczanie mocy urządzenia elektrycznego oraz energii zużytej w czasie. Podstawa rachunków za prąd.
Żarówka 60 W przy napięciu 230 V. Opór i natężenie prądu?
⚠️ Częsty błąd: $1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \text{ J}$ — nie mylić kilowatogodzin z kilodżulami. Prąd elektryczny rachunki płacimy w kWh, nie w dżulach.
Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.
Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy tej liczbie.
Przykład: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{0{,}09}=0{,}3$.
Do czego służy: Natężenie pola $E$ opisuje „siłę" pola w danym punkcie; potencjał $V$ to energia przypadająca na jednostkowy ładunek.
Kondensator: $d = 5$ mm, napięcie 100 V. Natężenie pola?
⚠️ Częsty błąd: $d$ w metrach (5 mm = 0,005 m). I nie mylić natężenia pola elektrycznego $E$ [V/m] z energią $E$ [J] — to dwa różne $E$!
Od razu widać miejsca zerowe.
Przykład: $f(x)=2(x+1)(x-4)$ — miejsca zerowe $-1$ i $4$.
Potęgujemy każdy czynnik osobno.
Przykład: $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000$, $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.
Potęga to iloczyn $n$ jednakowych czynników.
Przykład: $2^5=32$, $(-3)^2=9$, $(-3)^3=-27$, $7^0=1$.
Do czego służy: Obliczanie siły elektrostatycznej między dwoma ładunkami punktowymi — odpowiednik prawa grawitacji dla ładunków.
Dwa ładunki $q_1 = 2 \times 10^{-6}$ C i $q_2 = 3 \times 10^{-6}$ C w odległości 0,1 m. Siła?
⚠️ Częsty błąd: Odległość do kwadratu — gdy $r = 0{,}1$ m, $r^2 = 0{,}01$ m², nie 0,1! I ładunki w kulombach (nie mikrokulambach).
Do czego służy: Prawo Ohma łączy napięcie, prąd i opór w obwodzie elektrycznym — podstawa każdej analizy obwodów.
Bateria 9 V, opór 30 Ω. Natężenie prądu?
⚠️ Częsty błąd: Przy połączeniu równoległym $R$ wypadkowy jest mniejszy niż najmniejszy z oporów — nie dodajesz po prostu $R_1 + R_2$. Dodajesz odwrotności!
Ile razy wzrośnie $x$, tyle razy zmaleje $y$; wykres to hiperbola.
Przykład: 4 pracowników — 6 dni, więc 8 pracowników — 3 dni ($xy=24$).
Do czego służy: Uproszczone prawa dla gazu stałej masy, gdy jedna z wielkości ($T$, $p$ lub $V$) pozostaje stała.
⚠️ Częsty błąd: Temperatura koniecznie w Kelwinach! I pamiętaj który parametr jest stały — to on jest po lewej i prawej stronie bez zmian.
Wykres przesuwamy o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie.
Przykład: $y=(x-3)^2+1$ to $y=x^2$ przesunięty o $[3,1]$.
Asymptoty: pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
Przykład: $f(x)=\frac{2}{x-1}+3$: asymptoty $x=1$ i $y=3$.
Do czego służy: Obliczanie przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni lub powyżej planety dowolnej masy.
$g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ (często zaokrąglamy do $g = 10 \text{ m/s}^2$)
Ciężar: $Q = mg$ [N] — siła z jaką Ziemia przyciąga ciało (≠ masa!)
$g \propto \frac{1}{r^2}$ — podwojenie odległości od środka Ziemi → czterokrotny spadek $g$
Na jakiej wysokości $h$ nad Ziemią $g$ spada do $g/4$?
⚠️ Częsty błąd: Masa i ciężar to różne rzeczy! Masa (kg) jest stała wszędzie. Ciężar (N) zależy od $g$ — na Księżycu ($g = 1{,}6$ m/s²) ciężar jest 6× mniejszy.
Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.
Do czego służy: Opisuje każdy stan gazu doskonałego (idealnego) — ciśnienie, objętość i temperaturę w jednym równaniu.
$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} = nR = \text{const}$$
Gaz w 27°C, 1 atm, 2 L. Ogrzano do 127°C przy stałym ciśnieniu. Objętość?
⚠️ Częsty błąd: Temperatura MUSI być w Kelwinach! $0°C = 273 K$. Wstawienie stopni Celsjusza (np. 0°C do licznika) da błędny wynik.
Sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy.
Przykład: $4^x=8$: $2^{2x}=2^3$, więc $x=\frac{3}{2}$.
Dla $a<0$ równanie nie ma rozwiązań, dla $a=0$ jedno: $x=0$.
Przykład: $|2x-1|=5$: $2x-1=5$ lub $2x-1=-5$, czyli $x=3$ lub $x=-2$.
Bok razy wysokość opuszczona na ten bok.
Przykład: $a=7$, $h=4$: $P=28$.
Do czego służy: Siła Lorentza — działanie pola magnetycznego na poruszający się ładunek. Indukcja — wytwarzanie napięcia przez ruch przewodnika w polu magnetycznym.
Elektron ($q = 1{,}6 \times 10^{-19}$ C) porusza się z $v = 10^6$ m/s prostopadle do pola $B = 0{,}1$ T. Siła?
⚠️ Częsty błąd: Siła Lorentza jest prostopadła zarówno do prędkości, jak i do pola — używaj reguły prawej dłoni lub reguły śruby do wyznaczenia kierunku.
Pozwalają liczyć wartości dla kątów typu 75° czy 15°.
Przykład: $\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
$l$ — tworząca stożka.
Przykład: $r=3$, $H=4$, $l=5$: $V=12\pi$, $P_c=9\pi+15\pi=24\pi$.
Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta wypukłego.
Przykład: Sześciokąt: $S=4\cdot180^\circ=720^\circ$.
Połowa kwadratu przeciętego przekątną.
Przykład: Przyprostokątne 4: przeciwprostokątna $4\sqrt2$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez $(x-a)$.
Przykład: $W(x)=x^3-8$, $W(2)=0$, więc $W(x)=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.
Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.
Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.
Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania jednocześnie.
Przykład: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=3,\ y=2$.
Objętość i pole powierzchni walca o promieniu $r$ i wysokości $H$.
Przykład: $r=3$, $H=5$: $V=45\pi$, $P_c=18\pi+30\pi=48\pi$.
Cosinus: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$.
Przykład: Drabina 4 m oparta pod kątem 60°: wysokość $4\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\approx3{,}46$ m.
Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej.
Przykład: $W(x)=2x^3-x+5$ ma stopień 3.
W wierzchołku funkcja osiąga wartość najmniejszą ($a>0$) lub największą ($a<0$).
Przykład: $f(x)=x^2-4x+7$: $p=2$, $q=f(2)=3$, więc $W=(2,3)$.
Decyduje o liczbie miejsc zerowych: 2 ($\Delta>0$), 1 ($\Delta=0$), 0 ($\Delta<0$).
Przykład: $x^2-6x+9$: $\Delta=36-36=0$ — jedno miejsce zerowe.
$a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — punkt przecięcia z osią $Oy$: $(0,b)$.
Przykład: $f(x)=2x-3$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$.
Sprowadzają funkcje kątów rozwartych do kątów ostrych.
Przykład: $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$, $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$.
Związki między pierwiastkami a współczynnikami (dla $\Delta\ge0$).
Przykład: $x^2-7x+10=0$: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$, czyli $2$ i $5$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.